高三数学导数的综合应用教案18.docx
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高三数学导数的综合应用教案18
高三数学导数的综合应用教案18
11.导数的综合应用
一、明确复习目标
了解可导函数的单调性与其导数的关系,会用导数分析函数的单调性,进而求解函数不等式的问题;
二.建构知识网络
1.函数的单调性与导数的关系,求单调区间的方法(见上一节);
2.利用导数解不等式问题:
(高考中的一类新题型)
(1)利用导数确定函数的单调性,
(2)利用单调性研究不等式。
三、双基题目练练手
1.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是
A.0B.1.2D.3
2.函数f(x)=sin(3x-)在点(,)处的切线方程是()
A.3x+2+-=0,B.3x-2+-=0
.3x-2--=0,D.3x+2--=0
3.(2006湖北)若的大小关系()
A.B..D.与x的取值有关
4.(2006江西)对于上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有()
A.f(0)+f
(2)<2f
(1)B.f(0)+f
(2)≤2f
(1)
.f(0)+f
(2)≥2f
(1)D.f(0)+f
(2)>2f
(1)
.若函数=-x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是________.
6.方程x3-3x+=0在[0,1]上至多有_______个实数根.
简答:
1-4.DBD;
.′=-4x2+b,若′值有正、有负,则b>0.答案:
b>0
6.设f(x)=x3-3x+,则(x)=3x2-3=3(x2-1).
当x∈(0,1)时,(x)<0恒成立.
∴f(x)在(0,1)上单调递减.
∴f(x)的图象与x轴最多有一个交点.
因此方程x3-3x+=0在[0,1)上至多有一实根.
四、经典例题做一做
【例1】证明:
当x>0时,有
证明:
设f(x)=x-sinx,于是f(0)=0.
∵f/(x)=1-sx(仅在x=2π(∈Z)处f/(x)=0
∴当x>0时,f(x)单调递增,从而有f(x)>f(0)
即x-sinx>0,x>sinx(x>0)
为证不等式,设
g(x)=sinx-x+,则g(0)=0,于是g/(x)>0,∴g(x)在x>0时递增,从而有g(x)>g(0)=0
即
故当x>0时有
提炼方法:
证不等式的依据I:
(1)若函数f(x)在x>a可导,且递增,则f(x)>f(a);
(2)若函数f(x)在x>a可导,且递减,则f(x)《f(a);
关键在于构造恰当的函数,一般是左-右,右-左,左÷右等。
【例2】已知
求证:
函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。
证明:
设F(x)=(2-x)ex-1,(x<2)
∵F/(x)=(1-x)ex-1,
当x<1时,F/(x)>0,当1<x<2时,F/(x)<0.
∴x=1时,F(x)有极大值,也就是最大值。
∴F(x)≤F
(1)=1,又x<2,
∴
∴函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。
提炼方法:
证不等式的依据II:
(1)若函数f(x)在某一范围内有最小值,则f(x)≥.
(2)若函数f(x)在某一范围内有最大值,则f(x)≤.
【例3】(2006全国Ⅰ)已知函数
(Ⅰ)设a>0,讨论=f(x)的单调性;
(Ⅱ)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围
解(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)。
对f(x)求导数得f‘(x)=ax2+2-a(1-x)2e-ax
(ⅰ)当a=2时,f‘(x)=2x2(1-x)2e-2x,f‘(x)在(-∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(-∞,1),(1,+∞)为增函数;
(ⅱ)当0<a<2时,f‘(x)>0,f(x)在(-∞,1),(1,+∞)为增函数;
(ⅲ)当a>2时,0<a-2a<1,令f‘(x)=0,解得x1=-,x2=
当x变化时,f‘(x)和f(x)的变化情况如下表:
x(-∞,-)
(-,)
(,1)
(1,+∞)
f‘(x)+-++
f(x)↗↘↗↗
f(x)在(-∞,-),(,1),(1,+∞)为增函数,f(x)在(-,)为减函数。
(Ⅱ)(ⅰ)当0<a≤2时,由(Ⅰ)知:
对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1
(ⅱ)当a>2时,取x0=12∈(0,1),则由(Ⅰ)知f(x0)<f(0)=1
(ⅲ)当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有1+x1-x>1且e-ax≥1,得
f(x)=1+x1-xe-ax≥1+x1-x>1综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。
特别提示:
对于求单调区间、极值、最值问题,根据导数的零点把定义区间分开,列出表格,再分析各区间导数的符号,进而确定单调区间、极值最值,清楚直观不易出错。
【例4】(2006全国Ⅰ)在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线,动点P在上,在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量求:
(Ⅰ)点的轨迹方程;
(Ⅱ)的最小值。
解:
椭圆方程可写为:
2a2+x2b2=1式中a>b>0,且a2-b2=33a=32得a2=4,b2=1,所以曲线的方程为:
x2+24=1(x>0,>0)=21-x2(0<x<1)‘=-2x1-x2
设P(x0,0),因P在上,有0<x0<1,0=21-x02,‘|x=x0=-4x00,得切线AB的方程为:
=-4x00(x-x0)+0设A(x,0)和B(0,),由切线方程得x=1x0,=40
由→=A→+B→得的坐标为(x,),由x0,0满足的方程,得点的轨迹方程为:
1x2+42=1(x>1,>2)
(Ⅱ)|→|2=x2+2,2=41-1x2=4+4x2-1,
∴|→|2=x2-1+4x2-1+≥4+=9且当x2-1=4x2-1,即x=3>1时,上式取等号
故|→|的最小值为3
【研讨欣赏】(2006湖北)设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点.
(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;
(2)设>0,=().若存在使得||<1成立,求的取值范围.
解:
(1)
由f′(3)=0得
所以令f′(x)=0得
由于x=3是f(x)的极值点,故x1≠x2,即a≠-4
当时,,故f(x)在上为减函数,在上为减函数,在上为增函数
当a>4时,x1>x2,故f(x)在(-∞,-a-1]上为减函数,在[-a-1,3]上为增函数,在[3,+∞)上为减函数.
(2)当a>0时,-a-1<0,故f(x)在[0,3]上为增函数,在[3,4]上为减函数,在[3,+∞)上为减函数
因此f(x)在[0,4]上的值域为
而在[0,4]上为增函数,所以值域为
注意到,
故由假设知解得
故的取值范围是
考查知识:
函数、不等式和导数的应用知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
五.提炼总结以为师
1.利用导数求解不等式问题的核心是利用导数判定函数的单调性,这就转化为一般的函数问题;
2.利用导数证明不等式有两种方法:
3.导数是研究函数问题的工具,注意它在其它数学问题中的综合与应用。
同步练习11.导数的综合应用
【选择题】
1某物体作s=2(1-t)2的直线运动,则t=0.8s时的瞬时速度为()
A.4B.-4-4.8D-0.8
2.已知函数f(x)=x4-4x3+10x2,则方程f(x)=0在区间[1,2]上的根有
A.3个B.2个.1个D.0个
3.若f(x)是在(-L,L)内的可导的偶函数,且不恒为0,则()
(A)必定是(-L,L)内的偶函数
(B)必定是(-L,L)内的奇函数
()必定是(-L,L)内的非奇非偶函数
(D)可能是(-L,L)内的奇函数,可能是偶函
4.已知的值是()
A.B.0.8D.不存在
【填空题】
.曲线=上的点到直线2x-+3=0的最短距离为
6设底为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为________
简答.提示:
1-4.DDB;
2.(x)=4x(x2-3x+)在[1,2]上,(x)>0,
∴f(x)在[1,2]上单调递增.∴f(x)≥f
(1)=7.
∴f(x)=0在[1,2]上无根.答案:
D
3.由f(-x)=f(x),求导得.
4.,
.;6.设底面边长为x,则高为h=,
∴S表=3×x+2×x2=+x2
∴S′=-+x令S′=0,得x=.答案:
【解答题】
7.已知x∈R,求证:
ex≥x+1.
证明:
设f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1.
∴当x=0时,f′(x)=0,f(x)=0.
当x>0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.∴f(x)>f(0)=0.
当x<0时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴f(x)>f(0)=0.
∴对x∈R都有f(x)≥0.∴ex≥x+1.
8.(2006江西)已知函数在与时都取得极值.
(1)求、的值及函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<2恒成立,求的取值范围.
解:
f/(x)=3x2-x-2=(3x-2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
f/(x)
f(x)
极大值
极小值
所以函数f(x)的递增区间为与;
递减区间为.9.(2006重庆)已知函数f(x)=(x2+bx+)ex,其中b,∈R为常数。
(Ⅰ)若b2>4(-1),讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若,且,试证:
。
解(I)求导得f/(x)=[x2+(b+2)x+b+e]ex
∵b2>4(-1)故方程f/(x)=0即x2+(b+2)x+b+e=0有两个实根令f/(x)>0,解得x<x1,或x>x2.
又令f/(x)<0,解得x1<x<x2.
故当x∈(-∞,x1)时,f(x)是增函数,x∈(x2,+∞)时,f(x)也是函数,当x∈(x1,x2)时,f(x)是减函数。
(II)易知
∴
∴由已知条得
解得
10.(2006浙江)已知函数f(x)=x+x,数列|x|(x>0)的第一项x=1,以后各项按如下方式取定:
曲线x=f(x)在处的切线与经过(0,0)和(x,f(x))两点的直线平行(如图).
求证:
当n时,
(Ⅰ)x
(Ⅱ)证明:
(I)因为
所以曲线在处的切线斜率
因为过和两点的直线斜率是
所以.
(II)因为函数当时单调递增,
而,
所以,即
因此
又因为令则
因为所以
因此故
【探索题】已知函数f(x)=f(x)的导函数是对任意两个不相等的正数,证明:
当时,
证法一:
由,得
∴下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立
即证成立
∵
设,则
令得,列表如下:
极小值
∴
∴对任意两个不相等的正数,恒有
证法二:
由,得
∴
∵是两个不相等的正数
∴
设,
则,列表:
极小值
∴即
∴
即对任意两个不相等的正数,恒有
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