最新北师大版八年级下册数学全章热门考点整合应用.docx
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最新北师大版八年级下册数学全章热门考点整合应用
全章热门考点整合应用
名师点金:
三角形的证明是中考的必考点,考查方式以填空题、选择题和中档解答题为主.主要考查等腰三角形、直角三角形中角度、边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系,利用线段的垂直平分线、角的平分线的性质作图也是常见的题型.本章考点可概括为:
三个概念,六个性质,四个判定,四个技巧,一个应用.
三个概念
反证法
1.用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应先假设( )
A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45°
C.有一个锐角大于45°D.每一个锐角都大于45°
2.求证:
在一个三角形中,如果两个角不相等,那么它们所对的边也不相等.
互逆命题
3.有下列这些命题:
①直角都相等;②内错角相等,两直线平行;③如果a+b>0,那么a>0,b>0;④相等的角都是直角;⑤如果a>0,b>0,那么ab>0;⑥两直线平行,内错角相等.
(1)③和⑤是互逆命题吗?
(2)你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗?
(3)请指出哪几个命题是互逆命题.
互逆定理
4.下列三个定理中,存在逆定理的有( )个.
①有两个角相等的三角形是等腰三角形;
②全等三角形的周长相等;
③同位角相等,两直线平行.
A.0 B.1 C.2 D.3
5.写出下列各命题的逆命题,并判断是不是互逆定理.
(1)全等三角形的对应边相等;
(2)等角的补角相等.
六个性质
全等三角形的性质
6.如图,已知△ABC≌△ADE,BC的延长线交DE于点F.若∠D=25°,∠AED=105°,∠DAC=10°,求∠DFB的度数.
(第6题)
等腰三角形的性质
7.【2017·绍兴】在△ABC中,AB=AC,D为直线BC上一点,E为直线AC上一点,AD=AE,设∠BAD=α,∠CDE=β.
(1)如图,若点D在线段BC上,点E在线段AC上.
①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α=________,β=________.
②求α,β之间的关系式.
(2)是否存在不同于以上②中的α,β之间的关系式?
若存在,求出这个关系式(求出一个即可);若不存在,请说明理由.
(第7题)
等边三角形的性质
8.如图,已知△ABC和△BDE均为等边三角形,求证:
BD+CD=AD.
(第8题)
直角三角形的性质
9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,BE是一条角平分线,AD,BE相交于点P,已知∠EPD=125°,求∠BAD的度数.
(第9题)
线段垂直平分线的性质
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M,N.求证:
CM=2BM.
(第10题)
角平分线的性质
11.如图,已知在Rt△ABC中,∠A=90°,BD是∠ABC的平分线,DE是BC的垂直平分线.求证:
BC=2AB.
(第11题)
四个判定
三角形全等的判定
12.【中考·武汉】如图,已知点B,C,E,F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.求证:
(1)△ABC≌△DEF;
(2)AB∥DE.
(第12题)
等腰(边)三角形的判定
13.【2017·内江】如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC,求证:
△BDE是等腰三角形.
(第13题)
直角三角形的判定
14.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ,PQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,试判断△PQC的形状,并说明理由.
(第14题)
线段的垂直平分线与角平分线的判定
15.【中考·株洲】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是Rt△ABC的一条角平分线,点O,E,F分别在BD,BC,AC上,且四边形OECF是正方形.
(1)求证:
点O在∠BAC的平分线上;
(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.
(第15题)
四个技巧
构造全等三角形
16.如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求证:
AB=CD.
(第16题)
构造等腰三角形的“三线合一”
17.如图,已知AD=AE,BD=CE,试探究AB和AC的数量关系,并说明理由.
(第17题)
构造线段垂直平分线上的点到线段两端点的线段
18.如图,在△ABC中,∠B=22.5°,AB的垂直平分线交AB于点Q,交BC于点P,PE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,AD,PE交于点F,求证:
DF=DC.
(第18题)
构造角平分线上的点到角两边的垂线段
19.如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC的中点,AE平分∠BAD.求证:
DE平分∠ADC.
(第19题)
一个应用——最短路线的应用
20.如图,A,B两点在直线l的两侧,在直线l上找一点C,使点C到点A,B的距离之差最大.
(第20题)
答案
1.D
2.证明:
假设两个不相等的角所对的边相等,则根据等腰三角形的性质定理“等边对等角”,知它们所对的角也相等,这与题设两个角不相等相矛盾,因此假设不成立,故原命题成立.
3.解:
(1)由于③的题设是a+b>0,而⑤的结论是ab>0,故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的,所以③和⑤不是互逆命题.
(2)③的逆命题是如果a>0,b>0,那么a+b>0.⑤的逆命题是如果ab>0,那么a>0,b>0.
(3)①与④、②与⑥分别是互逆命题.
4.C
5.解:
(1)逆命题:
三条边对应相等的两个三角形全等.原命题与其逆命题都是真命题,所以它们是互逆定理.
(2)逆命题:
如果两个角的补角相等,那么这两个角是等角,原命题是真命题,其逆命题也是真命题,所以它们是互逆定理.
6.解:
∵∠D=25°,∠AED=105°,
∴∠DAE=50°.
又∵△ABC≌△ADE,
∴∠B=∠D=25°,∠ACB=∠AED=105°,∠BAC=∠DAE=50°.
∵∠DAC=10°,∴∠BAD=60°.
∵∠D=∠B,∠FMD=∠AMB,
∴∠DFB=∠BAD=60°.
7.解:
(1)①20°;10°
②设∠ABC=x,∠ADE=y,则∠ACB=x,∠AED=y.
在△DEC中,y=β+x,
在△ABD中,α+x=y+β,
∴α=2β.
(2)存在.如图,当点E在CA的延长线上,点D在线段BC上时,
(第7题)
设∠ABC=x,∠ADE=y,则∠ACB=x,∠AED=y,
在△ABD中,x+α=β-y,
在△DEC中,x+y+β=180°,
∴α=2β-180°.
8.证明:
∵△ABC,△BDE均为等边三角形,
∴BE=BD=DE,AB=CB,∠ABC=∠EBD=60°.
∴∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC.
即∠ABE=∠CBD.
在△ABE与△CBD中,
∴△ABE≌△CBD(SAS).
∴AE=CD.
又∵AD=AE+ED,ED=BD,
∴BD+CD=AD.
点拨:
利用等边三角形的性质证明线段间的和差关系问题时,往往结合具体问题选择三角形全等的判定方法,再运用全等三角形的性质进行线段之间关系的论证.
9.解:
∵AD是BC边上的高线,∠EPD=125°,
∴∠CBE=∠EPD-∠ADB=125°-90°=35°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°.
在Rt△ABD中,∠BAD=90°-∠ABD=90°-70°=20°.
10.证明:
如图,连接AM.
∵MN是AB的垂直平分线,
∴AM=BM.∴∠MAB=∠B.
又∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∴∠MAB=30°.
∴∠MAC=90°.
∵∠C=30°,∴CM=2AM.
∴CM=2BM.
(第10题)
11.证明:
因为DE是BC的垂直平分线,
所以BE=EC,DE⊥BC.
因为∠A=90°,所以DA⊥AB.
又BD是∠ABC的平分线,
所以DA=DE.
又BD=BD,
所以Rt△ABD≌Rt△EBD.
所以AB=BE.所以BC=2AB.
12.证明:
(1)∵AC⊥BC,DF⊥EF,
∴∠ACB=∠DFE=90°.
∵BC=EF,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴∠B=∠DEF.
∴AB∥DE.
13.证明:
如图,∵DE∥AC,
∴∠1=∠3.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∴∠2=∠3.
∵AD⊥BD,
∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°.
∴∠B=∠BDE.
∴△BDE是等腰三角形.
(第13题)
14.解:
(1)AP=CQ.
证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=CB,∠ABC=60°.
∵∠PBQ=60°,
∴∠ABC=∠PBQ.
∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC.
即∠ABP=∠CBQ.
又BP=BQ,
∴△ABP≌△CBQ.
∴AP=CQ.
(2)△PQC是直角三角形.
理由如下:
由PA∶PB∶PC=3∶4∶5,
可设PA=3a(a>0),
则PB=4a,PC=5a.
在△PBQ中,
∵PB=BQ=4a,∠PBQ=60°,
∴△PBQ是等边三角形.∴PQ=4a.
又由
(1)知CQ=PA.
∴PQ2+CQ2=PQ2+PA2=16a2+9a2=25a2=PC2.
∴△PQC是直角三角形.
15.
(1)证明:
如图,过点O作OM⊥AB于点M.
∵四边形OECF是正方形,
∴OE=EC=CF=OF,OE⊥BC于点E,OF⊥AC于点F.
∵BD平分∠ABC,∴OM=OE=OF.
∵OM⊥AB于点M,OF⊥AC于点F,
∴点O在∠BAC的平分线上.
(第15题)
(2)解:
∵AC=5,BC=12,∴AB=13.
设OE=x.
易得AF=AM=5-x,
BE=BM=12-x.
∵BM+AM=AB=13,
∴12-x+5-x=13.
解得x=2.∴OE=2.
16.证明:
方法一:
如图①,延长DE至点F,使EF=DE,连接BF.
∵BE=CE,∠BEF=∠CED,
EF=DE,
∴△BEF≌△CED(SAS).
∴BF=CD,∠F=∠CDE.
又∵∠BAE=∠CDE,
∴∠F=∠BAE.
∴BF=AB.∴AB=CD.
(第16题)
方法二:
如图②,分别过点B,C作BF⊥AE,交AE的延长线于点F,CG⊥AE,交AE于点G.
∵∠BEF=∠CEG,∠BFE=∠CGE=90°,BE=CE,
∴△BEF≌△CEG(AAS).
∴BF=CG.
又∵∠AFB=∠DGC=90°,∠BAF=∠CDG,
∴△ABF≌△DCG(AAS).
∴AB=CD.
方法三:
如图③,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F,则∠BAE=∠F.
∵∠BEA=∠CEF,BE=CE,
∴△BEA≌△CEF(AAS).
∴AB=FC.
又∵∠D=∠BAE,∴∠F=∠D.
∴FC=CD.∴AB=CD.
17.解:
AB=AC.理由:
因为AD=AE,所以△ADE是等腰三角形.取线段DE的中点F,连接AF,则AF既是△ADE的中线,又是底边上的高,即AF⊥DE,DF=EF.
又因为BD=CE,所以BD+DF=CE+EF,即BF=CF.
所以AF是线段BC的垂直平分线.
所以AB=AC.
18.证明:
如图,连接AP.
∵PQ是线段AB的垂直平分线,
∴PA=PB.∴∠B=∠PAB=22.5°.
∴∠APC=45°.
∴△ADP为等腰直角三角形.
∴DP=AD.
又∠FPD+∠PFD=90°,∠AFE+∠DAC=90°,∠PFD=∠AFE,
∴∠FPD=∠CAD.
又∵∠PDF=∠ADC=90°,
∴△PDF≌△ADC.
∴DF=DC.
(第18题)
19.证明:
如图,过点E作EF⊥AD于点F.
∵AE平分∠BAD,AB⊥BC,EF⊥AD,
∴BE=FE.
∵E为BC的中点,
∴BE=CE.
∴FE=CE.
又∵EF⊥AD,EC⊥DC,
∴DE平分∠ADC.
(第19题)
点拨:
构造辅助线的方法:
当根据题意可直接或间接地说明有角平分线时,常过角平分线上的某点向角的一边(两边)引垂线段,利用角平分线的性质和判定进行证明.
20.解:
如图,以直线l为对称轴,作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B并延长,交直线l于点C,则点C即为所求.理由如下:
在直线l上任找一点C′(异于点C),连接CA,C′A,C′A′,C′B.
因为点A,A′关于直线l对称,所以直线l为线段AA′的垂直平分线,则有CA=CA′.所以CA-CB=CA′-CB=A′B.又因为点C′在直线l上,所以C′A=C′A′.在△A′BC′中,C′A′-C′B (第20题)
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