中学数学第二节 随机抽样.docx
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中学数学第二节随机抽样
第二节 随机抽样
【最新考纲】 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法.4.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.
1.简单随机抽样
(1)设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法有两种:
抽签法和随机数表法.
2.系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
(1)先将总体的N个个体编号.
(2)确定分段间隔k,对编号进行分段,当
是整数时,取k=
,当
不是整数时,随机从总体中剔除余数,再取k=
.
(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k).
(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k),再加k得到第3个个体编号(l+2k),依次进行下去,直到获取整个样本.
3.分层抽样
(1)定义:
在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个数,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是分层抽样.
(2)应用范围:
当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.
1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)简单随机抽样是从总体中逐个不放回的抽取抽样.( )
(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关.( )
(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.( )
(4)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( )
答案:
(1)√
(2)× (3)√ (4)×
2.(2015·广东卷)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )
A.50 B.40 C.25 D.20
解析:
根据系统抽样的特点分段间隔为
=25.
答案:
C
3.(2017·西安调研)在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是( )
A.总体B.个体
C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本
解析:
从5000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间,样本容量是200,抽取的200名居民的阅读时间是一个样本,每名居民的阅读时间就是一个个体,5000名居民的阅读时间的全体是总体.
答案:
A
4.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1=p2 C.p1=p3 解析: 由于三种抽样过程中,每个个体被抽到的概率都是相等的,因此p1=p2=p3. 答案: D 5.(2015·福建卷)某校高一年级有900名学生,其中女生400名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为________. 解析: 设男生抽取x人,则有 = ,解得x=25. 答案: 25 两条规律 1.三种抽样方法的共同点都是等概率抽样,即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n,总体容量为N,每个个体被抽到的概率是 . 2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列. 三个范围 1.简单随机抽样: 总体容量较少,尤其是样本容量较少. 2.系统抽样: 适用于元素个数很多且均衡的总体. 3.分层抽样: 适用于总体由差异明显的几部分组成的情形. 三点注意 1.简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取,是不放回抽样. 2.系统抽样中,易忽视抽取的样本数也就是分段的段数,当 不是整数时,注意剔除,剔除的个体是随机的. 3.分层抽样中,易忽视每层抽取的个体的比例是相同的. A级 基础巩固 一、选择题 1.(2015·四川卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( ) A.抽签法 B.系统抽样法 C.分层抽样法D.随机数法 解析: 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法. 答案: C 2.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 解析: 由 =20,即每20人抽取1人,所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为 = =12(人). 答案: B 3.某工厂甲,乙,丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=( ) A.9B.10C.12D.13 解析: 依题意得 = ,故n=13. 答案: D 4.(2015·陕西卷)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( ) A.93B.123C.137D.167 解析: 初中部的女教师人数为110×70%=77,高中部的教师人数为150×(1-60%)=60, 该校女教师的人数为77+60=137. 答案: C 5.(2017·青岛二模)某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生2000名,抽取了一个容量为200的样本,已知样本中女生比男生少6人,则该校共有女生( ) A.1030人B.97人C.950人D.970人 解析: 由题意可知抽样比为 = , 设样本中女生有x人,则x+(x+6)=200, 所以x=97,该校共有女生 =970(人). 答案: D 6.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为( ) A.7B.9C.10D.15 解析: 由系统抽样的特点知: 抽取号码的间隔为 =30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n项,显然有729=459+(n-1)×30,解得n=10.所以做问卷B的有10人. 答案: C 二、填空题 7.(2014·天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取________名学生. 解析: 根据题意,应从一年级本科生中抽取的人数为 ×300=60. 答案: 60 8.网络上流行一种“QQ农场游戏”,这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程.为了了解本班学生对此游戏的态度,高三(6)班计划在全班60人中展开调查,根据调查结果,班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈,为此先对60名学生进行编号为: 01,02,03,…,60,已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09,则抽取的学生中最大的编号为________. 解析: 由最小的两个编号为03,09可知,抽取人数的比例为 ,即抽取10名同学,其编号构成首项为3,公差为6的等差数列,故最大编号为3+9×6=57. 答案: 57 9.(2014·广东卷改编)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中学学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为_________,_______. 解析: 易知,样本容量为(3500+4500+2000)×2%=200. 又样本中高中学生共有2000×2%=40(人). 利用图②知,高中学生的近视率为50%. 因此所抽样本中高中学生的近视人数为40×50%=20(人). 答案: 20020 三、解答题 10.某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19. (1)求x的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名? 解: (1)∵ =0.19.∴x=380. (2)初三年级人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500,现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在初三年级抽取的人数为: ×500=12(名). B级 能力提升 1.(2016·青岛模拟)将参加夏令营的600名学生编号为001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( ) A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,16,9D.24,17,9 解析: 由题意及系统抽样的定义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N*)组抽中的号码是3+12(k-1). 令3+12(k-1)≤300得k≤ ,因此在第Ⅰ营区被抽中的人数是25; 令300<3+12(k-1)≤495得 因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17,第Ⅲ营区抽50-25-17=8(人). 答案: B 2.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号,6~10号,…,196~200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取________人. 解析: 由分组可知,抽号的间隔为5, 又因为第5组抽出的号码为22, 所以第6组抽出的号码为27,第7组抽出的号码为32, 第8组抽出的号码为37. 40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5=100, 则应抽取的人数为 ×100=20(人). 答案: 37 20 3.某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表: 学历 35岁以下 35~50岁 50岁以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y (1)用分层抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况分层抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N个人中随机抽取出1人,此人的年龄为50岁以上的概率为 ,求x,y的值. 解: (1)用分层抽样的方法在35~50岁中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m, ∴ = ,解得m=3. 抽取的样本中有研究生2人,本科生3人,分别记作S1,S2;B1,B2,B3. 从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个: (S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3), 其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7人: (S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2). ∴从中任取2人,至少有1人学历为研究生的概率为 . (2)由题意,得 = ,解得N=78. ∴35~50岁中被抽取的人数为78-48-10=20, ∴ = = , 解得x=40,y=5. 即x,y的值分别为40,5.
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