研究生矩阵论课后习题答案全习题二.docx
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研究生矩阵论课后习题答案全习题二
习题二
1
2
(1)
J
1
2
2
2
0
0
0
0
0
2
(2)
0
(
1)2
0
2
0
0
3
2
2
3
2
1
(3)
4
2
3
5
3
2
2
4
2
2
3
0
4
3
6
0
(4)
0
6
1
0
1
3
3
1
2
2
解:
(
1)
对矩阵
作初等
变换
1
2
c1c3
1
2
2
2
1
0
0
c2
2c1
0
c3
c1
0
0
(
1)
则该矩阵为
Sm
ith标准型为
1.化下列矩阵为Smith标准型:
2
0
0
0
2
2
3
2
3
4;
1
1
22
2
0
0
0
0
0
1
2
12
0
r3
r0
2
2
r1
1
00
1
0
0
c3c2r1
(1)
0
0,
0
0
(1)
(1)
2)矩阵的各阶行列式因子为
D4()4
(1)4,D3()
(1)
2
(1)2,D2()
(1),D1()1,
从而不变因子为
1)4()
D3()
D2()
1),d4()
D4()
D3()
2(
1)
1
0
0
(1)
0
0
0
0
(3)对矩阵作初等变换
3223
2
1
22
3
4235
3
2
23
4
24
2
1
4
72
6
3
r2r1
片(22)「3
21
22
4
72
6
3
2
q
(2)03°?
(2)C3
21
0
3
2
1
3
q
(1)°2
0
0
3
2
1
0
H(25)r2
r1
(1)
0
0
0
di()1阳)D2^-)(
Di()
故该矩阵的Smith标准型为
故该矩阵的Smith标准型为
00
00
(1)0
22
0
(1)
3222122
C103
“4233222
2221
22450
10
21
22450
10
01
2245
0
1
0
0
1
0
1
0
0
10r1r3
1C3
0
1
0
1
0
0(
1)2(
1)
1
1
(1)2
(1)
(4)对矩阵作初等变换
2
3
0
1
0
0
0
1
4
36
0
2
2
ClC5
0
0
0
2
2
0
6
2
0
C23c3
0
0
2
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
3
3
1
2
2
0
0
3
3
1
2
2
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
C1
3C2
0
0
0
2
2
「2
2r1
0
0
0
0
C3
2C2
0
0
2
0
C3
C1
0
0
2
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
「1
2c3
0
0
0
0
2
C1C4
0
2
0
0
0
C4
0
0
0
0
C2C5
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
D5()3
(1)2,D4()
1),D3()D2()D!
()1,
于是不变因子为
在最后的形式中,可求得行列式因子
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
(1)
0
0
0
0
2•求下列
矩阵的不变
:
因子
:
故该矩阵的Smith标准形为
0
0
0
0
2
(1)
1
0
0
1;
(2)
0
0
;
0
0
1
0
0
0
1
0;
(3)
0
0
1
5
4
3
2
0
0
1
2
0
1
2
0
(4)
1
2
0
0.
2
0
0
0
解:
(
1)该
矩阵的右上角的
2阶子式为1,故
D1()D2()1,
而
D3()
(2)3,
所以该矩阵的不变因子为
d1()
d2()
1,d3(
2
)
(2)2;
(2)当0时,
由于
D4()
()4
D3()
()
2,D2()D1()1,
故不变因子为
d1(
)d2()
1,d3(
)(
)2,d4()()2
当0时,
由于
D4()
[(
)22],
且该矩阵中右上角的
3阶子式为
2(
),且(
2(
),D4())1,
则D3()1,故D2()D1()1,所以该矩阵的不变因子为
22d1()d2()d3()1,d4()[()22];
3)该矩阵的右上角的3阶子式为1,故
D1()
D2(
)
D3()1,
而
D4()4
2
3
3245,
所以该
矩阵的
不变因子为
d1()
d2()d3()
1,d
4(
)4233245;
(4)
该
矩阵的行列式因子为
D1()D2()
D3(
)
1,D4()
(2)4,
所以该
矩阵的
不变因子为
d1()d2()
d3(
)
4
1,d4()
(2)4.
3.求下列
矩阵的初等因子:
32
3
1
(1)
23
2323
2
;
2
(2)
3
22212
2
1
23
2
2212
22
解:
(1)该
矩阵的行列式因子
为
D1()1
D2(
)
2
(1)
(1)2,
故初等因子为
1,
(1)2;
故不变因子为
13
16
16
4
5
2
3
7
3
1)
5
7
6
;
(2)
2
2
1;
(3)2
5
2
6
8
7
1
1
1
4
10
3
1
2
3
4
1
1
1
0
3
3
0
1
2
3
4)
3
3
3
;(5)
1
8
6
;(6)
0
0
1
2
2
2
2
2
14
10
0
0
0
1
4.求下列矩阵的
Jordan标准形:
解:
(1)设该矩阵为A,则
1
0
0
EA0
1
0,
0
0(
1)2(3)
故A的初等因子为
(
1)2(
3),
则A的Jordan标准形为
300
011
001
2)设该矩阵为A,则
1
0
0
EA
0
1
0,
0
0(
1)3
故A的初等因子为
(1)3,从而A的Jordan标准形为
110011;
001
1
0
0
EA
0
1
0
0
0
(
1)(21)
故A的初等因子为
1,
i
i,
从而A的Jordan标准形为
1
0
0
0
i
0
J
0
0
i
(4)设该矩阵为A,则
1
0
0
E
A
0
0,
0
0
2
故A的初等因子为
2
从而A的Jordan标准形为
0
0
0
0
0
1
J
0
0
0
(5)设该矩阵为
A,则
1
0
0
EA
0
1
0
0
0(
1)2
故A的初等因子为
(
1)2,
从而A的Jordan标准形为
(6)设该矩阵为A,则
EA
该矩阵的各阶行列式因子为
Di()D2(
则不变因子为
di()d2(
故初等因子为
0
0
0
0
1
1;
0
0
1
1
2
3
4
0
12
3
0
0
1
2
0
0
0
1
)D3(
)
1,D4()
(
1)4,
)d3(
)
1,d4()
(
1)4,
则A的Jordan标准形为
5•设矩阵
(1)4,
1100
0110
0011.
0001
故A的特征值为11,
5.
属于特征值11的特征向量为1(1,0,0)T,
求A的Jordan标准形J
,并求相似变换矩阵
P,使得
1
P1APJ.
解:
(1)求A的Jordan标准形
J.
2
1
1
1
00
IA
2
1
2
0
10
1
1
2
0
0
(1)
故其初等因子为
1,(
1)2,
故A的Jordan标准形
1
0
0
J
0
1
1.
0
0
1
(2)求相似变换矩阵P.考虑方程组
11
1
x1
(IA)X0,即22
2
x20,
11
1
x3
解之,得
1
0
X10,X2
1.
1
1
其通解为
k1
k1X1k2X2=
k2
J
k1k2
其中ki,k2为任意常数
考虑方程组
1
11
x1
k1
2
22
x2
k2
1
1
11
x3
k1
k2
111
k1
1
1
1
k1
222
k2
0
0
0
2k1
k2
111
k1k2
0
0
0
2k1
k2
故当2k1k20时,方程组有解.
取k11,k22,解此方程组,得
0
X30
1
则相似变换矩阵
1
0
0
P[X1,X2,X3]0
1
0
1
1
1
7•设矩阵
试计算2A83A5AA24I.
解:
矩阵A的特征多项式为
fA()
IA321,
由于
2835424(
320
21)f()(243710)
其中f()2543529
14.
且
A3
2AIO,
故
3
48
26
2A83A5A4A24I=24A237A10I
0
95
61
0
61
34
8•证明:
任意可逆矩阵
A的逆矩阵A1可以表示为A的多项式
证明:
设矩阵A的特征多项式为
fA()
IA
nn
a1
1n
a2
2L
an1
an
则
An
a1An1
a2An2L
an1A
anI
O,
即
A(An
1a1A
n2區n3
a?
A
Lan
1I)
anI,
因为A可逆,故an
(1)nA0,则
11n1n2n3
A(AaiAa?
ALanJ)
an
9•设矩阵
21
A,
13
试计算(A45A36A26A8I)1.
解:
矩阵A的特征多项式为
fA()|IA257,
则
A22A7IO,
而
故
1
4321111121
(A5A6A6A8I)(AI)-
2311
解:
矩阵A的特征多项式为
fA()IA
(1)
(1)
(2),
则设
由f
(1)0,f
(1)0,f
(2)0,得
abc1,
abc1,
2n
4a2bc2.
解之,得
a3(22n1),b°,c£(22n4),
33
因此
3
1
1
4
2
2
(1)0
2
0;
(2)
5
7
5
1
1
1
6
7
4
11.求下列矩阵的最小多项式:
2)(2511)
A2naAbAcI-(22n1)A2^(22n4)I
33
a。
q
a2a3
a1
a。
a3
a2
(5)B
a2
a3
a°
a
as
a2
a1
a°
3
11
解:
⑴设A0
20
,则
1
11
3
1
1
1
00
IA
0
2
0
0
20
1
1
1
0
2
0
(2)
故该矩阵的最小多项式为
(
2)2.
n阶方阵A,其元素均为
1;
4
2
2
⑵设A5
7
5
则
6
7
4
I
A
(2)(2511),
故该矩阵有三个不同的特征值
因此其最小多项式为(
(3)n阶单位阵In的最小多项式为m()
⑷因为
IAn1(n),
又A2nA,即A2nAO,故该矩阵的最小多项式为(n).
(5)因为
IB
[22ao(a0
2
a
22\i2
a2a3)],
2
而m()2a0
(a2
222、口
aia2a3)是
I
B
的因子,经检验知m()是矩
阵B的最小多项式
(资料素材和资料部分来自网络,供参考。
可复制、编制,期待你的好评与关注)
002
142
A034
043
求A5.
解:
矩阵A的特征多项式为
fA()IA
(1)(5)12,
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