学年八年级数学专题提优复习《分式》含答案.docx
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学年八年级数学专题提优复习《分式》含答案
八年级数学专题提优复习《分式》
1分式的概念
分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零,而分式的分子为零时,分式的值为零•
经典例题
2x2-2
Tr
(1)当X为何值时,分式V有意义?
2x2一2
1-丄
(2)当X为何值时,分式X的值为零?
解题策略
2x2-2
⑴要使分式X有意义,应有分母不为零这个分式有两个分母X和",它们
2疋-2
1-丄Ho
都不为零,即XH°且X
1-1
于是当XH°且XHI时,分式X有意义,
2x2一2
1—.l--≠0
⑵要使分式X的值为零,应有2f-2=°且X
2宀2
1--是当χ=-i时,分式X的值为零
画龙点睛
1.要使分式有意义,分式的分母不能为零.
2.要使分式的值为零,应有分式的分母不为零,而分式的分子等于零,以上两条,缺一不可.
举一反三
X
1.
(1)要使分式2兀一4有意义的X的取值范围是()
(A)X=2
(B)"2
(C)X=-2
(D)XH-2
⑵若分式的的值为零,则X的值为(
)
(A)3
(B)3或一3
(C)一3
(D)O
国-3
2.
⑴当X
时,分式(X+1)'一16的值为零;
⑵
当X
2x+1≥o
时,分式人―1
x-bX-b
3.
已知当X=
一2时,分式x+d无意义;当兀=4时,分式的值x+α为零,求a+b
融会贯通
^≡^≤o
4.若a—1,求α值的范围.
2分式的基本性质
分式的基本性质是:
分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的整式,分式的值不变.分式的基本运算,例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等,都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用.
经典例题
若x2-3x+1t求%4+x2+l的值
解题策略
因为x2-3x+1,所以XHo
122
X+—=—
X7
F_]_]_]__49_
十+十+1一疋+]+丄一(牙+丄)2_]一(22)2_I^435因此对X7
画龙点睛
1
XH
对于含有X形式的分式,要注意以下的恒等变形:
(x+丄)2=X2+-!
τ+2XJT
Z1Olr
Gv--r=X-+--2
X旷
(x+-)2-(X--)2=4
XX
举一反三
1.
(1)不改变分式的值,使分式的分子和分母的系数都化为整数;
0.5a-0.2h+-c
2
0.2α+0.5Z?
+-c
3
(2)不改变分式的值•使分式的分子和分母的最髙次项系数是正数:
∖-a3
U2一“+I
Xy_12x+3xy-2y
2.已知∙γ-y亍,求λ~>,-2λ>,的值.
3.已知X,求F+F+1的值.
融会贯通
Ub^a2+ab+b2
_+一=3—γ
4.已知〃a,求"+4db+b-的值.
3分式的四则运算
分式的四则运算和分数的四则运算是一致的,加减法的关键是通分和约分.综合运算时要遵循先乘除后加减,以及先做括号内的,再做括号以外的次序.
经典例题
4V24x2—8xvπ
(X_y_-)(χ+y)÷[3(χ+y)_一-]
计算:
χ-yχ+yχ-y
解题策略
_(X-y)2一4),(X+y)2一4x2亠3(x+y)(x一y)一
原式E石—.百
(x+y)(x_3y){3x+y)(y-x)x-y
∙∙
x-yx+y(3x+y)(x-3y)
=y_x
画龙点睛
在进行分式的四则运算时,要注意运算次序•在化简时,因式分解是重要的恒等变形方
法;在解答求值问题时,一般应该先化简分式,再将字母对应的值代入计算.
举一反三
m62
■
1.先化简,再求值:
加+3W2-/H-3,其中加=_2.
112a4/
547
2.计算:
a_ba+ba"a+b
1a+3a2-2a+∖
—X
3.⑴已知实数"满足/+2"-8=0,求"+1α2-la2+4a+3的值
wClb\1
M=+N=+
(2)已知Jb为实数,且ab=∖9设a+∖b+∖,a+∖b+∖,试比较M.N的大小关系.
融会贯通
4.甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料,两次肥料的价格有变化,两位采购员的购货方式也不同:
甲每次购买800千克;乙每次用去600元,而不管购买多少肥料•请问谁的购货方式更合算?
4分式的运算技巧一一裂项法
134—5
+=我们知道,多个分式的代数和可以合并成一个分式,如"1A・一2GV-I)GV-2)
反过来,由右边到左边的计算往往可以使一些复杂的分式计算变得简捷常见的裂项
A±B111_11
=—±—=
有:
ABB~A9n(n+i)n〃+1经典例题
5x-4_AB
已知GV-I)(2λ-1)x-12x-1f求a、B的值
解题策略
5x-4_AB_A(2x-l—1)_(2A-3)x+B-A
可得
IlI(X-I)(2λ∙-1)"7≡7"2x-1"—(X-I)(2λ∙-1)—(X-I)(2x-l)
[2A-B=5
B-A=r,解得1—-3
画龙点睛
已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则讣算,利用分式相等的条件求出A、B
的值即可.
举一反三
Mx+N_2CMx+N
1.若在关于X的恒等式疋+兀一2X+"x+b中,x2+x-2为最简分式,且有
a>bta+b=c9求M,N
1111
-;1—;1—;1—;
2.化简:
xλ'+xλt+3x+2jγ+5x+6X-+7x+12
2a_b_C2b-c-u2c_a_b
-;1—;1—;
3.j]•算:
Cr一Ub一ac+beZr—ab一be+ClCL一ac一be+ab
融会贯通
X2-1bC
=Cl++
4.已知Cv-2)(x-3)x-2x_3,当XHI23时永远成立,求以匕、-b、C
为三边长的四边形的第四边〃的取值范国・
5含有几个相等分式问题的解法
有一类化简求值问题,已知条件中含有若干个相等的分式,其本质是几个比的比值相等的问题.解决此类问题常将这个相等的比用一个字母表示,从而将其转化为一个整式的问题来解决・
经典例题
χ+y-z_χ-y+z_-χ+y+z(χ+y)(y+z)(z+χ)_∣
已知—,且冠,求χ+>'+z的
值
解题策略
x+y-z_x-y+z_-X+y+z
由Z卩X
得ZyX
x+y_x+Z_y+Z
从而Z一一*
χ+y_x+z_y+z_k
设ZVX,则
x+y=kz.x+z=kyy+z=kx
9
三式相加得2(龙+y+z)=心+y+z),即(x+y+z)(2-約=0,所以x+y+z=O,
或R=2
χ+yχ+z.y+z_J
若x+y+z=O,则ZyX,符合条件:
(χ+y)(y+z)(z+χ)=&H_]
若k=2,则ΛXZ与题设矛盾,所以k=2不成立
因此χ+y+"°
画龙点睛
1.将相等的比用一个字母表示,是解决含有连等分式问题的常见解法.
2.在得到等式2(χ+y+z)=k(x+y+z)后.不要直接将等式的两边除以x+y+J因为此式可能等于0.
3.在求出值后.要注意验证,看是否与已知条件矛盾.
举一反三
x+y+zx+yx+y-z
1.⑴已知㊁75,求值①Z:
②Z:
③X
5a+6b-7c
求&/+%的值
a+b_b_2c_3c+1Or/
⑵已知254
a_b_c_da-b+c-d
2.若TCa。
,求"+方一c+〃的值
3.已知实数"、b、C满足d+b+c=≠°,并且b+cc+aa+b,则直线
y=d-3_定通过(
(B)第一、二四象限
(D)第一、三、四象限
(A)第一、二、三象限
(C)第二、三、四象限融会贯通
P_q_rpx+qy+rz,
4.已知P+0+r=9,且F—yzy2-u,一卩,求A-+y+z的值
6整数指数幫
Crn=——(a≠0)7A
一般地,当"是正整数时,/,这就是说"≠O)是的倒数•引入
了负整数指数幕后,指数的取值范帀就推广到全体整数・经典例题
(X~2'nV-H)^4=χ-2∕n∙(-4)y-"∙(-4)_X»>n『4”=(X=2~8X3°=
画龙点睹
将所求的代数式转化为以X“、F为底的乘方,进而代入相应的值进行计算.
举一反三
It计算⑴a~2b2.(-2a2b-2)÷(a^b2)
(-l)5+⅛-4+(-⅛,÷(-∣)-3×(-⅛
⑵21023
⑶(5×1010)÷(-0.2×102)2×(-200)2
2.水与我们日常生活密不可分,科学家研究发现,一个水分子的质量大约是3×10^26kg,8g水中大约有多少个水分子?
通过进一步研究科学家又发现,一个水分子是由2个氢原子和一个氧原子构成的.已知一个氧原子的质量约为2.665×IO'26kg,求一个氢原子的质量.
3.已知/-3α+l=0,求⑴“+戶:
(2)∕+α=(3)/+/
融会贯通
4.如图,点°、A在数轴上表示的数分别是°、0.1.将线段(OA分成100等份,其分点由左向右依次为“I、“2,...,M99;再将线°”I分成I。
。
等份,其分点由左
NNNON
向右依次为I、2,99;继续将线段I分成100等份,其分点由左向右
依次为P-卩2...,P99.JlllJ点^37所表示的数用科学记数法表示为
A
Lld_」111]1_J
O0」
7分式方程的解法
分母中含有未知数的方程是分式方程.通常我们采用去分母的方法,将其变形为整式方程来解答.
经典例题
5-2x_4-3x
解方程2—33x-2
解题策略
解法一去分母,得
(5-2x)(3X-2)=(4-3λ-)(2λ-3)
15λ-6λ2-10+4x=8x-6x2-12+9x
所以X=T
验根知兀=一1为原方程的解・
解法二方程两边加X得
2_2即2x-33x-2
所以2λ-3=3x-2
解得X=T
验根知χ=-ι为原方程的解.
解法三原式可化为2尤-33x-2
2_2
所以2λ∙-33x-2
以下同解法二
画龙点睛
1.通常我们采用去分母的方法来解分式方程,先将其变形为整式方程,再用解整式方程的方法来解答.
2.除了用去分母的方法来解分式方程外,采用部分分式的方法,即将分式分解为一个整式和一个分式之和,这样可以使解方程的过程变得简单.
3.解完分式方程后,要进行检验,这是一个必不可少的步骤.因为在去分母时容易产生增根.
举一反三
746
+=—~7
1.⑴解方程2+X工一兀对一1
X2-x+l_X2+x⑵解方程疋一XjA-+x-2
5x2x-57x-10
1;=
2.
(1)询军方程+兀一6-X-12X--6x+8
2,x—53x—33λ,—62x—3
1=1
(2)解方程%-7兀一4x-5x-6
6InI
_=I
3.若解方程(χ+i)(χ-i)χ-ι是会有增根,求它的增根
融会贯通
111
X+—=C+-—
4.已知方程
XC(C是常数,c≠0)的解是C或c.求方程
1
x+=
4λ∙-6
U"+3cι+1
2。
("是常数,且GHO)的解.
8列分式方程解应用题
和整式中的一元一次方程一样,列分式方程所解的应用题也包括工程问题、行程问题、经济问题等,本节介绍列分式方程解应用问题的方法.
经典例题
某市今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨25%,小明家去年12月份水费是18元,而今年5月份的水费是36元,已知小明家今年5月份的用水量比去年12月多6立方米,求该市今年居民用水的价格.
解题策略
设该市去年居民用水价格为X元/m3,则今年用水价格为(l+25%)x元/m3.根据题意
3618Z
=O
得.(l+25%)xX,解得:
X=1.8
经检验:
兀=1∙8是原方程的解.所以(1+25%)X=2∙25
所以该市今年居民用水的价格为2.25元/m3.
画龙点睛
列分式方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题步骤基本上是一致的:
审査题意,设未知数;找岀等量关系,列岀方程;解分式方程并验根;写出答案.
举一反三
1.某服装厂准备加工300套演出服,加工60套后,釆用了新技术,使每天的工作效率是原来的2倍,结果共用了9天完成任务,请问:
该厂原来每天加工多少套演出服?
2.便民服装店的老板在株洲看到一种夏季衫•就用8000元购进若干件,以每件58元的价格出售,很快售完•又用17600元购进同种衬衫,数量是第一次的2倍,每件进价比第一次贵了4元,服装店仍按每件58元出售,全部售完.问该服装店这笔生意共盈利多少元?
3.从甲地到乙地共50km,其中开始的Iokm是平路,中间的20km是上坡路,余下的20km又是平路,小明骑自行车从甲地出发,经过2小时10分钟到达甲、乙两地的中点,再经过[小时50分钟到达乙地,求小明在平路上的速度(假设小明在平路上和上坡路上保持匀速)・
融会贯通
4.某工程队(有甲、乙两组)承包一项工程,规定若干天内完成.
(1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规左时间多30天,乙组单独完成这项工程所需时间比规上时间多12天,如果甲乙两组先合做20天,剩下的由甲组单独做,恰好按规左的时间完成,那么规泄的时间是多少天?
5
(2)实际工作中,甲乙两组合做完成这项工程的&后,工程队又承包了新工程,需要抽调一组过去,从按时完成任务考虑,你认为留下哪一组更好?
说明理由.
参考答案1分式的概念
1.(I)B
(2)C
1
X≤—
2.(I)X=-3
(2)2或x>l
3.6
4.—2≤6/<1
2分式的基本性质
15α-6b+15c
Ie⑴6«+15Z?
+IOc
/-1
(2)_α+]
2.由已知,得兀一)'=一3勺丿,所以
2(x_y)+3λ^_-6Xy+3xy_-3Xy_3原式(兀一刃一2卩-3xy-IXySxy5
3.
£+1+2
ba-3÷l-4
#+4+23+47
得bCI
3分式的四则运算
In62
■
■•
1ιn+3nr-9Hl-3
In6m_3
In+3(In+3)(∕∕ι-3)2
_in-3
In+3
_加_3_-2_3_§
当HI=-2时,原式m+3-2+3'
11Ia4α'
++-Γ+-7r
2.u_ba+bCr+b"a+lf
2a2a4cr
1+
a-b2a2+b2a4+b4
4/4*
=+
a4-b4a4+b4
4/
1a+3G∕-l)2
=X
a+1(«+I)(G-1)(Cl+I)(G+3)_1“一1
"^+T"G∕+1)2
一(0+1)2
illO1+2幺—8=0知(α+T)・=9
_2_2所以原式仗+1)2G
M_N=(———I-—)—(—!
——I——!
—)
⑵d+1Z?
+1α+lb+↑
Glbl
=—+—
a+∖G+1h+∖b+∖
"一1/?
一1
=+
"+1b+∖
_("-l)(b+l)+3-l)(d+l)("+1)3+1)
(Ub+a—Z?
—1)+(Ub+Z?
—"一1)
("+1)9+1)
2ub_2_0
(α+l)3+l)一
所以M=N
4.设两次购买肥料的单价分别为α元/千克和〃元/千克W、方为正数,且GH"),则800G+800/?
CI+b
甲两次购买肥料的平均单价为:
800+8∞2(元/千克).
600+600_Iab
600*600a+b乙两次购买肥料的平均单价为:
ab(元/千克).
a+b2ab(a-bf(a_b)2A
=>0
因为2a+ba(a+b)又a≠h9a>09b>09所以"(α+b)
所以甲的平均单价比乙的髙,所以乙的购货方式更合算一些
4分式的运算技巧一一裂项法
Mx+N_2x+2b-ex-Ca_(2-c)x+2b-ca
X2+x-2(x+U)(X+b)(x+a)(x+Z?
)
且2+X_2=(X_I)(X+2)a>b
所以Ci=Jb=_l,c=a+b=1
从而可得M=2-x=∖9N=2b-ca=7
1111
=+1
2.原式X(X+1)(x+l)(x+2)(x+2)(λ+3)(x+3)(x+4)
IllIllIl
=——+—+—+—
Xx+1x+1x+2x+2x+3x+3x+4
_1]
xx+4
Illlll
=+++++
U-Ca-bb-ab_cc_bc_ci=O
bC
a++
4.因为x—2x-3
a(x一2)(X—3)+b(x一3)+C(X-2)
(x-2)(x-3)
ax1一SaX+6a+bx-3b+cx-2c
(a—2)(x-3)
所以F-1=ax2-5αr+6α+bx-3b+cx-2c
所以α=l.-5α+b+c=0,6«-3/?
-2c=-l
解得"=1,方=一3,c=8
所以四边形的第四边〃的取值范Il应满足l+3+8>",l+3+">8,l+8+J>2,3+8÷J>1f解得4vdvl2
5含有几个相等分式问题的解法
L=L=L=k
1.⑴设275,则x=2k,y=lk,z=5k
x+y+Z_2k+7k+5k_14
1Z5k5
x+y_2k+7k_9
2Z5k5
x+y-Z2k+7k-5kC
3X2k
a+bb_2c3c+∖0at
⑵设254则
a+b=2k
3c+10t∕=4& a=k 'b=k 解得Li 5a+6h-7c_5k+6k-(-14E)_25 86/+9/? Sk+9k∏ 2•设beau 则d=ak.c=(Ik=Clksb=Ck=ak∖a=hk=ak4 所以F=ι,得£=±1 当k=-1时,a=-h=c=-d9原式=—2 3k(a+b)=c.k(b+c)=a,k(c+a)=b于是2k(a+b+c)=a+b+c 因为d+b+cHθ k_\ ≡2 γ=—X—3 直线•2的图象经过第一、三、四象限 故选择D 4. 设2一W一乙Y君一Ay 故〃=k(x2一yz),q=k(y2一zx∖r=k(z2一小) 所以p+^+r=Ar(Λ2+y2+z2->7-^-λ}<)=9 乂px+qy+rz=k(x'-XyZ+y3-XyZt+z3-XyZt) =R(X3+y3+才一AyZ_XyZ_XyZ) =R(X+y+z)(x'+y'+zt2-yzt-zx-xy) =9(χ+y+z) px+qy+rz, 所以x+y+z=9 6整数指数幕 £ 1.⑴4/ 4丄 (2)9 (3)5×10,2 2.2.67×IO23个1.675XlOekg 3. (2)因为/一3"+l=0,且a≠0 所以/+1=3“ 丄-1"2+lQ a+a==3 所以G (2)-2=7 ⑶/+α~4=(a2+a~2)2—2=47 严表示的数为(U吩E IoTX丄=I(Tii I表示的数为100 0^5×⅛=10^7 P37表示的数为37=3.7x10" 7分式方程的解法 746 1= 1.⑴原方程分母因式分解为X(X+1)X(Xj)U+DCv-1)去分母得7(x-l)+4(x+l)=6x 3 X=— 解得5 3X—— 检验知5为原方程的根 解得X=I 整理得十-X-I=F+尤一2 1 X=—解得2 检验知X=I为原方程的根 F= x-7x-4 r x-5x-6 11_ 11 x-7x-6 x-5x-4 (x-6)-(x-7) •_(x-4)-(x-5) (x-7)(x-6) (x-5)(x-4) 1 1 (x-7)(x-6) (x-5)(x-4) 1 1 x2-13x+42x2-9x+20 4x=22 11 X=—解得2 JV=—_X= 检验把2代入最简公分母(X-7)(X-4)(x-5)(x-6)≠O所以 的根 3.去分母,得6-〃2(χ+i)=(χ+i)ατ) 如果增根为X=1>则6—M1+1)=O.加=3
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- 分式 学年 八年 级数 专题 复习 答案
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