土木工程力学本期末复习辅导指导6.docx

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土木工程力学本期末复习辅导指导6

土木工程力学（本）期末复习辅导

一、课程考核要求

俗话说“知己知彼，百战不殆”，大家都非常关心期末考试能否顺利通过，

所以首先来了解一下课程考试的相关信息。

1.考核方式

本课程采用形成性考核与终结性考试相结合的方式。

总成绩为100分，及格为60分。

形成性考核占总成绩的30%；终结性考试（期末考试）占课程总成绩的70%。

2.期末考试题型与考试方式

期末考试题型：

选择题，30分；判断题30分；计算与作图题40分。

期末考试为半开卷笔试，答题时限为90分钟。

学员考试时可带笔、绘图工具和计算器。

3.期末考试内容与要求

具体的考核内容与考核要求请大家查看电大在线教学文件栏目下的考核说明文件，注意带*的知识点将只在形成性考核中进行考核，终结性考试不再涉及。

二、课程各章重难点内容辅导

第3章静定结构的受力分析

静定结构，从几何组成角度讲，是无多余约束的几何不变体系；从静力特征角度讲，在任意荷载作用下，仅依靠静力平衡条件即可确定结构全部反力和内力，且解答是唯一的。

分析静定结构的基本方法是：

（1）根据结构几何组成特点确定相应计算方法。

（2）应用截面法，利用隔离体平衡条件计算支座反力和杆件内力。

1.内力分析方法

平面杆件的任意截面上的内力一般有三个分量，即轴力

、剪力

和弯矩

。

轴力是截面上应力沿轴线方向的合力，以拉力为正，压力为负。

剪力是截面上应力沿垂直杆件轴线方向的合力，以使所作用的隔离体顺时针转动为正，逆时针转动为负。

弯矩是截面上应力对截面形心的力矩，在水平杆件中，弯矩以使杆件下部受拉为正，上部受拉为负。

绘制内力图时，轴力图和剪力图的正值可以画在杆件的任意一侧，负值则画在另外一侧，并要求注明正负号；弯矩图应画在杆件受拉一侧，不需注明正负号。

内力图的纵坐标应垂直于杆件轴线。

截面法是计算结构指定截面内力的基本方法，其计算步骤可以简单的概括为：

截断、代替、平衡。

（1）截断——在所求内力的指定截面处截断，任取一部分作为隔离体。

（2）代替——用相应内力代替该截面的应力之和。

（3）平衡——利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。

利用截面法可得出指定截面内力如下：

（1）轴力等于该截面一侧所有的外力沿杆件轴线方向的投影代数和。

（2）剪力等于该截面一侧所有外力沿垂直于杆轴方向的投影代数和。

（3）弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。

以上结论是计算静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握并应用。

此外，在应用截面法时应注意：

（1）要截断所有约束，代之以约束力，不能遗漏外力（荷载、约束力）。

（2）宜选择外力较少的部分为隔离体，使计算简便。

（3）未知力一般假设为正方向，若计算结果为正，表明实际内力与假设方

向相同；计算结果为负，表明实际内力与假设方向相反。

2.静定梁

结构内力分析过程中经常会用到单跨静定梁，如简支梁、悬臂梁等，在常见荷载作用下的内力图尤其是弯矩图大家要熟练掌握，也可以挑选你认为重要的记在半开卷的考试用纸上。

（1）简支梁

简支梁内力图

（2）悬臂梁

悬臂梁内力图

多跨静定梁是由基本部分和附属部分组成的基本附属型静定结构，组成顺序是先固定基本部分，后固定附属部分。

作用在附属部分上的荷载将使它的基本部分产生反力和内力，而作用在基本部分上的荷载则对其附属部分没有影响。

基本部分、附属部分的判定还与荷载作用的方向无关。

3.桁架

理想桁架中的杆件只在杆端承受结点力的作用，桁架杆只受轴力作用，是二力杆。

零杆是桁架在特定荷载作用下出现的，当作用的荷载发生变化时，其内力可能不再为零。

计算静定桁架内力时，一般先利用特殊结点及对称性判断零杆，再灵活使用结点法、截面法进行求解。

使用结点法计算时必须明确求解顺序，结点上未知力数目不宜超过两个以避免联力求解带来的不便。

利用截面法计算时，隔离体未知力数目一般不宜超过三个，特殊情况下不限，对隔离体要灵活使用力矩法或投影法求解。

4.拱

拱是轴线为曲线并且在竖向荷载作用下能够产生水平反力的结构。

当竖向荷载确定后，三铰拱的支座反力只与三个铰的相对位置有关，与拱轴线形状无关，而内力则与拱轴线形状有关。

调整拱轴线形状可以改善三铰拱的内力状态。

当拱结构上所有截面的弯矩为零（此时，所有剪力也为零）而只有轴力时，横截面上的正应力是均匀分布的，材料的力学性能得以最充分的发挥，抗压材料得到最充分的利用。

此时的拱结构是最经济的，这样的拱轴线因而称为合理拱轴线。

在满跨竖向均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线是二次抛物线。

在不同竖向荷载作用下，三铰平拱的合理拱轴线是不同的。

5.对称性

对称结构在正对称荷载作用下，反力、内力都是对称的。

内力图中，弯矩图和轴力图是对称的，剪力图是反对称的。

对称结构在反对称荷载作用下，反力、内力都是反对称的。

内力图中，弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图是对称的。

第4章静定结构位移计算

工程结构中所使用的材料都是可变形的物体，因此，在荷载等外界因素作用下将会发生变形和位移。

所谓变形，是指结构或构件的截面形状发生改变，而位移则是指结构各处位置的移动。

静定结构产生位移的原因除上面提到的荷载作用外，还有一些非荷载因素，如温度变化、支座位移、制造误差、材料收缩等。

荷载作用使静定结构产生内力，进而发生变形，导致结构产生位移。

温度变化时，静定结构中的构件能够自由变形，产生位移，而结构并无内力产生。

支座位移（移动或转动）时，静定结构既无内力也无变形产生，只发生所谓的刚体位移。

对于确定的位移状态，虚设相应的力状态，利用虚功方程求解位移状态中的未知位移。

虚力原理等价于几何方程。

单位荷载法计算结构位移的一般步骤是：

（1）在所求位移的截面位置，沿所求位移的方向施加（虚）单位荷载；

（2）利用平衡条件，计算结构由于单位荷载作用而产生的杆件内力和支座反力；

（3）视给定的具体外因计算杆件微段的变形（或应变和曲率）并确定各支座发生的位移；

（4）将

（2）、（3）两步的计算结果代入一般公式，求得指定的位移。

计算结果为正，表示所求位移与虚设单位力方向一致；结果为负，则说明所求位移与虚设单位力方向相反。

虚设单位力的施加：

梁和刚架中的位移主要是由弯曲变形引起的，轴向变形和剪切变形影响很小，可以忽略不计，因此位移计算公式可以简化为：

梁和刚架中的位移主要是由弯曲变形引起的，轴向变形和剪切变形影响很小，可以忽略不计，因此位移计算公式可以简化为：

桁架的位移计算公式可以简化为：

图乘法的适用条件：

结构中同时满足下面三个条件的杆段才能使用图乘法进行计算。

（1）杆段的轴线为直线。

（2）杆段的EI为常数。

（3）杆段的图（荷载作用弯矩图）和图（虚设力状态弯矩图）中至少有一个是直线图形。

对于满足图乘法使用条件的结构，相应的位移计算公式可以写成

使用图乘法的注意事项：

（1）使用图乘法计算位移的杆段必须同时满足三个适用条件。

（2）A和

在杆件轴线同一侧时，图乘结果为正；反之则为负。

（3）

必须取自于直线图形。

在非荷载因素如温度变化、支座位移和制造误差等的作用下，静定结构不产生反力和内力，但会产生位移。

这种位移仍然可以使用单位荷载法及其相应的位移计算一般公式计算。

静定结构的一般性质：

（1）静定结构解答的唯一性

结构静定的充分必要条件是该体系几何不变且无多余约束。

静定结构的全部反力和内力仅利用静力平衡方程即可确定，且解答是唯一的确定值。

这也就是说，一组满足全部静力平衡条件的解答就是静定结构的真实解答。

这就是静定结构最基本的性质，称为静定结构解答的唯一性。

（2）静定结构的反力和内力与构件截面刚度无关。

静定结构的全部反力和内力仅利用静力平衡方程即可确定。

因此，反力和内力只与荷载以及结构的几何形状和尺寸有关，而与构件所使用的材料（E、G）及其截面形状和尺寸（I、A）无关。

（3）非荷载因素如温度变化、支座位移和制造误差等只能使静定结构产生位移，而不能产生反力和内力。

（4）静定结构局部平衡特性

荷载作用下，如果静定结构中的某一局部就可以与荷载维持平衡，则只有该部分受力，其余部分不受力。

（5）静定结构的荷载等效特性

当静定结构中某一几何不变部分上的荷载作静力等效变换时，仅使该几何不变部分的内力发生变化，其余部分内力不变。

（6）静定结构的构造等效特性

静定结构中的某一几何不变部分作构造等效变换时，其余部分的反力和内力不发生变化。

第5章力法

静定结构的内力和位移计算是力法计算的基础，因此，在学习力法时，要求能熟练掌握前面章节所介绍的静定结构的分析方法。

1.超静定次数

超静定次数就是超静定结构中所具有的多余约束的数目，或者说多余未知力的数目。

在超静定结构中，由于具有多余约束力，使平衡方程的数目少于未知力的数目，所以仅靠平衡条件无法确定全部反力和内力，还必须考虑位移条件以建立补充方程。

一个超静定结构有多少个多余约束，相应的便有多少个多余未知力，也就需要建立同样数目的补充方程，才能求解。

因此，用力法计算超静定结构时，首先必须确定多余约束的数目。

确定超静定次数的方法，就是把给定的超静定结构通过去掉多余约束变为静定结构，所去掉的多余约束的数目就是超静定次数。

如去掉n个约束，就称原结构是n次超静定。

通过前面几何组成分析的学习我们知道：

（1）去掉一个链杆支座或切断一根链杆的轴向联系，相当于去掉一个约束。

（2）去掉一个铰支座或去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。

（3）去掉一个固定支座或切断一根受弯杆，相当于去掉三个约束。

（4）一个固定支座改为固定铰支座或将一个刚性联结改为单铰，相当于去掉一个约束。

2.力法基本原理

力法解题的基本思路是把超静定结构的计算问题转换为静定结构的计算，先解除超静定结构上的多余约束，代之以多余未知力，以多余未知力为基本未知量，利用位移协调条件建立力法基本方程，求出多余未知力，然后进一步求出结构的内力。

在超静定结构中，去掉多余约束所得到的静定结构称为力法的基本结构。

基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系称为力法的基本体系。

要注意基本结构与基本体系的区别。

基本体系转化为原来超静定结构的条件是：

基本体系沿多余未知力方向的位移应与原结构相等。

一个n次超静定结构用力法求解时，力法的基本未知量是n个多余未知力X1、X2，…，Xn，力法的基本结构是从原结构中去掉n个多余约束后所得到的静定结构，力法的基本方程是n个多余约束处的n个变形条件—基本体系沿多余未知力方向的位移与原结构中相应的位移相等。

在线性变形体系中，当原结构中多余未知力方向的位移都等于零时，根据叠加原理，n个变形条件可写为：

上式为n次超静定结构在荷载作用下力法方程的一般形式，称为力法典型方程。

式中，系数

和自由项△ip都是基本结构的位移，位移符号中第一个下标表示位移的方向，第二个下标表示产生位移的原因。

即：

—基本结构在Xj=1单独作用时，在Xi方向引起的位移，常称为柔度系数。

△ip—基本结构在已知荷载单独作用下产生的沿

方向的位移。

主系数δii>0；副系数δij=δji（i≠j）可负、可正或零。

由于力法方程的系数也称柔度系数，因此力法也称柔度法，力法方程也称柔度方程。

3．力法计算超静定梁和刚架

对于梁和刚架，用力法计算时，力法方程的系数和自由项通常不考虑轴力和剪力的影响，只考虑弯矩的影响，因此力法方程中荷载作用下系数项和自由项的计算式可写为：

；

；

力法解题步骤：

（1）确定基本未知量（多余未知力）；

（2）确定基本结构（基本体系）；

（3）列出力法典型方程（多余约束处的变形协调条件）；

（4）作出单位弯矩图和荷载弯矩图，计算系数和自由项，求基本未知量；

（5）作最后的内力图（通常用叠加法）。

4.对称性的利用

利用结构的对称性可以使计算工作得到简化。

（1）对称结构

所谓对称结构，是指满足以下两方面条件的结构：

结构的几何形状、尺寸和支承情况对某轴对称；杆件截面尺寸和材料弹性模量（EI、EA、GA等）也对此轴对称。

因此，对称结构沿对称轴对折后，对称轴两边的结构图形完全重合。

（2）荷载的对称性

作用在对称结构上的任何荷载都可以分解为两组：

其中一组是正对称荷载，另一组是反对称荷载。

正对称荷载是沿称轴对折后，对称轴两边的荷载图形能完全重合（即作用点重合、数值相等、方向相同）的荷载。

反对称荷载是沿对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点重合、数值相等、方向相反的荷载。

正对称荷载作用下，轴力图和弯矩图正对称，剪力图反对称。

反对称荷载作用下，轴力图和弯矩图反对称，剪力图正对称。

（3）取半边结构计算

根据对称结构的受力和变形特点，我们可以取半边结构分析，以简化结构计算。

a.奇数跨对称结构

（a1）正对称荷载

图1a所示的单跨对称刚架，在正对称荷载的作用下变形是对称的，从对称轴切开取半边结构计算时，对称轴截面C处的支座应取为滑动支座。

计算简图如图1b所示。

（a）原结构（b）半边刚架

图1

（a2）反对称荷载

图2a所示的单跨对称刚架，变形是反对称的，，取半边结构计算时，对称轴截面C处的支座应取为竖向链杆支座，计算简图如2b所示。

（a）原结构（b）半边刚架

图2

b．偶数跨对称结构

（b1）正对称荷载

图3a所示的两跨对称刚架，如果忽略杆的轴向变形，取半边结构计算时，C端应取为固定支座。

计算简图如3b所示。

（a）原结构（b）半边刚架

图3

（b2）反对称荷载

图4a所示对称结构，忽略杆的轴向变形的影响，选取半边结构如图4c所示。

（a）（b）

（c）

图4

5.超静定结构的基本特性

超静定结构与静定结构相比，具有以下重要特性：

（1）静定结构的内力只用静力平衡条件即可唯一确定，其值与结构的材料性质和截面尺寸无关。

超静定结构的内力状态仅由静力平衡条件不能唯一确定，还必须同时考虑变形条件，所以超静定结构的内力与结构的材料性质和截面尺寸有关。

在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆刚度的相对比值有关，而与其绝对比值无关；在温度变化、支座位移等因素作用下，其内力则与各杆刚度的绝对值有关。

（2）在超静定结构中，除荷载外，其它任何因素比如温度变化、支座位移、制造误差等的影响均要引起内力。

因为这些因素都能引起变形，这些变形由于受到多余约束的限制而在超静定结构中引起内力。

在静定结构中，除荷载外，其它任何因素比如温度变化、支座位移、制造误差等均不引起内力。

（3）静定结构在任一约束被破坏后，即变成几何可变体系，因而丧失承载能力；而超静定结构在多余约束被破坏后，结构仍为几何不变体系，因而还是具有一定的承载能力。

（4）超静定结构由于具有多余约束，所以其刚度一般要比相应的静定结构大些，且内力分布也比较均匀，内力的峰值也要小些。

由于多余约束的存在，其结构的稳定性也有所提高。

第6章位移法

1.位移法基本原理

位移法的基本思路：

位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以单跨超静定梁为计算的基本单元。

先设法确定出单根杆件的杆端内力，用杆端位移来表示，这些杆端位移应与其所在结点的其他杆端位移相协调。

然后用力的平衡条件建立位移法基本方程，确定出未知的结点位移,从而进一步求出整个结构的内力。

位移法中的杆端位移和杆端内力的正负号规定如下：

杆端角位移

和

以顺时针方向为正；杆件两端相对线位移

，以使杆件产生顺时针方向转动时为正；杆端弯矩MAB、MBA以顺时针方向为正；杆端剪力FQAB、FQBA以使作用截面产生顺时针方向转动时为正。

2.形常数和载常数

当杆端内力仅由一个单位杆端位移（即位移等于1）引起，所得的杆端内力称为等截面直杆的刚度系数。

刚度系数只与杆件的材料性质、截面尺寸及几何形状有关，因此也称为形常数。

当杆端内力仅由荷载作用引起时，所得的杆端力，与杆件所受荷载的形式有关，所以又称为载常数。

考试时位移法计算所用到的形常数和载常数都没有给出，大家可以将常用的常数记在半开卷用纸上。

3.位移法基本未知量

在位移法中，基本未知量是独立的结点角位移和结点线位移。

4.位移法的典型方程

有

个基本未知量的位移法典型方程：

式中：

——基本结构在单位结点位移

单独作用下，附加约束

中产生的约束力（

1、2、…、

；

1、2、…、

）；

——基本结构在荷载单独作用下，附加约束

中产生的约束力（

1、2、…、

）。

称为系数项，

称为自由项。

系数

（

）称为主系数，其值恒大于零；系数

（

），称为副系数，

称为自由项，系数项和自由项的值可大于零，可小于零，或等于零。

由反力互等定理可知

=

。

系数

可由杆件的形常数求得，自由项

可由杆件的载常数求得。

因为在位移法典型方程中，每个系数都是由单位位移引起的附加约束的反力（或反力矩），结构的刚度越大，这些反力（或反力矩）的数值也越大，所以这些系数又称为结构的刚度系数，位移法典型方程又称为结构的刚度方程，位移法也称为刚度法。

位移法计算的基本步骤可归纳如下：

（1）确定原结构的基本未知量。

（2）在原结构中加入附加约束得到基本结构。

（3）列出位移法典型方程。

（4）绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。

（5）将系数和自由项代入典型方程，求出基本未知量。

（6）按叠加法作出原结构的弯矩图。

5.位移法与力法比较

位移法和力法是计算超静定结构的两个基本方法。

两种方法有以下不同之处：

从基本未知量来看，位移法的基本未知量是独立的结点位移（角位移和线位移），基本未知量的数目与超静定次数没有直接关系。

力法的基本未知量是多余约束力，基本未知量的数目等于超静定次数。

从基本结构来看，位移法是在原结构中增加附加约束，得到单跨超静定梁的组合体，对于一个给定的原结构，位移法只有一个基本结构。

力法是通过在原结构中去掉多余约束得到基本结构（静定结构），对于一个给定的原结构，可能会有不同的力法基本结构。

从基本方程来看，位移法的基本方程是根据基本结构在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束力和力矩的代数和等于零来建立的，它的实质是静力平衡方程。

力法是根据基本结构沿某一多余未知力方向的位移与原结构中相应的位移相等来建立力法方程的，它的实质是几何变形方程。

位移法基本方程中系数的物理意义是某一单位结点位移在基本结构上产生的附加约束力。

力法方程中系数的物理意义是某一单位多余约束力作用在基本结构上产生的沿多余未知力方向的位移。

位移法方程中自由项的物理意义是基本结构在原荷载作用下产生的附加约束力。

力法方程中自由项的物理意义是基本结构在原外荷载作用下产生的沿基本未知量方向的位移。

从适用范围来看，位移法不仅适用于超静定结构，同样也可以用于静定结构。

力法则只能用于计算超静定结构。

第7章力矩分配法

力矩分配法是以位移法为基础的计算方法，是位移法的延伸。

适用于计算连续梁和无结点线位移刚架。

转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，用S表示。

通常将产生转角的一端称为近端，另一端称为远端。

转动刚度SAB的值与杆件的线刚度及远端的支承条件有关。

远端固定，

；远端简支，

；远端定向，

；远端自由或轴向支承，

。

分配系数

，式中：

表示汇交于结点1的所有杆件在1端的转动刚度之和。

称为力矩分配系数，它的值永远小于1，且同一结点分配系数的代数和为1。

传递系数表示当杆件近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。

对于不同的远端支承情况，相应的传递系数也不同。

远端是固定端，传递系数为

；远端是可动铰支座，传递系数为0；远端是定向支座，传递系数为－1。

力矩分配法的计算步骤：

（1）计算转动刚度。

（2）计算分配系数。

（3）计算不平衡力矩。

（4）分配不平衡力矩的相反数。

（5）传递分配弯矩。

（6）计算各杆端最后弯矩。

（7）画结构弯矩图。

第8章影响线及其应用

影响线反映的是某一量值与移动荷载作用位置之间的关系，这一量值可以是支座反力或截面内力，但是影响线和内力图却有着本质的区别。

影响线中横坐标是移动荷载作用位置，纵标反映指定量值在移动荷载作用下的变化规律。

内力图中横坐标表示截面位置，纵标则是在固定荷载作用下相应截面的内力。

绘制影响线的基本方法包括静力法和机动法。

（1）静力法绘制静定结构影响线时，将单位移动荷载作用位置的坐标x作为变量，利用静力平衡条件建立影响线方程，再根据该方程绘出影响线。

（2）机动法绘制静定结构影响线是以刚体体系虚位移原理为依据，将绘制影响线的静力问题转化为绘制结构虚位移图的几何问题加以解决。

第9章结构动力计算

动力荷载，亦称为干扰力，是指大小、方向和作用位置等随时间ｔ变化，并且使结构产生不容忽视的惯性力的荷载。

结构振动时，确定某一时刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目，称为体系振动的自由度。

体系的振动自由度数目不一定等于体系的集中质量数目；体系的振动自由度数目与体系是静定或超静定无关。

体系的振动自由度数目与超静定次数无关。

结构自振频率

的计算公式为：

相应地，结构的自振周期T的计算公式为：

由自振周期和自振频率的计算公式可见：

它们只与结构的质量和刚度有关，与外界的干扰因素无关，是结构本身固有的属性。

所以，自振周期、自振频率也称为固有周期、固有频率，可以说T和

是反映结构动力特性的重要参数。