高考数学复习三角函数的图象与性质.docx
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高考数学复习三角函数的图象与性质
第3节 三角函数的图象与性质
最新考纲 1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.
知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,0),,(π,0),,(2π,0).
(2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
R
{xkπ+}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ-π,2kπ]
递减区间
[2kπ,2kπ+π]
无
对称中心
(kπ,0)
对称轴方程
x=kπ+
x=kπ
无
[常用结论与微点提醒]
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω>0时情况,避免出现增减区间的混淆.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y=cosx的对称轴是y轴.( )
(2)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.( )
(3)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( )
(4)y=sin|x|是偶函数.( )
解析
(1)余弦函数y=cosx的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y=tanx在每一个区间(k∈Z)上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.
(3)当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)=sin的最小正周期为( )
A.4πB.2πC.πD.
解析 由题意T==π.
答案 C
3.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)=sin+cos的最大值为( )
A.B.1
C.D.
解析 cos=cos=sin,则f(x)=sin+sin=sin,函数的最大值为.
答案 A
4.(2018·长春检测)若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=________.
解析 由已知f(x)=sin是偶函数,可得=kπ+(k∈Z),即φ=3kπ+(k∈Z),又φ∈[0,2π],所以φ=.
答案
5.(必修4P47B2改编)函数y=-tan的单调递减区间为________.
解析 因为y=tanx的单调递增区间为
(k∈Z),
所以由-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z),
得+<x<+(k∈Z),
所以y=-tan的单调递减区间为
(k∈Z).
答案 (k∈Z)
考点一 三角函数的定义域
【例1】
(1)函数y=的定义域为________.
(2)函数y=lg(sinx)+的定义域为________.
解析
(1)要使函数有意义,必须有
即
故函数的定义域为
.
(2)函数有意义,则即
解得
所以2kπ 所以函数的定义域为. 答案 (1) (2) 规律方法 1.三角函数定义域的求法 (1)以正切函数为例,应用正切函数y=tanx的定义域求函数y=Atan(ωx+φ)的定义域. (2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解. 【训练1】 (1)函数f(x)=-2tan的定义域是( ) A.B. C.D. (2)(一题多解)函数y=的定义域为________. 解析 (1)由正切函数的定义域,得2x+≠kπ+(k∈Z),即x≠+(k∈Z),故选D. (2)法一 要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示. 在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为 . 法二 利用三角函数线, 画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). 所以定义域为 . 法三 sinx-cosx=sin≥0,将x-视为一个整体,由正弦函数y= sinx的图象和性质可知2kπ≤x-≤π+2kπ(k∈Z), 解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z). 所以定义域为. 答案 (1)D (2) 考点二 三角函数的值域(最值) 【例2】 (1)函数y=sinx-cos的值域为________. (2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)=sin2x+cosx-的最大值是________. (3)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为________. 解析 (1)∵y=sinx-cos=sinx-cosx+sinx=sinx-cosx= sin, ∴函数y=sinx-cos的值域为[-,]. (2)f(x)=sin2x+cosx-, f(x)=1-cos2x+cosx-, 令cosx=t且t∈[0,1], 则y=-t2+t+=-+1, 则当t=时,f(x)取最大值1. (3)设t=sinx-cosx, 则t2=sin2x+cos2x-2sinxcosx, sinxcosx=,且-≤t≤, ∴y=-+t+=-(t-1)2+1. 当t=1时,ymax=1;当t=-时,ymin=--. ∴函数的值域为. 答案 (1)[-,] (2)1 (3) 规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型: (1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值); (2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值); (3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值). 【训练2】 (1)函数y=-2sinx-1,x∈的值域是( ) A.[-3,1]B.[-2,1]C.(-3,1]D.(-2,1] (2)(2016·全国Ⅱ卷)函数f(x)=cos2x+6cos的最大值为( ) A.4B.5C.6D.7 解析 (1)由y=sinx在上,-1≤sinx<,所以函数y=-2sinx-1,x∈的值域是(-2,1]. (2)由f(x)=cos2x+6cos=1-2sin2x+6sinx=-2+,所以当sinx=1时函数的最大值为5,故选B. 答案 (1)D (2)B 考点三 三角函数的性质(多维探究) 命题角度1 三角函数的奇偶性与周期性 【例3-1】 (1)(2017·山东卷)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为( ) A.B.C.πD.2π (2)(2018·武汉调研)设函数f(x)=sin-cos的图象关于y轴对称,则θ=( ) A.-B.C.-D. 解析 (1)∵y=2=2sin, ∴T==π. (2)f(x)=sin-cos= 2sin,由题意可得f(0)=2sin=±2,即sin=±1,∴θ-=+kπ(k∈Z),∴θ=+kπ(k∈Z),∵|θ|<,∴k=-1时,θ= -. 答案 (1)C (2)A 规律方法 1.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z); (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z). 2.函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=. 命题角度2 三角函数的单调性 【例3-2】 (1)函数f(x)=sin的单调递减区间为________. (2)(一题多解)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在上单调递增,在区间上单调递减,则ω=________. 解析 (1)由已知可得函数为y=-sin,欲求函数的单调递减区间,只需求y=sin的单调递增区间. 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 故所求函数的单调递减区间为(k∈Z). (2)法一 由于函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象经过坐标原点,由已知并结合正弦函数的图象可知,为函数f(x)的周期,故=,解得ω=. 法二 由题意,得f(x)max=f=sinω=1. 由已知并结合正弦函数图象可知,ω=,解得ω=. 答案 (1)(k∈Z) (2) 规律方法 1.求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数. 2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷. 命题角度3 三角函数的对称轴或对称中心 【例3-3】 (1)(2018·石家庄检测)若是函数f(x)=sinωx+cosωx图象的一个对称中心,则ω的一个取值是( ) A.2B.4C.6D.8 (2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为( ) A.11B.9C.7D.5 解析 (1)因为f(x)=sinωx+cosωx=sin,由题意,知f=sin=0,所以+=kπ(k∈Z),即ω=8k-2(k∈Z),当k=1时,ω=6. (2)因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图象的对称轴,所以-=+,即=T=·,所以ω=2k+1(k∈N*). 又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12. 结合选项经验证,当ω=11时,f(x)在上不单调;当ω=9时,f(x)在上单调,选项B满足条件. 答案 (1)C (2)B 规律方法 1.对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x即可. 2.对于可化为f(x)=Acos(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x即可. 【训练3】(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( ) A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在单调
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