《等差数列》数列通项公式的十种求法人教docx.docx
- 文档编号:29964303
- 上传时间:2023-08-03
- 格式:DOCX
- 页数:35
- 大小:152.99KB
《等差数列》数列通项公式的十种求法人教docx.docx
《《等差数列》数列通项公式的十种求法人教docx.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《等差数列》数列通项公式的十种求法人教docx.docx(35页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
《等差数列》数列通项公式的十种求法人教docx
数列通项公式的十种求法
一、公式法
例1已知数列匕}满足%=2%+3x2",q=2,求数列匕}的通项公式。
以44=1为首项,以°为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得2122
^=l+(n-l)|,所以数列{色}的通项公式为^=(|n-|)2%
乙厶乙乙
评注:
本题解题的关键是把递推关系式%=2色+3><2”转化为鶉-爲弓,说明厶厶乙
数列幼是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出fb=l+(H-l)|,进而求出数列{色}的通项公式。
二、累加法例2已知数列{%}满足%严色+2〃+1,q=l,求数列{色}的通项公式。
解:
由afl+i=an+2n+1Wan+i-an=2n+l则
an=(色一an-\)+(d“_l一。
“_2)++(Q3-勺)+(。
2一4)+Q]
二[2(〃—l)+l]+[2(n—2)+1]++(2x2+l)+(2xl+l)+l
=2[(斤一1)+(/?
—2)++2+1]+(斤一1)+1
⑺―1)农
=2+(〃一1)+1
2
=(斤一1)(〃+1)+1
=n2
所以数列如的通项公式为JO
评注:
本题解题的关键是把递推关系式arl+i=an+2/7+1转化为°”+]-%=2刃+1,进而求出(色-%)+(%-%2)++Q—色)+(02一吗)+4‘即得数列{an}的通项公式。
例3已知数列他}满足色+严色+2x3"+l,q=3,求数列{色}的通项公式。
%一色=2x3"+1
解:
由色+]=Q”+2x"+得
Q”=(色一色-1)+(色-1一%2)++(。
3一。
2)+(°2一州)+勺
=(2x3"T+1)+(2x3"-2+1)++(2x32+1)+(2x3,+1)+3
=2(3"」+3W~2++32+3')+(/?
-l)+3
=2塑士+叶1)+31-3
二3〃一3+刃一1+3
二3+—1
所以=3"+n—1•
评注:
本题解题的关键是把递推关系式陽+严色+2x3〃+l转化为%-色=2x3〃+l,进而求出an=(%-%)+(%-%2)++(°3-。
2)+«2一q)+q,即得数列[an]的通项公式。
例4已知数列{色}满足色+】=3色+2x3"+l,q=3,求数列{%}的通项公式。
解:
%=3a”+2x3"+l两边除以3叫得斜专+彳+缶’
贝|啟_玉厶丄,故
3”利3”33,:
+1
笔)++0-牛)+色
3心32313
21、3
+(亍+尹亍
+丄)+1
—0_辱+3_监)+(益一3〃3"%)(%3心)(3"
=(-+丄)+(?
+厶)+(?
+厶)+
33"33心33心
2(/?
-1)II11
=(11rH+.9
因此守
2(Z):
(lh)
31-3
2n11
—H
322x3〃
33"3〃3心3心32
则an=|xnxr+lx3w-|.
评注:
本题解题的关键是把递推关系式%=3a”+2x3"+l转化为斜号=彳+右,进而求出呼-斜)+(斜-莽)+(弄-需)++(令号+牛即得数列{牛}的通项公式,最后再求数列匕}的通项公式。
三、累乘法例5已知数列匕}满足色+严2(卄1)5”><%吗=3,求数列{%}的通项公式。
解:
因为陽+]=2(n+l)5"x%q=3,所以则玉=2(斤+1)5",故
%
"企•纽••生生q
^-1%2。
24
=[2(〃一1+l)5n_,][2(n-2+1)5"一$]・・[2(2+1)x52][2(1+1)x51]x3=2心[斤仇_1).・3x2]x5(t)+"2)++2+i%3
=3x2,?
_lx52xn!
所以数列如的通项公式为色=3x2心x5^xn!
.
评注:
本题解题的关键是把递推关系务严2S+l)5”y转化为纽=2(卄1)5〃,进而
求出企.仏.•殂.《q,即得数列“}的通项公式。
^-1an-2a24
例6(2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列血}满足
q=l,=q+202+3色++(n-l)art_1(n>2),求{□“}的通项公式。
解:
因为a”=q+2$+3色++(〃一1)色_](比》2)①
所以g”+i=q+2冬+3色++(比一1)4一1+M”②
用②式一①式得%-an=nan.
贝0%+i=(72+IX(72>2)
故^=h+1(h>2)
所以%=-^-—a2=[h(h-1)--4x3]6Z2=—a0.③
an-Xan-2a22〜
由=q+2$+3色++(n—l)<2n_](n>2),取n=2得吗=马+2$,则a2=a}又知坷=1,
则02=19代入③得=1•3•4•5-•H=-yo
所以,如的通项公式为
评注:
本题解题的关键是把递推关系式%=(斤+1)色(空2)转化为^=h+1(h>2),
%
进而求岀企•监•,从而可得当h>20^,色的表达式,最后再求出数列匕}an-Xan-2a2
的通项公式。
四、待定系数法
例7已知数列匕}满足陥严2%+3x5〃,q=6,求数列匕}的通项公式。
解:
设色+i+兀x5,,+1=2(%+xx5")④
将%=2碍+3x5”代入④式,得2色+3x5〃+xx5呦=2色+2小5”,等式两边消去2色,得3・5"+25^=2x・5",两边除以5",得3+5r=2则兀=•代入④式得力-5〃—逊-〃:
⑤
由4_5丄6-5=1工0及⑤式得q厂5G0,则%_弓“,则数列{an-5n}是以色-5
q_5】=l为首项,以2为公比的等比数列,则兔_5”=2心,故兔=2心+5"。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式%严2色+3x亍转化为%-5刈=2(色-5”),从而可知数列a-5〃}是等比数列,进而求出数列{aH-5n}的通项公式,最后再求出数列{色}的通项公式。
例8已知数列{色}满足%=3o”+5x2“+4,q=l,求数列{%}的通项公式。
角军:
设d“+i+xx2""+y=3(a“+无x2"+y)⑥
将an+x=3an+5x2"+4代入⑥式,得
3an+5x2"+4+xx2""+y=3(q?
+xx2"+y)
整理得(5+2x)x2n+4+y=3xx2"+3yo
代入⑥式得
5+2兀=3x
4+y=3y
a/l+l+5x2n+i+2=3(色4-5x2"4-2)⑦
由4+5x2+2=1+12=13^0及⑦式,
得®+5x2"+2h0,则%+5V+2=3,"色+5x2〃+2
故数列{d〃+5x2"+2}是以4+5x2+2=1+12=13为首项,以3为公比的等比数列,
因此陽+5x2"+2=13x3"—,则陽=13x3”T-5x2"-2。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式陽+严3°〃+5x2”+4转化为
%+5x2n+l+2=3(an+5x2"+2),从而可知数列{陽+5x2”+2}是等比数列,进而求出
数列{an+5x2”+2}的通项公式,最后再求数列{afJ}的通项公式。
例9已知数列{%}满足%=2%+3圧+4斤+5,q=l,求数列{%}的通项公式。
角军:
设a”]+兀(斤+1)2+y(兀+l)+z=2(cj+xn2+yn+z)⑧
将a/1+l=2an+3兀$+4/?
+5代入⑧式,得
2an+3/z2+4/?
+5+%(/?
+1)2+y(n+l)+z=2(a“+pi+z),贝!
J
2an+(3+x)n2+(2无+y+4)n+(x+y+z+5)=2%+2劝'+2)t?
+2z
等式两边彳肖去2a”,得(3+x)n2+(2x+y+4)n+(x+〉'+z+5)=2x/F+2yn+2z,
x=3
解方程组2兀+y+4=2y
则),=10,代入⑧式,得
z=18
%+3(斤+1)2+10(刃+1)+18=2(色+3/?
2+10/7+18)⑨
由q+3xl2+10x1+18=1+31=32工0及⑨式,得色+3比?
+10农+18工0
则%+3G+1『+iog+1)+18=2,故数列{3h24-10/1+18}为以
^+3/?
2+10a?
+18i”
^+3xl2+10x1+18=1+31=32为首项,以2为公比的等比数列,因此
色+3t?
+1(M+18=32x2"T,则^=2w+4-3n2-10n-18o
评注:
本题解题的关键是把递推关系式务严2色+3/+物+5转化为
an+i+30+1)2+100+1)+18=2(%+3n2+10n+18),从而可知数列[aH+3n2+10n+18}是等比数列,进而求出数列{色+3/+10比+18}的通项公式,最后再求出数列血}的通项公式。
一、公式法
解:
如=2色+3x2〃两边除以产,得斜诗+舟
故数列{扌}是
例1已知数列匕}满足色+]=2@+3x2",q=2,求数列匕}的通项公式。
以牛导=1为首项,以丄为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得2122
寻=1+⑺_1)舟,所以数列也”}的通项公式为陽=(詁-*)2”。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式%严2色+3x2〃转化为等-牛二弓,说明厶Q乙
数列{爲}是等差数列,再直接利用等弟数列的通项公式求出爲=1+(_1耳,进而求出数列匕}的通项公式。
二、累加法
例2已知数列匕}满足%=色+2斤+1,4=1,求数列如的通项公式。
解:
由%=an+2〃+1得陽+i-an=2n+1贝!
J
an=a厂an-\)+(。
"-1一an-2)++(色一)+(。
2一4)+。
1
二[2(〃一1)+1]+[2(比一2)+1]++(2x2+1)+(2x1+1)+1
=2[(/?
-1)+(/1-2)++2+1]+0-1)+1
=2也»-1)+1
2
=(/?
-1)(h+1)+1
=n2
所以数列a)的通项公式为6=h2o
评注:
本题解题的关键是把递推关系式atl+]=an+2/1+1转化为a”+]-=2/1+1,进而
求岀a-色_1)+a_]-dn_2)++a-$)+($—q)+q,即得数列(色)的通项公式。
解:
由色+]=+2x"+得
=2x3"+1
例3已知数列如满足如=a“+2x3"+l,q=3,求数列{色}的通项公式。
an=(Q"一)+a_l一色一2)++@3一。
2)+@2一)+4
=(2x3n-l+l)+(2x3w-2+l)++(2x32+1)+(2x3'+1)+3
=2(3心+3"++32+31)+(斤_i)+3
“4X(Z)+3
1-3
=3"—3+/?
—1+3
=3+_l
所以色=3+_i.
评注:
本题解题的关键是把递推关系式色+严色+2x3〃+l转化为陥厂色=2x3〃+l,进而求lBan={an-%)+(%—色_2)++(他-色)+(色一q)+q,即得数列{an}的通项公
式。
例5已知数列{色}满足%=3q”+2x3”+1,q=3,求数列{色}的通项公式。
解:
加=3色+2心+1两边除以3叫得斜牛+彳+右,
贝啟厶丄,故
3间3〃33间
n-L
21、3
+(§+护+§
+討
他=(化_纽)+(纽—益)+(坐1_3〃3”%丿%3W-23"
212121
=
(1)+(17)+(17)+
33"33,,_133/,_2
2(/2-1)1111
=F(11H+
因此乩如112+”一3
3〃31-3
2n丄1
T+2~2x3"
33"3"3灯3"一2
211
=-xnx3n+-xV——•
322
评注:
本题解题的关键是把递推关系式%=3q「+2x3〃+l转化为需号寻+£,进而求出(令-笋+(斜-黑•)+(舞-需)++(令-卽+牛即得数列伶}的通项公式,最后再求数列匕}的通项公式。
三、累乘法例5已知数列{色}满足%=2(〃+l)5”x%q=3,求数列{%}的通项公式。
解:
因为%=2(卄1)5、色,q=3,所以%0,则纽=25+1)5",故
a
an-\an-2a2a\
=[2(〃一1+l)5n_1][2(n-2+1)5"]..[2(2+1)x52][2(1+1)x5,]x3
=2,,_,[h(h-1)-•3x2]x5(m-,)+(,,_2)++2+,x3
=3x2,mx5tx72!
所以数列a}的通项公式为色=3X2心X5hxh!
.
评注:
本题解题的关键是把递推关系%=2(卄1)5、色转化为弘=25+1)5",进而an
求出企.乩..生玉.力即得数列他}的通项公式。
an-\an-2a2a\
例6(2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列匕}满足
q=l,色=坷+2色+3(23++(〃一1)%_](斤》2),求{%}的通项公式。
角军:
因为+2^2+3$+4-(/2-1)^_](/?
>2)①
所以色+】+2%+3。
3++⑺一1)色_】+②
用②式一①式得%-an=nan•
贝^an+\=(h+1X(h>2)
^^lL=n+[(n>2)
an
所以=-^-・—a2=|ai(h-1)«・4x3]a>=巴a,・③
%an-2a22
由=q+2他+3色++(比一1)°”](斤》2),取〃=2得$=q+2色,则a2=a^又知q=l,
则a2=\代入③得an=l-3-4-5-・n=与。
所以,他}的通项公式为a£・
评注:
本题解题的关键是把递推关系式%=(n+l)6Z/z(n>2)转化为玉1=斤+1(斤>2),
进而求出九业・,从而可得当心2H寸,色的表达式,最后再求出数列匕}an-\an-2a2
的通项公式。
四、待定系数法
例7已知数列匕}满足%=2a”+3x5〃,吗=6,求数列匕}的通项公式。
解:
设%+xx5网=2(色+必5")④
将%]=2a”+3x5"代入④式,得2a”+3x5〃+xx5曲=2an+2xx5n,等式两边消去2色,得3-5"+x-5M+1=2x-5w,两边除以5〃,得3+5:
=观,兀=•代入④式得%-5"—勿-5⑤
Z7P+1
由q—5】=6—5=l工0及⑤式得色-5”工0,则一=2,则数列{an-5n}是以%-5
q-5T为首项,以2为公比的等比数列,则色-5”=2心,故陽=2心+5〃。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式如=2色+3x亍转化为陥厂5曲=2©厂5〃),从而可知数列a-5”}是等比数列,进而求出数列{an-5ft}的通项公式,最后再求出数列{色}的通项公式。
例8已知数列匕}满足如=3陽+5x2"+4,q=l,求数列{色}的通项公式。
I?
:
设色+]+%><2曲+y=3(色+xx2"+y)⑥
将d*=3a”+5x2”+4代入⑥式,得
3afl+5x2"+4+xx2,,+1+y=3(色+xx2H+y)
整理得(5+2x)x2"+4+y=3兀x2"+3y。
令5+2"3=则"5,代入⑥式得
4+y=3y[y=2
an+i+5x2M+,+2=3(©+5x2"+2)⑦
由4+5乂21+2=1+12=13工0及0式,得%+5x2〃+2h0,则%+5V+2=3,
"色+5x2〃+2
故数列{d〃+5x2"+2}是以4+5x2+2=1+12=13为首项,以3为公比的等比数列,因此陽+5x2"+2=13x3"-,则陽=13x3心—5x2"—2。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式陽+严3°〃+5x2”+4转化为
%+5x2n+[+2=3(an+5x2"+2),从而可知数列{an+5x2”+2}是等比数列,进而求出数列U+5x2〃+2}的通项公式,最后再求数列{©}的通项公式。
例9已知数列{%}满足%=2%+3圧+4斤+5,q=l,求数列{%}的通项公式。
角军:
设a”]+兀(斤+1)2+y(兀+l)+z=2(cj+xn2+yn+z)⑧
将a/1+l=2an+3兀$+4/?
+5代入⑧式,得
2an+3/z2+4/?
+5+%(/?
+1)2+y(n+l)+z=2(a“+pi+z),贝!
J
2aH+(3+x)/?
2+(2x+y+4)n+(x+y+z+5)=2an+2x/?
2+2yn+2z
等式两边H肖去2afl,得(34-x)h2+(2x+y+4)x+(x+y+z+5)=2xrr4-2yn4-2z,
+3(/2+1)2+1OS+1)+18=2(%+3/t2+10/2+18)(9)
由q+3xF+10x1+18=1+31=32"及⑨式,得色+3/?
+10卄18工0
则%+3(刃+厅+1("+1)+1、2,故数列a+3/+10斤+18}为以色+3用+10〃+18“
4+3x12+10x1+18=1+31=32为首项,以2为公比的等比数列,因此
色+3/?
+1(加+18=32x2"—,贝lJ^=2,,+4-3/22-10zt-18o
评注:
本题解题的关键是把递推关系式陽+严2色+3/+力+5转化为
色+i+3(m+1)2+105+1)+18=2(色+3分+10〃+18),从而可知数列{@+3^2+10^+18}是等比数列,进而求出数列a+3/+10卄18}的通项公式,最后再求出数列匕}的通项公式。
五、对数变换法
例10已知数列如满足%=2x3〃x《,S求数列{色}的通项公式。
解:
因为%=2x3"xd]q=7,所以an>0,an+l>0o在%=2x3"xa:
式两边取常用对数得lg%=51ga”+nlg3+lg2⑩
设lg色+]+兀⑺+1)+y=5(lgan+m+刃⑪
将⑩式代入⑪式,得51g陽+〃lg3+lg2+兀仇+l)+y=5(lga“+Ri+y),两边消去5\gan并整理,得
(lg3+x)n+x+y+lg2=5xn+5y,贝U
代入⑪式,得lga曲+罗5+1)+器+晋=5(lga”+罗〃+詈+晋)©由仪&+里乂1+瞪+壓=坦7+些乂1+些+些云0及0式,
41644164
】lg3/八Ig3lg2
塩色+】+号一5+1)+%+号一则16__4_=5,
IIg3lg3Ig2
八4164
所以数列{lg@+亘斤+空+里2}是以lg7+亘+里+些为首项,以5为公比的等比数列,则
41644164
lg%+堕斤+朋+些=(lg7+里°+里+些)5心,因此
"4164°4164
la3k3tla3k3la2
lga=(]g7+旦+旦+旦卅—__旦
w416464
丄[丄三丄丄
=(lg7+lg37+lg3示+lgV)5n_,-lg37-lg3忆一lg2"
丄丄丄仝丄丄
=[lg(7•3°3忆•2》)]5/,_1-lg(37•3忆•2巧
丄丄丄兰丄丄
=lg(7•3°3忆•2恳)5心一lg(37・3忆・巧
5门_〃5门-】5心-1
=lg(75n_,-34-316-24)
5界-4”-15〃T-i
=lg(7%」・3】6.2=)
5"—4一15心-1
则^=7^x316x2^o
评注:
本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式q泊=2x3"转化为
仗色+|+罗5+1)+器+晋=5(览色+罗〃+詈+晋),从而可知数列吸+竽吨+求出数列{色}的通项公式。
六、迭代法例11己知数列匕}满足色+产空的)2”,q=5,求数列他}的通项公式。
解:
因为%=即皿,所以%=订=⑷丁2"严
32("-1)・〃・2"2出1
an-2
[d3(”-2)・2'“]32("1)仔2“2)仙-i)
3&-2)(”-l)”・2(THL2)nUn-3
n(n-l)
小3性!
・22
=a\
〃0l1)
又q=5,所以数列{色}的通项公式为陽=5广"k
评注:
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
即先将等式a”,=疋(曲)2"两边取常用对
再由累乘法可推知
数得1g/+1=h3-(x"xl九,即里如1=35+1)2"
七、数学归纳法例12已知数列呻满足也F+莎船帝,®岭求数列心的通项公式。
8(〃+1)
8
解:
由张""+(2“+;)';(2;+3)2及4芍’得
8(1+1)88x224
⑦=q;7=—I=—
-1(2x1+1)72x1+3)299x2525
8(2+1)248x348
3-2(2x2+1)2(2x2+3)2—2525x49~49
8(3+1)488x480
a—a+,—「+「—.
4-3(2x3+1)"2x3+3)2—4949x81"81
由此可猜测°”二册J,往下用数学归纳法证明这个结论。
2
(2)假设当n=k吋等式成立,
即廿
(2£+1尸-1
(2£+1)2
则当斤二R+1时,
⑴当心时’心:
;;;「岭所以等式成立。
8伙+1)
(2k+l)2(2£+3)2
_(2R+1)2_18伙+1)
一(2R+1)2*(2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 等差数列 数列 公式 十种求 法人 docx