映射函数定义域值域解题办法归纳.docx

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映射函数定义域值域解题办法归纳

一种特殊的对应：

映射

（1）

（2）（3）（4）

1．对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。

2．对应的形式：

一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）

3．映射的概念（定义）：

强调：

两个“一”即“任一”、“唯一”。

4．注意映射是有方向性的。

5．符号：

f：

AB集合A到集合B的映射。

6．讲解：

象与原象定义。

再举例：

1A={1,2,3,4}B={3,4,5,6,7,8,9}法则：

乘2加1是映射

2A=N+B={0,1}法则：

B中的元素x除以2得的余数是映射

3A=ZB=N*法则：

求绝对值不是映射（A中没有象）

4A={0,1,2,4}B={0,1,4,9,64}法则：

f：

ab=（a1）2是映射

一一映射

观察上面的例图

（2）得出两个特点：

1对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射）

2集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射）

即集合B中的每一个元素都有原象。

从映射的观点定义函数（近代定义）：

1函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f：

AB这里A,B非空。

2A：

定义域，原象的集合

B：

值域，象的集合（C）其中CB

f：

对应法则xAyB

3函数符号：

y=f（x）——y是x的函数，简记f（x）

函数的三要素：

对应法则、定义域、值域

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

例：

判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？

为什么？

1．

解：

不是同一函数，定义域不同

2。

解：

不是同一函数，定义域不同

3。

解：

不是同一函数，值域不同

4．

解：

是同一函数

5．

解：

不是同一函数，定义域、值域都不同

关于复合函数

　　设f（x）=2x3g（x）=x2+2则称f[g（x）]（或g[f（x）]）为复合函数。

f[g（x）]=2（x2+2）3=2x2+1

g[f（x）]=（2x3）2+2=4x212x+11

例：

已知：

f（x）=x2x+3求：

f（

）f（x+1）

解：

f（

）=（

）2

+3f（x+1）=（x+1）2（x+1）+3=x2+x+3

1.函数定义域的求法

●分式中的分母不为零；

●偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

●指数式的底数大于零且不等于一；

●对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

●正切函数

●余切函数

●反三角函数的定义域（有些地方不考反三角,可以不理）

函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域是

，

函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，

函数y＝arctgx的定义域是R，值域是

，

函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是（0,π）.

注意，

1.复合函数的定义域。

如：

已知函数

的定义域为（1，3），则函数

的定义域。

2.函数

的定义域为

函数

的定义域为

则函数

的定义域为

，解不等式，最后结果才是

3.这里最容易犯错的地方在这里：

已知函数

的定义域为（1,3）,求函数

的定义域；或者说，已知函数

的定义域为（3,4）,

则函数

的定义域为______?

2.函数值域的求法

函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,

对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.

（1）、直接观察法

对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,

其值域可通过观察直接得到。

例求函数

的值域

（2）、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数

的值域。

（3）、根判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简

如:

4、反函数法（原函数的值域是它的反函数的定义域）

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例求函数

值域。

分母不等于0,即

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例求函数

，

，

的值域。

10.倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例求函数

的值域

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，

首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，

一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。