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图形中的规律
图形中的规律
教学内容
教材97、98页内容
教学目标
1.经历直观操作、探索的过程,体验发现摆三角形的规律的方法。
2.能在观察活动中,发现点阵中隐含的规律,体会图形与数的联系。
3.结合探索、尝试、交流等活动,发展归纳与概括的能力。
教学重难点
【重点】 掌握“摆三角形”和“点阵”中的规律。
【难点】 探索“摆三角形”和“点阵”中规律的过程。
教具、学具准备
【教师准备】 PPT课件、有关本节的相关素材。
【学生准备】 小木棒、小圆片。
教学过程
一、复习导入
师:
同学们,关于三角形你们掌握了哪些?
预设生:
三角形是由三条线段首尾顺次相接,围成的平面图形。
……
师:
今天,我们就利用三角形来探索图形中的规律。
(板书课题:
图形中的规律)
二、探究新知
(一)、引导学生观察画面理解题意。
师:
同学们,请看大屏幕。
说一说从图中知道了什么。
PPT课件出示教材97页情景图。
预设生:
从画面上看,淘气和笑笑在用小棒摆三角形。
师:
同学们,思考用小棒摆三角形,可以怎么摆?
预设生:
可以单独摆,也可以连续摆。
(PPT课件出示)单独摆。
师:
观察画面,你们发现摆一个独立的三角形需要几根小棒?
预设生:
需要三根小棒。
师:
10个呢?
预设生:
需要10×3=30根小棒。
师:
n个呢?
预设生:
3n根小棒。
师:
你能解释“3n”表示的意思吗?
预设生:
摆一个三角形用3根小棒,3n就表示摆n个三角形的小棒数。
(二)、探索发现,总结规律。
师:
像笑笑那样摆三角形,和前面的摆法有什么不同?
预设生1:
有共用的小棒。
生2:
可以省小棒。
师:
像这样连续摆的情况,三角形个数和小棒根数之间又有怎样的变化规律呢?
下面我们就一起来探究这个问题。
在生活中,只要我们仔细观察,认真分析就会发现很多规律,数学图形中同样也存在着许多的规律,这节课老师想带领大家一起去探索图形中的规律。
师:
下面两个同学为一组,一起来探究像
这样摆,三角形个数和小棒根数之间又有怎样的变化规律呢?
动手操作的要求:
(1)小组合作,一人填表,一人摆一摆,大家观察讨论。
(2)照着
的样子,摆连续的三角形。
(3)从摆第一个三角形开始,就摆一个记录一次,寻找三角形个数和小棒根数之间的关系。
三角形个数
摆成的图形
小棒根数
列出的算式
1
3
3=3+2×0
2
5
5=3+2×1
3
7
7=3+2×2
4
9
9=3+2×3
…
…
…
…
10
21
21=3+2×9
(4)当发现了规律后就来推算一下摆10个三角形需要多少根小棒。
3.学生以小组为单位,共同摆一摆,填一填。
老师参与各个小组进行指导。
4.各个小组反馈交流:
师:
①你们发现了什么规律?
②你们是如何发现这个规律的?
预设一:
(学生到展台前展示自己的拼摆发现)当摆到第二个连续的三角形时,小棒变成5根,增加了2根。
摆到第三个三角形时,小棒又增加了2根,发现在第一个三角形的基础上,每多摆一个三角形就增加2根小棒。
1个三角形3根
2个三角形5根
3个三角形7根
……
师:
用同样的方法验证规律:
如果摆10个三角形需要几根小棒?
摆n个三角形呢?
可以怎样列式?
预设生1:
10个三角形需要(3+2×9)根小棒。
生2:
摆n个时就需要[3+2(n-1)]根小棒。
(教师板书:
3+2×9,3+2(n-1))
预设二:
第一个三角形得由1根小棒增加2根组成,每增加一个三角形就增加2根小棒。
学生摆图形,展示摆的过程和所得规律。
由(1+2)根小棒组成。
由(1+2+2)根小棒组成。
……
教师根据学生的描述板书算式1+2+2+2+…
师:
如果有n个三角形,应该怎么表示?
预设生:
可以将算式简化成1+2×n。
预设三:
预设生:
将第二个独立三角形与第一个三角形连接,去掉共用的一根小棒,同样得到每增加一个三角形就增加2根小棒。
(学生进行展示)
+
=6(根)
=5(根)
去掉共用的1根小棒。
3×2-1
+
+
=9(根)
=7(根)
去掉共用的2根小棒。
3×3-2
师:
通过这样的思路,说一说10个三角形需要小棒的根数,理解算式并验证。
3×10-(10-1)=21。
归纳出摆n个时,怎样列算式。
(教师板书:
3n-(n-1))
师:
优化算法,统一成下面的最简算法。
3+2(n-1) 3n-(n-1)
=2n+1 =2n+1
(教师板书:
2n+1)
巩固加深理解字母公式的应用。
例题:
摆4个三角形最少要用多少根小棒?
师:
n代表的是什么?
预设生:
n表示的是三角形的个数。
师:
你能根据2n+1这个式子计算出摆4个三角形最少要用多少根小棒吗?
预设生:
2×4+1=9(根)。
(三)、根据规律,解决问题。
师:
我们已经知道了连续摆三角形的规律,而笑笑并没有停止自己的探究,她继续往下摆,一共用了37根小棒,你们知道她摆了多少个三角形吗?
师:
请同学们根据上一环节的计算,进行逆运算。
(学生讨论交流,进行汇报)
师:
你们是用哪种方法解决这个问题的?
预设生1:
通过上面的学习我们知道,摆一个三角形要用3根小棒,以后每摆一个三角形只需要2根小棒,所以先减去第一个三角形所用的小棒数,再除以2,最后把所得的商再加上1,就是摆出的三角形个数。
(37-3)÷2=17(个),17+1=18(个)。
所以,37根小棒可以摆出18个三角形。
生2:
老师,我的想法和他的不同,通过摆三角形,我们都知道第一个三角形用3根小棒,连续摆下去,借助共用边,每多一个三角形就多2根小棒。
我们可以把第一个三角形看成是由(2+1)根小棒组成的,所以在小棒的总根数中减去1,再除以2,所得的商就是应该摆出三角形的个数。
列式:
(37-1)÷2=18(个)。
所以,37根小棒可以摆出18个三角形。
生3:
老师,我还有第三种方法,虽然很麻烦,但是结果也是相同的,可以摆18个三角形。
我们可以用小棒实际操作摆出图形,直到把37根小棒用完为止,数出摆出三角形的个数,也是18个。
师:
你们还有其他的解决办法吗?
(学生思考讨论,方法合理即可)
师:
你们的计算结果是正确的吗?
要想知道是否正确你们应该怎么办?
预设生:
我们可以进行检验。
师:
我们应该怎样进行检验呢?
小组讨论一下。
(学生讨论方法,教师指导,然后汇报)
预设生:
根据摆三角形的探索规律,我们知道,n个三角形由(2n+1)根小棒组成,所以18个三角形小棒根数:
2×18+1=37(根)。
所以37根小棒可以组成18个三角形是正确的。
(四)、点阵中的规律。
师:
同学们,刚才我们从连续排列的三角形中知道了三角形的个数和小棒的根数之间的关系。
你们是否会运用刚才发现的规律的思考方法去弄清这个点阵中的规律呢?
1.(PPT课件出示教材98页情景图)
师:
同学们,通过大屏幕画面中的4个点阵图,你们知道我们要解决怎样的问题吗?
预设生:
我们要探索点阵的个数与点阵中点的个数之间的关系,发现规律。
(教师板书:
点阵中的规律)
师:
观察每个点阵图中的点的个数,看看你有什么发现。
(教师放手,让学生独立完成,在小组内交流的基础上组织全班交流)
师:
谁先把你的想法与大家进行交流?
预设生1:
通过观察点阵图,发现后面的一个点阵图比前面一个点阵图多1行1列。
生2:
我发现,第一个点阵图与第二个点阵图相差3,第二个点阵图与第三个点阵图相差5,第三个点阵图与第四个点阵图相差7……
生3:
通过画面观察,我们可以把4个点阵图分别看成是边长为1,2,3,4的正方形。
……
师:
你们发现点阵的个数与点阵中点的个数的关系了吗?
预设生:
老师,我发现,第一个点阵图中点数是1×1个;第二个点阵图中的点数是2×2个;第三个点阵图中的点数是3×3个;第四个点阵图中的点数是4×4个……
师:
可以怎样表示呢?
预设生:
一边上有几个点子,我们就可以写成几乘几来表示点阵图中的点子数。
(教师板书:
几乘几)
师:
那你们能根据这个规律推算出第5个点阵图中的点子数吗?
预设生:
应该是5×5=25个点子。
师:
那么,第6个点阵图呢?
第7个,第8个呢?
(教师引导学生回答问题)
2.从不同的角度观察,发现新的规律。
师:
同学们,你们画一画,然后进行观察,你们发现了怎样的规律?
(学生独立完成,教师指导)
学生汇报。
(学生到展台前,展示自己的发现)
三、巩固练习
1.摆图形。
小明用小正方形摆“十”
摆一个“十”字形需要 个小正方形,摆两个“十”字形需要 个小正方形,摆x个“十”字形需要 个小正方形。
2.按下图方式摆正方形。
摆20个正方形需要多少根小棒?
四、课堂小结
这节课你们学了什么知识?
有什么收获?
5、板书设计
图形中的规律
三角形的规律
2n+1
点阵中的规律
五、课后反思
首先,教师所应做的是在摸清学生的知识底蕴的同时,给予学生学习的推动力,激发学生的内在需要。
因此,我创设了一个情景,以“猜想—验证”的教学方式,放手让学生自主探索规律,培养自主思考探究的习惯,让学生确实能做到主动、独立地学习,十分重要的是让学生掌握学习的“工具”,即教学内容的结构和学习方法的结构。
在教学中教师要用结构的观点去分析和研究教材,指导学习方法,给学生主动学习的“工具”,并使之形成后续学习的动力。
课堂上,我先让学生以小组来想办法,说说你们想用什么办法来验证,再通过“友情提示”对学生的方法及时进行梳理和指导,及时提供充分的探究空间,让学
生选择自己喜欢的方法自主探寻规律,让学生用自
己的语言表达规律,适时进行数学化。
学生探究后,我及时引导学生用不同的方式来表达自己的发现,表达所摆图形的个数与所需要的小棒根数之间的关系。
让学生亲身经历“从具体形象表示——用数学语言描述——用数学模型表示”这一逐步符号化、形式化的过程,不断提升学生的“数学化”水平。
牧歌寄谦牧翁
[宋]王柏
山前群羊儿,群羊化为石。
山后谦牧翁,双牛挂虚壁。
仙佛道不同,妙处各自得。
我来牧坡上,牧翁已牧出。
风行麦浪高,日暖柳阴直。
沙平草正软,隔林数声笛。
试问翁牧意,著鞭还用力。
牵起鼻撩天,蹋地四蹄实。
汤饮菩提泉,饥来噍刍苾。
步行颠倒骑,神光背上射。
因悟角前后,通身白的皪。
勿使蹊人田,毋乃失其职。
舍策脱蓑归,人牛两无迹。
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