人教版八年级上册第11章 《三角形》培优训练题.docx
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人教版八年级上册第11章《三角形》培优训练题
第11章《三角形》培优训练题
一.选择题
1.下列各线段中,能与长为4,6的两线段组成三角形的是( )
A.2B.8C.10D.12
2.若一个多边形的内角和是1080度,则这个多边形的边数为( )
A.6B.7C.8D.10
3.如图,在四边形ABCD中,∠α、∠β分别是与∠BAD、∠BCD相邻的补角,且∠B+∠CDA=140°,则∠α+∠β=( )
A.260°B.150°C.135°D.140°
4.如图,在△ABC中,∠ACB=100°,∠A=20°,D是AB上一点,将△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′等于( )
A.40°B.20°C.55°D.30°
5.在长为10cm,7cm,5cm,3cm的四根木条,选其中三根组成三角形,则能组成三角形的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
6.如图,在△ABC中,∠B=33°,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,则∠1﹣∠2的度数是( )
A.33°B.56°C.65°D.66°
7.如图,点D,E在△ABC边上,沿DE将△ADE翻折,点A的对应点为点A′,∠A′EC=40°,∠A′DB=110°,则∠A等于( )
A.30°B.35°C.60°D.70°
8.一张△ABC纸片,点M、N分别是AB、AC上的点,若沿直线MN折叠后,点A落在AC边的下面A′的位置,如图所示.则∠1,∠2,∠A之间的数量关系是( )
A.∠1=∠2+∠AB.∠1=2∠2+∠AC.∠1=∠2+2∠AD.∠1=2∠2+2∠A
9.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比是3:
1,这个多边形的边数是( )
A.8B.9C.10D.12
10.如图,一副分别含有60°和45°角的两个直角三角板,拼成如下图形,其中∠C=90°,∠BAC=45°,∠EDC=60°,则∠BFD的度数是( )
A.15°B.25°C.30°D.10°
二.填空题
11.三角形两边长分别是2,4,第三边长为偶数,第三边长为 .
12.如果将一副三角板按如图方式叠放,那么∠1= .
13.如图,AC⊥DE,垂足为O.∠B=40°,∠E=30°.则∠A= 度.
14.如图,一块试验田的形状是三角形(设其为△ABC),管理员从BC边上的一点D出发,沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处,则管理员从出发到回到原处在途中身体转过 °.
15.木工师傅做完房门后,为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是 .
16.如图,△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=40°,∠C=60°,∠DAE的度数为 .
三.解答题
17.问题1
现有一张△ABC纸片,点D、E分别是△ABC边上两点,若沿直线DE折叠.
研究
(1):
如果折成图①的形状,使A点落在CE上,则∠1与∠A的数量关系是
研究
(2):
如果折成图②的形状,猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是
研究(3):
如果折成图③的形状,猜想∠1、∠2和∠A的数量关系,并说明理由.
问题2
研究(4):
将问题1推广,如图④,将四边形ABCD纸片沿EF折叠,使点A、B落在四边形EFCD的内部时,∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 .
18.已知△ABC中,三边长a、b、c,且满足a=b+2,b=c+1
(1)试说明b一定大于3;
(2)若这个三角形周长为22,求a、b、c.
19.如图,点A、B分别在射线OM、ON上运动(不与点O重合).
(1)如图1,若∠MON=90°,∠OBA、∠OAB的平分线交于点C,则∠ACB= °;
(2)如图2,若∠MON=n°,∠OBA、∠OAB的平分线交于点C,求∠ACB的度数;
(3)如图2,若∠MON=n°,△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D,求∠ACB与∠ADB之间的数量关系,并求出∠ADB的度数;
(4)如图3,若∠MON=80°,BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E.试问:
随着点A、B的运动,∠E的大小会变吗?
如果不会,求∠E的度数;如果会,请说明理由.
20.在凸四边形ABCD中,∠A﹣∠B=∠B﹣∠C=∠C﹣∠D>0,且四个内角中有一个角为84°,求其余各角的度数.
21.如图,直线AE⊥BF于O,将一个三角板ABO如图放置(∠BAO=30°),两直角边与直线BF,AE重合,P为直线BF上一动点,BC平分∠ABP,PC平分∠APF,点D在直线PC上,且OD平分∠POE.
(1)求∠BGO的度数;
(2)试确定∠C与∠OAP之间的数量关系并说明理由;
(3)P在直线上运动,∠C+∠D的值是否变化?
若发生变化,说明理由;若不变求其值.
22.已知如图①,BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α.
(1)当α=40°时,∠BPC= °,∠BQC= °;
(2)当α= °时,BM∥CN;
(3)如图②,当α=120°时,BM、CN所在直线交于点O,求∠BOC的度数;
(4)在α>60°的条件下,直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系:
.
23.在平面直角坐标系中,A(﹣1,0),B(0,2),点C在x轴上.
(1)如图
(1),若△ABC的面积为3,则点C的坐标为 .
(2)如图
(2),过点B点作y轴的垂线BM,点E是射线BM上的一动点,∠AOE的平分线交直线BM于F,OG⊥OF且交直线BM于G,当点E在射线BM上滑动时,
的值是否变化?
若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.
参考答案
一.选择题
1.解:
设组成三角形的第三边长为x,由题意得:
6﹣4<x<6+4,
即:
2<x<10,
故选:
B.
2.解:
根据n边形的内角和公式,得
(n﹣2)•180=1080,
解得n=8.
∴这个多边形的边数是8.
故选:
C.
3.解:
∵∠B+∠D+∠DAB+∠BCD=360°,∠B+∠CDA=140°,
∴∠DAB+∠BCD=360°﹣140°=220°,
∵∠α+∠β+∠DAB+∠BCD=360°,
∴∠α+∠β=360°﹣220°=140°.
故选:
D.
4.解:
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠ACB=100°,∠A=20°,
∴∠B=60°,
根据翻折不变性可知:
∠CB′D=∠B=60°,
∵∠DB′C=∠A+∠ADB′,
∴60°=20°+∠ADB′,
∴∠ADB′=40°,
故选:
A.
5.解:
选其中10cm,7cm,5cm三条线段符合三角形的成形条件,能组成三角形;选其中10cm,7cm,3cm三条线段不符合三角形的成形条件,不能组成三角形;选其中10cm,5cm,3cm三条线段不符合三角形的成形条件,不能组成三角形;选其中7cm,5cm,3cm三条线段符合三角形的成形条件,能组成三角形.
故选:
B.
6.解:
如图,由折叠的性质得:
∠D=∠B=33°,
根据外角性质得:
∠1=∠3+∠B,∠3=∠2+∠D,
∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°,
∴∠1﹣∠2=66°.
故选:
D.
7.解:
∵∠A′EC=40°,
∴∠AEC+∠A′EC=180°+40°=220°,
由翻折可知:
∠AED=∠A′ED=
×220°=110°,
∵∠A′DB=110°,
∴∠A′DA=70°,
由翻折可知:
∠ADE=∠A′DE=
A′DA=35°,
∴∠A=180°﹣∠ADE﹣∠AED=35°.
故选:
B.
8.解:
如图:
由折叠得:
∠A=∠A′,
∵∠1是△MDA的外角,
∴∠1=∠A+∠MDA,
同理:
∠MDA=∠2+∠A′,
∴∠1=∠A+∠2+∠A′,
即:
∠1=2∠A+∠2,
故选:
C.
9.解:
设这个多边形的外角为x°,则内角为3x°,
由题意得:
x+3x=180,
解得x=45,
这个多边形的边数:
360°÷45°=8,
故选:
A.
10.解:
∵Rt△CDE中,∠C=90°,∠EDC=60°,
∴∠BDF=180°﹣60°=120°,
∵∠C=90°,∠BAC=45°,
∴∠B=45°,
∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°.
故选:
A.
二.填空题(共6小题)
11.解:
设第三边为a,根据三角形的三边关系知,4﹣2<a<4+2.
即2<a<6,
由周长为偶数,
则a为4.
故答案为:
4.
12.解:
给图中角标上序号,如图所示.
∵∠2+∠3+45°=180°,∠2=30°,
∴∠3=180°﹣30°﹣45°=105°,
∴∠1=∠3=105°.
故答案为:
105°.
13.解:
∵AC⊥DE,
∴∠COE=90°,
∵∠E=30°,
∴∠ACE=60°
,
∵∠ACE=∠B+∠A,
∴∠A=20°.
故答案为20.
14.解:
∵管理员走过一圈正好是三角形的外角和,
∴从出发到回到原处在途中身体转过360°.
故答案为:
360.
15.解:
木工师傅做完房门后,为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是:
三角形的稳定性.
16.解:
∵△ABC中,∠B=40°,∠C=60°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣40°﹣60°=80°,
∵AE平分∠BAC,
∴∠CAE=
∠BAC=
×80°=40°,
∵AD⊥BC,
∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°,
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=40°﹣30°=10°.
故答案为:
10°.
三.解答题(共7小题)
17.解:
(1)如图1,∠1=2∠A,理由是:
由折叠得:
∠A=∠DA′A,
∵∠1=∠A+∠DA′A,
∴∠1=2∠A;
故答案为:
∠1=2∠A;
(2)如图2,猜想:
∠1+∠2=2∠A,理由是:
由折叠得:
∠ADE=∠A′DE,∠AED=∠A′ED,
∵∠ADB+∠AEC=360°,
∴∠1+∠2=360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED=360°﹣2∠ADE﹣2∠AED,
∴∠1+∠2=2(180°﹣∠ADE﹣∠AED)=2∠A;
故答案为:
∠1+∠2=2∠A;
(3)如图3,∠2﹣∠1=2∠A,理由是:
∵∠2=∠AFE+∠A,∠AFE=∠A′+∠1,
∴∠2=∠A′+∠A+∠1,
∵∠A=∠A′,
∴∠2=2∠A+∠1,
∴∠2﹣∠1=2∠A;
(4)如图4,由折叠得:
∠BMN=∠B′MN,∠ANM=∠A′NM,
∵∠DNA+∠BMC=360°,
∴∠1+∠2=360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM,
∵∠BMN+∠ANM=360°﹣∠A﹣∠B,
∴∠1+∠2=360°﹣2(360°﹣∠A﹣∠B)=2(∠A+∠B)﹣360°,
故答案为:
∠1+∠2=2(∠A+∠B)﹣360°.
18.解:
(1)∵a=b+2,b=c+1,
∴b=a﹣2,b=c+1,
∴a﹣2=c+1,
a﹣c=3,
∴b一定大于3;
(2)∵b=c+1,
∴c=b﹣1,
∴b+2+b+b﹣1=22,
解得b=7,
∴a=b+2=9,
c=b﹣1=6.
19.解:
(1)∵∠MON=90°,
∴∠OBA+∠OAB=90°,
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C,
∴∠ABC+∠BAC=
×90°=45°,
∴∠ACB=180°﹣45°=135°;
故答案为:
135;
(2)在△AOB中,∠OBA+∠OAB=180°﹣∠AOB=180°﹣n°,
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C,
∴∠ABC+∠BAC=
(∠OBA+∠OAB)=
(180°﹣n°),
即∠ABC+∠BAC=90°﹣
n°,
∴∠ACB=180°﹣(∠ABC+∠BAC)=180°﹣(90°﹣
n°)=90°+
n°;
(3)∵BC、BD分别是∠OBA和∠NBA的角平分线,
∴∠ABC=
∠OBA,∠ABD=
∠NBA,
∠ABC+∠ABD=
∠OBA+
∠NBA,∠ABC+∠ABD=
(∠OBA+∠NBA)=90°,
即∠CBD=90°,
同理:
∠CAD=90°,
∵四边形内角和等于360°,
∴∠ACB+∠ADB=360°﹣90°﹣90°=180°,
由
(1)知:
∠ACB=90°+
n°,
∴∠ADB=180°﹣(90°+
n°)=90°﹣
n°,
∴∠ACB+∠ADB=180°,∠ADB=90°﹣
n°;
(4)∠E的度数不变,∠E=40°;理由如下:
∵∠NBA=∠AOB+∠OAB,
∴∠OAB=∠NBA﹣∠AOB,
∵AE、BC分别是∠OAB和∠NBA的角平分线,
∴∠BAE=
∠OAB,∠CBA=
∠NBA,
∠CBA=∠E+∠BAE,即
∠NBA=∠E+
∠OAB,
∠NBA=∠E+
(∠NBA﹣80°),
∠NBA=∠E+
∠NBA﹣40°,
∴∠E=40°.
20.解:
设∠A﹣∠B=∠B﹣∠C=∠C﹣∠D=x>0,
则∠A>∠B>∠C>∠D,∠C=∠D+x,∠B=∠D+2x,∠A=∠D+3x,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=6x+4∠D=360°,
∴∠D+
x=90°.
1、∠D=84°时,x=4°,
∠A=96°,∠B=92°,∠C=88°;
2、∠C=84°时,2x+4∠C=360°,x=12°,
∠A=108°,∠B=96°,∠D=72°;
3、∠B=84°时,﹣2x+4∠B=360°,x=﹣12°,
∠A=72°,∠C=96°,∠D=108°(舍去);
4、∠A=84°,﹣6x+4∠A=360°,x=﹣4,
∠D=96°,∠C=92°,∠B=88°(舍去).
21.解:
(1)∵∠BAO=30°,∴∠ABO=60°,∵BC平分∠ABP,∴∠ABG=∠GBO=30°,
∠BGO=∠BAG+∠ABG=60°.
(2)∠APF=∠OAP+∠AOP
∠C=
∠APF﹣∠CBF=
∠OAP+45°﹣30°=
∠OAP+15°
(3)∠C+∠D不变.
如图1,∠CPF=∠OPD,
∠CPF=∠C+30°,
∠OPD=180°﹣45°﹣∠D
∠C+30°=180°﹣45°﹣∠D
∠C+∠D=105°.
22.解:
(1)∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,
∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°,
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,
∴∠CBP+∠BCP=
(∠DBC+∠BCE)=110°,
∴∠BPC=180°﹣110°=70°,
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,
∴∠QBC=
∠PBC,∠QCB=
∠PCB,
∴∠QBC+∠QCB=55°,
∴∠BQC=180°﹣55°=125°;
(2)∵BM∥CN,
∴∠MBC+∠NCB=180°,
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α,
∴
(∠DBC+∠BCE)=180°,
即
(180°+α)=180°,
解得α=60°;
(3)∵α=120°,
∴∠MBC+∠NCB=
(∠DBC+∠BCE)=
(180°+α)=225°,
∴∠BOC=225°﹣180°=45°;
(4)∵α>60°,
∠BPC=90°﹣
α、
∠BQC=135°﹣
α、
∠BOC=
α﹣45°.
∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系:
∠BPC+∠BQC+∠BOC=(90°﹣
α)+(135°﹣
α)+(
α﹣45°)=180°.
故答案为:
70,125;60;∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°.
23.解:
(1)∵A(﹣1,0),B(0,2),点C在x轴上.△ABC的面积为3,
∴AC的长为3,
则点C的坐标为(2,0)或(﹣4,0);
故答案为:
(2,0)或(﹣4,0);
(2)∵∠AOE+∠EOx=180°,
∴
∠AOE+
∠EOx=90°,
即∠EOF+
∠EOx=90°
∵∠EOF+∠EOG=90°,
∴∠EOG=
∠EOx,
∴FM∥x轴,
∴∠GOx=∠EGO,
∴∠EOG=∠EGO,
∴∠BEO=2∠EGO,
∵∠FOG=90°,
∴∠EGO+∠OFG=90°,
∵FM⊥y轴,
∴∠BOF+∠OFG=90°,
∴∠BOF=∠EGO,
∴∠BEO=2∠BOF,
∴
=2.
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