几何经典模型中点四大模型.docx
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几何经典模型中点四大模型
中点四大模型
模型1倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形
图①
模型分析
如图①,AD是厶ABC的中线,延长AD至点E使DE=AD,易证:
△ADC◎△EDB(SAS).如图②,D是BC中点,延长FD至点E使DE=FD,易证:
△FDBEDC(SAS)
当遇见中线或者中点的时候,可以尝试倍长中线或类中线,构造全等三角形,目的是对
已知条件中的线段进行转移.
模型实例
如图,已知在厶ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,连接BE并延长交AC于点F,AF=EF,求证:
AC=BE.
1.如图,在△ABC中,AB=12,AC=20,求BC边上中线AD的范围.
解:
延长AD至UE,使AD=DE,连接BE,
•/AD是厶ABC的中线,
•••BD=CD,
在厶ADC与厶EDB中,
BD=CD
VADC=NBDE,
、AD=DE
•△ADC◎△EDB(SAS),
EB=AC=20,
根据三角形的三边关系定理:
20-12vAEV20+12,
•4VADV16,
故AD的取值范围为4VADV16.
E
2.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DM丄DN,如果BM2+CN2=DM2+DN2.求证:
AD2=丄(AB2+AC2)
4
证明:
如图,过点B作AC的平行线交ND的延长线于E,连ME.
•/BD=DC,
•••ED=DN.
在厶BED与厶CND中,
[BD=DC
JNBDE=NCDN
ED=DN
J
•••△BED◎△CND(SAS).
•BE=NC.
•••/MDN=90°
•MD为EN的中垂线.
•EM=MN.
•BM2+BE2=BM2+NC2=MD2+DN2=MN2=EM2,
•△BEM为直角三角形,/MBE=90°
•/ABC+ZACB=ZABC+ZEBC=90°
•/BAC=90°.
•AD2=(1BC)2=1(AB2+AC2).
24
模型2已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶点连接用“三线合一”
模型分析
等腰三角形中有底边中点时,常作底边的中线,利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等,为解题创造更多的条件,当看见等腰三角形的时候,就应想到:
“边等、角等、
三线合一”•模型实例
如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点,MN丄AC于点N,求MN的长度.
解答:
连接AM.
•••AB=AC=5,BC=6,点M为BC中点,
1
•••AM丄BC,BM=CM=BC=3
2
•/AB=5,
•AM=..AB2-BM2二52-32=4.
•/MN丄AC,
11
anc=MC•AM=—AC•MN.
即:
11
X3X4=X5XMN.
22
小猿热搜
1.
AE丄DE,AF丄DF,且AE=AF,求证:
如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,/EDB=ZFDC.
F
证明:
连结AD,
•••AB=AC,D是BC的中点,
•••AD丄BC,ZADB=ZADC=90°在RtAAED与RtAAFD中,
”AB=AF
AD=AD'
•RtAAED也RtAAFD.(HL)
•••/ADE=ZADF,
•••/ADB+ZADC=90°,
•••/EDB=ZFDC.
2.已知RtAABC中,AC=BC,/C=90°,D为AB边的中点,/EDF=90。
,/EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.
1
(1)当/EDF绕D点旋转到DF丄AC于E时(如图①),求证:
S^ef+S^ef=S^abc;
2
(2)当/EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图②和图③这两种情况下,上述结论
是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,Sadef、Sacef、SaABC又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需要证明.
图①
B
A
图③
解:
(1)连接CD;如图2所示:
•/AC=BC,/ACB=90°D为AB中点,
11
•••/B=45°/DCE=-/ACB=45°CD丄AB,CD=—AB=BD
22'
:
丄DCE=/B,/CDB=90°,
•//EDF=90°
•••/1=/2,
在厶CDE和厶BDF中,
•1=/2
*CD=BD,
NDCB=NB
•••△CDE◎△BDF(ASA),
--SaDEF+SaCEF=S^ADE+S^BDF=_S^ABC;
2
、1一
(2)不成立;Sadef-SaCEF=—SaABC;理由如下:
连接CD,如图3所示:
2
同
(1)得:
△DEC◎△DBF,/DCE=/DBF=135°
--Sadef=S五边形DBFEC,
=SaCFE+SadbC,
1
△CFe+=S^ABC,
•Sadef—Sacfe=
1
—S^abc•
2
--Sadef、SaCEF、
SaABC
的关系是:
1
2
D
SaDEF—SaCEF=
Saabc・
模型3已知三角形一边的中点,可考虑中位线定理
模型分析
在三角形中,如果有中点,可构造三角形的中位线,利用三角形中位线的性质定理:
1
DE//BC,且DE=BC来解题.中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系,该
2
模型可以解决角问题,线段之间的倍半、相等及平行问题.
模型实例
如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M,N.求证:
/BME=ZCNE.
解答
如图,连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF.
•/E、F分别是BC、AD的中点,
11
二FH=-AB,FH//AB,HE=DC,HE//NC.
22
又•••AB=CD,
•••HE=HF.
•••/HFE=ZHEF.
•/FH//MB,HE//NC,
•••/BME=ZHFE,/CNE=ZFEH.
•••/BME=ZCNE.
练习:
1.
(1)如图1,BD,CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AD丄BD,AE丄CE,垂足分别为D,E,连接DE,求证:
DE//BC,DE=1(AB+BC+AC);
2
(2)如图2,BD,CE分别是△ABC的内角平分线,其他条件不变,上述结论是否成立?
(3)如图3,BD是厶ABC的内角平分线,CE是厶ABC的外角平分线,其他条件不变,DE
与BC还平行吗?
它与△ABC三边又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并对其中一种情
况进行证明•
1•解答
(1)如图①,分别延长AE,AD交BC于H,K.在厶BAD和厶BKD中,
/ABD/DBK
BD=BD
.BDABDK
•••△BAD也△BKD(ASA)
•••AD=KD,AB=KB.
同理可证,AE=HE,AC=HC.
1
•-DE=^HK.
2
又•••HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC.
•DE=-(AB+AC+BC).
2
A
1
(2)猜想结果:
图②结论为DE=丄(AB+AC-BC)
2
证明:
分别延长AE,AD交BC于H,K.
在厶BAD和厶BKD中
ABD二/DBK
BD=BD
J/BDA=/BDK
•••△BAD◎△BKD(ASA)
•••AD=KD,AB=KB同理可证,AE=HE,AC=HC.
1
•-DE=—HK.
2
又•••HK=BK+CH-BC
=AB+AC-BC
•DE=i(AB+AC-BC)
2
A
(3)图③的结论为DE=丄(BC+AC-AB)
2
证明:
分别延长AE,AD交BC或延长线于H,K.在厶BAD和厶BKD中,
ZABDZDBK
BD二BD
I
.BDABDK
•△BAD◎△BKD(ASA)
•AD=KD,AB=KB.
同理可证,AE=HE,AC=HC.
1
•-DE=-KH.
2
又•••HK=BH-BK
=BC+CH-BK=BC+AC-AB
•••DE=1(BC+AC-AB)
2
2•问题一:
如图①,在四边形ABCD中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF,分别交DC,AB于点M,N,判断△OMN的形状,请直接写出结论.
问题二:
如图②,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若/EFC=60°,连接GD,判断△AGD的形状并证明•
(2)△AGD是直角三角形
如图②,连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE.
•••F是AD的中点,
1
•HF//AB,HF=-AB
2
•••/仁/3.
1
同理,HE//CD,HE=」CD
2,
•••/2=ZEFC,
•AB=CD,
•••HF=HE.
•••/仁/2.
•••/EFC=60°,
•••/3=ZEFC=ZAFG=60°.
•△AGF是等边三角形.
•AF=FG.
•GF=FD.
•••/FGD=ZFDG=30°.
•••/AGD=90。
,即△AGD是直角三角形
模型4已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线
模型分析
在直角三角形中,当遇见斜边中点时,经常会作斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即cd=1ab,来证明线段间的数量关系,而且可以得到两个等腰三角
形:
△ACD和厶BCD,该模型经常会与中位线定理一起综合应用
模型实例
如图,在△ABC中,BE,CF分别为AC,AB上的高,D为BC的中点,DM丄EF于点M,
求证:
FM=EM.
证明
连接DE,DF.
BE,CF分别为边AC,AB上的高,D为BC的中点,
11
DF=—BC,DE=—BC.
22
DF=DE,即△DEF是等腰三角形
DM丄EF,
点M是EF的中点,即FM=EM.
练习:
1•如图,在△ABC中,/B=2/C,AD丄BC于D,M为BC的中点,AB=10,求DM的长度.
1•解答
取AB中点N,连接DN,MN.
在RtAADB中,N是斜边AB上的中点,
1
DN=_AB=BN=5.
2
•••/NDB=ZB.
在厶ABC中,M,N分别是BC,AB的中点,
•MN//AC
•••/NMB=ZC,
又•••/NDB是厶NDM的外角,
•/NDB=ZNMD+ZDNM.
即/B=ZNMD+ZDNM=ZC+ZDNM.
又•••/B=2ZC,
•ZDNM=ZC=ZNMD.
•DM=DN.
•DM=5.
•
2证明
延长BM交CE于G,
•••△ABD和厶ACE都是直角三角形,
•••CE//BD.
•••/BDM=ZGEM.
又•••M是DE中点,即DM=EM,
且/BMD=ZGME,
•△BMD◎△GME.
•BM=MG.
•M是BG的中点,
•••在RtACBG中,BM=CM.
3.问题1如图①,三角形ABC中,点D是AB边的中点,AE丄BC,BF丄AC,垂足分别为点E,F.AE、BF交于点M,连接DE,DF,若DE=kDF,则k的值为
问题2:
如图②,三角形ABC中,CB=CA,点D是AB边的中点,点M在三角形ABC内部,且/MAC=ZMBC,过点M分别作ME丄BC,MF丄AC,垂足分别为点E,F,连接DE,DF,求证:
DE=DF.
问题3:
如图③,若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB丰CA”,其他条件不变,试探究DE与DF之间的数量关系,并证明你的结论.
\
n\
A
BE——C
图1
A
C
图2
图3
3•解答
•••
(1)AE丄BC,BF丄AC,
•••△AEB和厶AFB都是直角三角形,
•/D是AB的中点,
11
…DE=—AB,DF=—AB.
22
•DE=DF.
•/DE=KDF,
•k=1.
图1
(2)TCB=CA,••/CBA=ZCAB.
•••/MAC=ZMBC,
•/CBA-ZMBC=ZCAB-/MAC,即/ABM=ZBAM.
•AM=BM.
•/ME丄BC,MF丄AC,
•/MEB=/MFA=90°.
又•••/MBE=/MAF,
•△MEB◎△MFA(AAS)
•BE=AF.
•/D是AB的中点,即BD=AD,又•••/DBE=ZDAF,
•••△DBE◎△DAF(SAS)
•••DE=DF.
C
(3)DE=DF.
如图,作AM的中点G,BM的中点H,连DG,FG,DH,EH.•••点D是边AB的中点,
1
•DG//BM,DG=_BM
2
同理可得:
DH//AM,DH=1aM
2
•/ME丄BC于E,H是BM的中点.
•••在RtABEM中,HE=1bm=BH.
2
•••/HBE=ZHEB.
•••/MHE=2/HBE.
11
又•••DG=—BM,HE=—BM,
22
•DG=HE.
同理可得:
DH=FG./MGF=2/MAC.
•/DG//BM,DH//GM,
•四边形DHMG是平行四边形•
•••/DGM=ZDHM.
•••/MGF=2/MAC,/MHE=2/MBC,/MBC=ZMAC,
•••/MGF=ZMHE.
•••/DGM+ZMGF=ZDHM+/MHE.
•••/DGF=ZDHE.
在厶DHE与厶FGD中
Jdg=HE
I
;._DGF:
._DHE
DH=FG
•△DHE也△FGD(SAS)
•DE=DF.
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- 几何 经典 模型 中点 四大