恒力矩转动法测刚体转动惯量.docx
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恒力矩转动法测刚体转动惯量
恒力矩转动法测刚体转动惯量
转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。
它取决于刚体的总质量,质量分布、形状大小和转轴位置。
对于形状简单,质量均匀分布的刚体,可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量,但对于形状比较复杂,或质量分布不均匀的刚体,用数学方法计算其转动惯量是非常困难的,因而大多采用实验方法来测定。
转动惯量的测定,在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。
测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法,本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。
一、实验目的
1、学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。
2、观测刚体的转动惯量随其质量,质量分布及转轴不同而改变的情况,验证平行轴定理。
3、学会使用智能计时计数器测量时间。
二、实验原理
1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理
根据刚体的定轴转动定律:
(1)
只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M及该力矩作用下刚体转动的角加速度β,则可计算出该刚体的转动惯量J。
设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J1,未加砝码时,在摩擦阻力矩Mμ的作用下,实验台将以角加速度β1作匀减速运动,即:
(2)
将质量为m的砝码用细线绕在半径为R的实验台塔轮上,并让砝码下落,系统在恒外力作用下将作匀加速运动。
若砝码的加速度为a,则细线所受张力为T=m(g-a)。
若此时实验台的角加速度为β2,则有a=Rβ2。
细线施加给实验台的力矩为TR=m(g-Rβ2)R,此时有:
(3)
将
(2)、(3)两式联立消去Mμ后,可得:
(4)
同理,若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J2,加砝码前后的角加速度分别为β3与β4,则有:
(5)
由转动惯量的迭加原理可知,被测试件的转动惯量J3为:
(6)
测得R、m及β1、β2、β3、β4,由(4),(5),(6)式即可计算被测试件的转动惯量。
2、β的测量
实验中采用智能计时计数器计录遮挡次数和相应的时间。
固定在载物台圆周边缘相差π角的两遮光细棒,每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门,即产生一个计数光电脉冲,计数器计下遮档次数k和相应的时间t。
若从第一次挡光(k=0,t=0)开始计次,计时,且初始角速度为ω0,则对于匀变速运动中测量得到的任意两组数据(km,tm)、(kn,tn),相应的角位移θm、θn分别为:
(7)
(8)
从(7)、(8)两式中消去ω0,可得:
(9)
由(9)式即可计算角加速度β。
3、平行轴定理
理论分析表明,质量为m的物体围绕通过质心O的转轴转动时的转动惯量J0最小。
当转轴平行移动距离d后,绕新转轴转动的转动惯量为:
(10)
图1转动惯量实验组合仪
三、转动惯量实验组合仪简介
1、ZKY-ZS转动惯量实验仪
转动惯量实验仪如图1所示,绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上,使转动时的摩擦力矩很小。
塔轮半径为15,20,25,30,35mm共5挡,可与大约5g的砝码托及1个5g,4个10g的砝码组合,产生大小不同的力矩。
载物台用螺钉与塔轮连接在一起,随塔轮转动。
随仪器配的被测试样有1个圆盘,1个圆环,两个圆柱;试样上标有几何尺寸及质量,
便于将转动惯量的测试值与理论计算值比较。
圆柱试样可插入载物台上的不同孔,这些
孔离中心的距离分别为45,60,75,90,105mm,便于验证平行轴定理。
铝制小滑轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记。
一只光电门作测量,一只作备用,可通过智能计时计数器上的按钮方便的切换。
四、实验内容及步骤
1、实验准备
在桌面上放置ZKY-ZS转动惯量实验仪,并利用基座上的三颗调平螺钉,将仪器调平。
将滑轮支架固定在实验台面边缘,调整滑轮高度及方位,使滑轮槽与选取的绕线塔轮槽等高,且其方位相互垂直,如图1所示。
并且用数据线将智能计时计数器中A或B通道与转动惯量实验仪其中一个光电门相连。
2、测量并计算实验台的转动惯量J1
(1)测量β1
上电开机后LCD显示“智能计数计时器成都世纪中科”欢迎界面延时一段时间后,显示操作界面:
1、选择“计时1—2多脉冲”。
2、选择通道,A或B。
3、用手轻轻拨动载物台,使实验台有一初始转速并在摩擦阻力矩作用下作匀减速运动。
4、按确认键进行测量。
5、载物盘转动15圈后按确认键停止测量。
6、查阅数据,并将查阅到的数据记入表1中;
采用逐差法处理数据,将第1和第5组,第2和第6组……,分别组成4组,用(9)式计算对应各组的β1值,然后求其平均值作为β1的测量值。
7、按确认键后返回“计时1—2多脉冲”界面。
(2)测量β2
1、选择塔轮半径R及砝码质量,将1端打结的细线沿塔轮上开的细缝塞入,并且不重叠的密绕于所选定半径的轮上,细线另1端通过滑轮后连接砝码托上的挂钩,用手将载物台稳住;
2、重复
(1)中的2、3、4步
3、释放载物台,砝码重力产生的恒力矩使实验台产生匀加速转动;
记录8组数据后停止测量。
查阅、记录数据于表1中并计算β2的测量值。
由(4)式即可算出J1的值。
3、测量并计算实验台放上试样后的转动惯量J2,计算试样的转动惯量J3并与理论值比较
将待测试样放上载物台并使试样几何中心轴与转轴中心重合,按与测量J1同样的方法可分别测量未加法码的角加速度β3与加砝码后的角加速度β4。
由(5)式可计算J2的值,已知J1、J2,由(6)式可计算试样的转动惯量J3。
已知圆盘、圆柱绕几何中心轴转动的转动惯量理论值为:
(11)
圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为:
(12)
计算试样的转动惯量理论值并与测量值J3比较,计算测量值的相对误差:
(13)
4、验证平行轴定理
将两圆柱体对称插入载物台上与中心距离为d的圆孔中,测量并计算两圆柱体在此位置的转动惯量。
将测量值与由(11)、(10)式所得的计算值比较,若一致即验证了平行轴定理。
数据记录表格与测量计算实例
表1测量实验台的角加速度
匀减速
匀加速R塔轮=m砝码=
k
1
2
3
4
平
均
k
1
2
3
4
平
均
t(s)
t(s)
k
5
6
7
8
k
5
6
7
8
t(s)
t(s)
β1(1/s2)
β2(1/s2)
表2测量实验台加圆环试样后的角加速度R外=R内=m圆环=
匀减速
匀加速R塔轮=m砝码=
k
平
均
k
1
2
3
4
平
均
t(s)
t(s)
k
k
5
6
7
8
t(s)
t(s)
β3(1/s2)
β4(1/s2)
表3测量两圆柱试样中心与转轴距离d=时的角加速度R圆柱=m圆柱×2=
匀减速
匀加速R塔轮=m砝码=
k
1
2
3
4
平
均
k
1
2
3
4
平
均
t(s)
t(s)
k
5
6
7
8
k
5
6
7
8
t(s)
t(s)
β3(1/s2)
β4(1/s2)
1、将表1中数据代入(4)式可计算空实验台转动惯量J1=kgm2
2、将表2中数据代入(5)式可计算实验台放上圆环后的转动惯量J2=kgm2
由(6)式可计算圆环的转动惯量测量值J3=kgm2
由(12)式可计算圆环的转动惯量理论值J=kgm2
由(13)式可计算测量的相对误差E=
3、将表3中数据代入(5)式可计算实验台放上两圆柱后的转动惯量J2=kgm2
由(6)式可计算两圆柱距轴心为d时的转动惯量测量值J3=kgm2
由(11)、(10)式可计算两圆柱距轴心为d时的转动惯量理论值J=kgm2
由(13)式可计算测量的相对误差E=
4.对平行轴定理加以讨论。
注意事项:
1.一定先将仪器调平。
2.测匀减速时初速度要小。
3.拉力一定与塔轮相切。
选作:
理论上,同一待测样品的转动惯量不随转动力矩的变化而变化。
改变塔轮半径或砝码质量(五个塔轮,五个砝码)可得到25种组合,形成不同的力矩。
可改变实验条件进行测量并对数据进行分析,探索其规律,寻求发生误差的原因,探索测量的最佳条件。
附件:
智能计时计数器简介及技术指标
(1)主要技术指标:
时间分辨率(最小显示位)为0.0001秒,误差为0.004%。
最大功耗0.3W
(2)智能计时计数器简介
智能计时计数器配备一个+9V稳压直流电源。
智能计时计数器:
+9V直流电源输入段端;122X32点阵图形LCD;三个操作按钮:
模式选择/查询下翻按钮、项目选择/查询上翻按钮、确定/开始/停止按钮;四个信号源输入端,两个4孔输入端是一组,两个3孔输入端是另一组,4孔的A通道同3孔的A通道同属同一通道,不管接那个效果一样,同样4孔的B通道和3孔的B通道统属同一通道。
4孔输入端(主板座子)3孔输入端(主板座子)电源接口(主板座子)
(3)智能计时计数器操作:
上电开机后显示“智能计数计时器成都世纪中科”画面延时一段时间后,显示操作界面:
上行为测试模式名称和序号,例:
“1计时”表示按模式选择/查询下翻按钮选择测试模式。
下行为测试项目名称和序号,例:
“1-1单电门”表示项目选择/查询上翻按钮选择测试项目。
选择好测试项目后,按确定键,LCD将显示“选A通道测量”,然后通过按模式选择/查询下翻按钮和项目选择/查询上翻按钮进A或B通道的选择,选择好后再次按下确认键即可开始测量。
一般测量过程中将显示“测量中*****”,测量完成后自动显示测量值,若该项目有几组数据,可按查询下翻按钮或查询上翻按钮进行查询,再次按下确定键退回到项目选择界面。
如未测量完成就按下确定键,则测量停止,将根据已测量到的内容进行显示,再次按下确定键将退回到测量项目选择界面。
注意:
有AB两通道,每通道都各有两个不同的插件(分别为电源+5V的光电门4芯和电源+9V的光电门3芯),同一通道不同插件的的关系是互斥的,禁止同时接插同一通道不同插件。
AB通道可以互换,如为单电门时,使用A通道或B通道都可以,但是尽量避免同时插AB两通道,以免互相干扰。
如为双电门,则产生前脉冲的光电门可接A通道也可接B通道,后脉冲的当然也可随便插在余下那通道。
如果光电门被遮挡时输出的信号端是高电平,则仪器是测脉冲的上升前沿间时间。
如光电门被遮挡时输出的信号端是低电平,则仪器是测脉冲的上升后沿间时间的。
模式种类及功能:
1计时
2平均速度
3加速度
4计数
计数
30秒
60秒
3分钟
手动
5自检
自检
光电门自检
测量信号输入:
1.计时
1-1单电门,测试单电门连续两脉冲间距时间。
1-2多脉冲,测量单电门连续脉冲间距时间,可测量99个脉冲间距时间
1-3双电门,测量两个电门各自发出单脉冲之间的间距时间。
1-4单摆周期,测量单电门第三脉冲到第一脉冲间隔时间。
1-5时钟类似跑表,按下确定则开始计时。
2速度
2-1单电门,测得单电门连续两脉冲间距时间t,然后根据公式计算速度。
2-2碰撞,分别测得各个光电门在去和回时遮光片通过光电门得时间t1、t2、t3、t4,然后根据公式计算速度。
2-3角速度,测得圆盘两遮光片通过光电门产生得两个脉冲间时间t,然后根据公式计算速度。
2-4转速,测得圆盘两遮光片通过光电门产生得两个脉冲间时间t,然后根据公式计算速度。
3加速度
3-1单电门,测得单电门连续三脉冲各个脉冲与相邻脉冲间距时间t1、t2,然后根据公式计算速度。
3-2线加速度,测得单电门连续七脉冲第1个脉冲与第脉4个脉冲间距时间t1、第7个脉冲与第4个脉冲间距时间t2,然后根据公式计算速度。
3-3角加速度,测得单电门连续七脉冲第1个脉冲与第脉4个脉冲间距时间t1、第7个脉冲与第4个脉冲间距时间t2,然后根据公式计算速度。
3-4双电门,测得A通道第2脉冲与第1脉冲间距时间t1,B通道第一脉冲与A通道第一脉冲间距时间t2,B通道第二脉冲与A通道第一脉冲间距时间t3。
4计数
4-130秒,第一个脉冲开始计时,共计30秒,记录累计脉冲个数。
4-260秒,第一个脉冲开始计时,共计60秒,记录累计脉冲个数。
4-33分钟,第一个脉冲开始计时,共计3分钟,记录累计脉冲个数。
4-4手动第一个脉冲开始计时,手动按下确定键停止,记录累计脉冲个数。
5自检
检测信号输入端电平。
特别注意:
如某一通道无任何线缆连接将显示“高”。
自检时正确的方法应该是通过遮挡光电门来查看LCD显示通道是否有高低变化。
有变化则光电门正常,反之异常。
耦合摆的研究
一.概述
振动系统间的作用问题(耦合振动)在物理学、工程结构和电子学线路中具有极其重要的意义。
本仪器由两个完全相同的单摆组成,单摆的振动周期可分别调整,两者之间用一根弹簧相连,实现了相互的耦合即组成耦合摆。
改变耦合弹簧在单摆上的位置,可明显观察到耦合度大小对振动系统的影响和规律,并从中观察到“拍”的现象。
本仪器可实验弹簧传递能量的过程和拍的现象;可定量测量同相位,反相位振动,简正振动和拍频等物理参数。
整套仪器由耦合摆实验装置和MS-4计数计时多用秒表组成,采用激光光电门作为计数计时传感器,具有实验测量直观,数据精确的特点,有利于拓宽学生视野;仪器结构科学.牢固轻巧,是当前探索研究型实验教学的新仪器。
二.实验仪器
1、摆杆固定和调整螺母2、摆杆3、立柱4、耦合弹簧5、耦合位置调节环6、振动频率微调螺母7、摆锤8、振幅指针兼计数计时挡杆9、水平尺固定架10、振幅测量直尺11、底盘12、气泡式水准仪13、仪器水平调整旋钮14、激光发射部件和信号处理部件15、可见红色激光束16、挡光片17、激光接收探头18、激光光电门支架19、次数预置20、次数显示21、相应次数的计时显示窗22、计数计时复位按钮23、+5V接线柱24、GND(公共地)接线柱25、计数计时信号输入接线柱26、输入信号低电平指示
三.实验原理
1.设一单摆,摆长为L,则固有圆频率
,式中g为重力加速度。
2.将两个完全相同的单摆通过一根弹簧耦合组成耦合摆,如果一个摆固定,另一个摆振动的频率叫做支频率,支频率
,式中K为弹簧的倔强系数,m为单摆有效质量。
通过调整使固有圆频率相等后组成的耦合摆,其两个支频率相等,
。
3.实际上耦合系统的振动方式比较复杂,取决于初始条件。
然后存在两种特有的振动方式,一种是两摆往同方向从平衡位置移开相等的距离引起的振动,即同相振动。
4.另一种是两摆从平衡位置往相反方相移开相等距离引起的振动,即反相振动。
5.反相振动和同相振动称作简正振动,其频率称为简正频率。
反相振动时,其简正频率为
;同相振动时,其简正频率为
(同固有频率)。
6.在一般情况下,耦合系统的振动是这两个简正振动的组合,振动表现出拍振的性质,拍振频率
两个摆相继地发生振幅周期性增大和减小,能量在两个摆之间来回交替传递。
四.实验内容
1.测定单个摆的固有振动频率、调整使两摆的振动频率(或周期)相同。
测单个摆的固有圆频率,
。
不加耦合弹簧,用激光光电门结合计数计时毫秒仪,测出10个周期的时间,计算出振动频率。
调整微调螺母,使两摆在同样起始振幅下的振动周期相同。
其误差<1%。
实验时计时周期数为10,所以计数计时多用秒表预置次数设置为20,振幅指针经过平衡位置20次,用手水平方向移开摆锤,使振幅指针偏离平衡位置25mm后放开。
实验测量周期记作T0、振动频率记作f0。
表1
单摆1
单摆2
序号
10T0/S
T0/S
f0/(1/S)
10T0/S
T0/S
f0/(1/S)
1
2
3
4
5
平均值
2.在不同摆杆位置用弹簧耦合连接,测定耦合系统的支频率。
测定耦合摆的两个简正频率;验证耦合长度的平方与其反相振动频率的平方成线性关系。
(1)测定耦合系统的支频率
将两摆用弹簧连接起来,用手固定单摆1(左面单摆),使单摆2(右面单摆)振动,用激光光电门结合计数计时毫秒仪,测出10个周期的时间,计算出振动频率。
实验时计时周期数为10,所以计数计时多用秒表预置次数设置为20,振幅指针经过平衡位置20次,用手水平方向移开摆锤,使振幅指针偏离平衡位置25mm后放开。
在耦合长度分别为20、25、30、35、40cm时.,实验测量支频率记作f1和f2。
耦合长度是指耦合点到摆杆转动轴心的距离,记作L。
表2
耦合长度L/cm
10T/S
T/S
f/(1/S)
20
25
30
35
40
(2)测定耦合摆的简正频率
(与自由振动的单摆固有频率相同),把两个摆往相同的方向,从平衡位置移开相等距离,使振幅指针偏离平衡位置25mm后放开,用激光光电门结合计数计时多用秒表,测出10个周期振动时间,计算振动频率。
实验时计时周期数为10,计数计时预置次数设置为20,振幅指针经过平衡位置20次,在耦合长度分别为20、25、30、35、40cm.时,实验测量简正频率,记作f2。
表3
耦合长度L/cm
10T2/S
T2/S
f2/(1/S)
20
25
30
35
40
(3)测定耦合摆的简正频率
把两个摆从平衡位置对称地往相反方向拉开,即作反相振动,在两摆振幅指针偏离平衡位置25mm后放开,用激光光电门结合计数计时多用秒表,测出10个周期的时间,计算出振动频率。
实验时计时周期数为10,计数计时多用秒表预置次数设置为20,振幅指针经过平衡位置20次,在耦合长度分别为20、25、30、35、40cm.时,实验测量简正频率,记作f1。
表4
耦合长度L/cm
10T1/S
T1/S
f1/(1/S)
20
25
30
35
40
由上述数据作f12-L2图,说明反相振动频率的平方与耦合长度的平方其成线性关系。
3.用弹簧耦合,测定在不同耦合长度时,耦合长度的平方与拍频成线性关系。
1)观察拍振,测出拍振频率,握住左摆不动,拉开右摆20mm,然后同时释放两摆,观察两摆的振动情况,可以看到左摆位相总是落于右摆。
振动的能量从右边的摆逐渐转移到左边的摆,然后又从左边的摆逐渐返还到右边的摆,此是位相亦产生变换,右摆的位相又落后于左边的摆。
如此周期性的进行,可以明显地看到每个摆的振动都具有拍的特征。
2)用计数计时多用秒表测出拍振周期,即测出一个摆相邻两次摆动中止的时间间隔,从而算出拍振频率。
实验证明f=f1-f2,实验时,用左手固定单摆1摆锤(即左摆),右手沿水平方向移开单摆2摆锤(即右摆),使振幅指针偏离平衡位置25mm后两手松开。
在耦合长度分别为20、25、30、35、40cm.时,实验测量拍振周期,T拍。
表5
耦合长度L/cm
T拍/S
F拍/(1/S)
20
25
30
35
40
由上述数据作f拍-L2图,说明拍频与耦合长度的平方成线性关系。
五、注意事项
1)激光光电门由激光发射和接收两部分组成。
激光发射部分发出红色可见激光,其红线接仪器+5V接线柱,黑线接GND接线柱;接收部件的黑色圆柱小也孔为激光接收孔,当其被激光照射后,上面的发光二极管熄灭,黄(信号)线输出低电平。
该部件红线接仪器+5V接线柱,黑线接GND接线柱,黄线接INPUT接线柱。
2)实验测量摆动周期时,先调整激光方向,使激光束射向接收部件的小孔,发光二极管熄灭。
在待测量摆平衡位置,摆幅指针恰好遮挡激光束,将该激光光电门放置于上述位置的圆底盘上。
这样当摆左右摆动中在经过平衡位置时遮挡激光束,接收部件将信号输出至计数计时多用秒表。
显然计数+1为半周期,因难以精确置于平衡点,故实验时以一周期测量为好。
一般次数预置成偶数,即整数个周期加以实验研究。
3)多功能毫秒仪(即计数计时多用秒表)的使用,计数计时始点时,计数窗显示:
00;计时窗显示:
00.000;计数次数和次数预置相同时,仪器停止计数计时,可通过查阅-或查阅+键记录相应次数从开始点所计的时间。
重复计数计时按RESET,次数预置数不大于64次,一旦改变预置数,须按RESET键方有效。
4)数字秒表用于记录拍周期,接上AC9V插座后,开启电源,按需启动或复位,由人工记时操控。
参考资料:
1、陈熙谋<<物理演示实验>>高等教育出版社
2、[德]威廉·H·卫斯特发尔,物理实验,实验十,王福山译,上海:
上海科学技术出版社,1981年
3、曹尔第,近代物理实验,上海:
华东师范大学出版社,1992
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- 恒力 转动 刚体 转动惯量