河南省中招数学试题及解析.docx
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河南省中招数学试题及解析
2015河南中考数学试卷
一、选择题(每小题3分,满分24分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的
1.(3分)下列各数中最大的数是()
D.﹣8
A.5B.C.π
3.(3分)据统计2014年我国高新技术产品出口总额40570亿元,将数据40570亿用科学记数法表示为()
A.4.0570×109B.0.40570×1010C.40.570×1011D.4.0570×1012
6.(3分)小王参加某企业招聘测试,他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分,若依次按照2:
3:
5的比例确定成绩,则小王的成绩是()
A.255分B.84分C.84.5分D.86分
7.(3分)如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若
BF=6,AB=5,则AE的长为()
8.(3分)如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3,…组成一条平滑的虚线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒个单位长度,则第2015秒时,点P的坐标是()
A.(2014,0)B.(2015,﹣1)C.(2015,1)D.(2016,0)
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)9.(3分)计算:
(﹣3)0+3﹣1=.
10.(3分)如图,△ABC中,点D、E分别在边AB、BC上,DE∥AC.若BD=4,DA=2,
12.(3分)已知点A(4,y1),B(,y2),C(﹣2,y3)都在二次函数y=(x﹣2)2﹣1的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是.
13.(3分)现有四张分别标有1,2,2,3的卡片,它们除数字外完全相同,把卡片背面向上洗匀,从中随机抽取一张后放回,再背面朝上洗匀,从中随机抽出一张,则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是.
14.(3分)如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交于点
E,以点O为圆心,OC的长为半径作交OB于点D.若OA=2,则阴影部分的面积
15.(3分)如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,把△EBF沿EF折叠,点B落在B′处.若△CDB′恰为等腰三角形,则DB′的长为.
三、解答题(共8小题,满分75分)
16.(8分)先化简,再求值:
÷(﹣),其中a=+1,b=﹣1.
17.(9分)如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD、PO.
(1)求证:
△CDP≌△POB;
①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为;
②连接OD,当∠PBA的度数为时,四边形BPDO是菱形.
18.(9分)为了了解市民“获取新闻的最主要途径”某市记者开展了一次抽样调查,根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.
根据以上信息解答下列问题:
(1)这次接受调查的市民总人数是;
(2)扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是;
(3)请补全条形统计图;
(4)若该市约有80万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.
19.(9分)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=|m|.
(1)求证:
对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
20.(9分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上
D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°,若坡角∠FAE=30°,求大树的高度(结果保留整数,参考数据:
21.(10分)某旅游馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费.
②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.暑假普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑假使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A、B、C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.
试判断:
当0°≤α<360°时,的大小有无变化?
请仅就图2的情形给出证明.
(3)问题解决
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.
23.(11分)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F,
(点1D)、请E直的接坐写标出分抛别物为线(的0,解6析),式(;﹣4,0),连接PD、PE、DE.
(2)小明探究点P的位置发现:
当P与点A会点C重合时,PD与PF的差为定值,进而猜想:
对于任意一点P,PD与PF的差为定值,请你判断该猜想是否正确,并说明理由;
(3)小明进一步探究得出结论:
若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标.
2015年河南省中考数学试卷
考点:
平行四边形的性质;等腰三角形的判定与性质;勾股定理;作图—基本作图.
专题:
计算题.
分析:
由基本作图得到AB=AF,加上AO平分∠BAD,则根据等腰三角形的性质得到
AO⊥BF,BO=FO=BF=3,再根据平行四边形的性质得AF∥BE,所以∠1=∠3,于
解答:
解:
连结EF,AE与BF交于点O,如图,∵到AABO=A=OF,E,A最O后平利分用∠B勾A股D,定理计算出AO∴AO⊥BF,BO=FO=BF=3,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AF∥BE,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴AB=EB,而BO⊥AE,∴AO=OE,在Rt△AOB中,AO===4,
∴AE=2AO=8.
8.(3分)如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3,…组成一条平滑的虚线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒个单位长度,则第2015秒时,点P的坐标是(B)
A.(2014,0)B.(2015,﹣1)C.(2015,1)D.(2016,0)
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
9.(3分)计算:
(﹣3)0+3﹣1=.
10.(3分)如图,△ABC中,点D、E分别在边AB、BC上,DE∥AC.若BD=4,DA=2,
BE=3,则EC=
12.(3分)已知点A(4,y1),B(,y2),C(﹣2,y3)都在二次函数y=(x﹣2)2﹣1的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是y3>y1>y2.
13.(3分)现有四张分别标有1,2,2,3的卡片,它们除数字外完全相同,把卡片背面向上洗匀,从中随机抽取一张后放回,再背面朝上洗匀,从中随机抽出一张,则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是.
解答:
解:
列表得:
1
2
2
3
1
11
12
12
13
2
21
22
22
23
2
21
22
22
23
3
31
32
32
33
14.(3分)如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交于点
E,以点O为圆心,OC的长为半径作交OB于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为
形,求出扇形AOE的面积,最后用扇形ABO的面积减去扇形CDO的面积,再减去解答:
S解空:
白连AE接C即O可E、求A出E阴,影部分的面积.
∵点C为OC的中点,∴∠CEO=30°,∠EOC=60°,∴△AEO为等边三角形,∴S扇形AOE==π,
﹣(π﹣×1×)
=π﹣π+
15.(3分)如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,把△EBF沿EF折叠,点B落在B′处.若△CDB′恰为等腰三角形,则DB′的长为16或4.
考点:
翻折变换(折叠问题).菁优网版权所有
专题:
分类讨论.
分析:
根据翻折的性质,可得B′E的长,根据勾股定理,可得CE的长,根据等腰三角形的判定,可得答案.
解答:
解:
(i)当B′D=B′C时,
过B′点作GH∥AD,则∠B′GE=90°,当B′C=B′D时,AG=DH=DC=8,
由AE=3,AB=16,得BE=13.由翻折的性质,得B′E=BE=13.
∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5,
∴B′G=
∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4,
∴DB′===4
ii)当DB′=CD时,则DB′=16(易知点F在BC上且不与点C、B重合).iii)当CB′=CD时,
∵EB=EB′,CB=CB′,
∴点E、C在BB′的垂直平分线上,
∴由E折C叠垂可直知平点分FB与B′,点C重合,不符合题意,舍去.综上所述,DB′的长为16或4.
故答案为:
16或4.
点评:
本题考查了翻折变换,利用了翻折的性质,勾股定理,等腰三角形的判定.
三、解答题(共8小题,满分75分)
16.(8分)先化简,再求值:
÷(﹣),其中a=+1,b=﹣1.
考点:
分式的化简求值.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把a与b的值代入计算即可求出值.
当a=+1,b=﹣1时,原式=2.
点评:
此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
17.(9分)如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD、PO.
1)求证:
△CDP≌△POB;
(2)填空:
①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为4;
考点:
菱形的判定;全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
(1)根据中位线的性质得到DP∥AB,DP=AB,由SAS可证△CDP≌△POB;
(2)①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积,依此即可求解;②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形,可得四边形BPDO是平行四边形,再根据邻边相等的平行四边形是菱形,以及等边三角形的判定和性质即可求解.
解答:
(1)证明:
∵PC=PB,D是AC的中点,∴DP∥AB,
∴DP=AB,∠CPD=∠PBO,
∵BO=AB,
∴在D△PC=DBPO与,△POB中,
∴(△2C)D解P≌:
△P①OB当(四S边AS形);AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积,
(4÷2)×(4÷2)
=2×2
=4;
②如图:
∵DP∥AB,DP=BO,
∴四边形BPDO是平行四边形,
∵四边形BPDO是菱形,
∴PB=BO,
∵PO=BO,
∴PB=BO=PO,
∴△PBO是等边三角形,
∴故∠答PB案A为的:
度4;数6为0°.60°.
点评:
考查了菱形的判定,全等三角形的判定与性质,中位线的性质,解题的关键是SAS
18.(9分)为了了解市民“获取新闻的最主要途径”某市记者开展了一次抽样调查,根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.
根据以上信息解答下列问题:
(1)这次接受调查的市民总人数是1000;
(2)扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是54°;
(3)请补全条形统计图;
(4)若该市约有80万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.
考点:
条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.菁优网版权所有
分析:
(1)根据“电脑上网”的人数和所占的百分比求出总人数;
(2)用“电视”所占的百分比乘以360°,即可得出答案;
(3)用总人数乘以“报纸”所占百分比,求出“报纸”的人数,从而补全统计图;
(4)用全市的总人数乘以“电脑和手机上网”所占的百分比,即可得出答案.
解答:
解:
(1)这次接受调查的市民总人数是:
260÷26%=1000;
2)扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数为:
1﹣40%﹣26%﹣9%﹣10%)×360°=54°;
(3)“报纸”的人数为:
1000×10%=100.
补全图形如图所示:
(4)估计将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数为:
80×(26%+40%)=80×66%=52.8(万人).
点评:
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.也考查了用样本估计总体.
19.(9分)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=|m|.
(1)求证:
对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
考点:
根的判别式;一元二次方程的解;根与系数的关系.
分析:
(1)要证明方程有两个不相等的实数根,即证明△>0即可;
求出m的值,进而得出方程的解.
2)将x=1代入方程(x﹣3)(x﹣2)=|m|,
解答:
1)证明:
∵(x﹣3)(x﹣2)=|m|,
∴x2﹣5x+6﹣|m|=0,
∴△>0,
∴方程总有两个不相等的实数根;
2)解:
∵方程的一个根是1,
=:
2,m=±2,
∴原方程为:
x2﹣5x+4=0,
解得:
x1=1,x2=4.
即m的值为±2,方程的另一个根是4.
点评:
此题考查了根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.同时考查了一元二次方程的解的定义.
20.(9分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上
D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°,若坡角∠FAE=30°,求大树的高度(结果保留整数,参考数据:
1.11,≈1.73)
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题.菁优网版权所有
分析:
根据矩形性质得出DG=CH,CG=DH,再利用锐角三角函数的性质求出问题即可.解答:
解答:
解则:
四如边形图,DH过C点GD为作矩形DG.⊥BC于GDH⊥CE于H,
故DG=CH,CG=DH,在直角三角形AHD中,
∵∠DAH=30°,AD=6,∴DH=3,AH=3,
∴设CBGC=3为,x,
在直角三角形ABC中,AC==,
∴DG=3+,BG=x﹣3,
在直角三角形BDG中,∵BG=DG•tan30°,∴x﹣3=(3+)
解得:
x≈13,
点评:
本题考查了仰角、坡角的定义,解直角三角形的应用,能借助仰角构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键.
21.(10分)某旅游馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费.
②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.
暑假普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑假使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A、B、C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.
考点:
一次函数的应用.菁优网版权所有
分析:
(1)根据银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元,以及旅游馆普通票价20元/张,设游泳x次时,分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可;
(2)利用函数交点坐标求法分别得出即可;
(3)利用
(2)的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案.
解答:
解:
(1)由题意可得:
银卡消费:
y=10x+150,普通消费:
y=20x;
(2)由题意可得:
当10x+150=20x,
解得:
x=15,则y=300,
故B(15,300),
当y=10x+150,x=0时,y=150,故A(0,150),
当y=10x+150=600,解得:
x=45,则y=600,故C(45,600);
(3)如图所示:
由A,B,C的坐标可得:
当0 当x=15时,银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算; 当15 当x=45时,金卡、银卡的总费用相同,均比普通片合算; 当x>45时,金卡消费更划算. 点评: 此题主要考查了一次函数的应用,根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键. 22.(10分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE,将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α. ①当α=0°时,=;②当α=180°时,=. (2)拓展探究试判断: 当0°≤α<360°时,的大小有无变化? 请仅就图2的情形给出证明. (3)问题解决 当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长. 考点: 几何变换综合题.菁优网版权所有 分析: (1)①当α=0°时,在Rt△ABC中,由勾股定理,求出AC的值是多少;然后根据 点D、E分别是边BC、AC的中点,分别求出AE、BD的大小,即可求出的值是 多少. ②α=180°时,可得AB∥DE,然后根据,求出的值是多少即可. (2)首先判断出∠ECA=∠DCB,再根据,判断出△ECA∽△DCB,即 可求出的值是多少,进而判断出的大小没有变化即可. (3)根据题意,分两种情况: ①点A,D,E所在的直线和BC平行时;②点A,D, E所在的直线和BC相交时;然后分类讨论,求出线段BD的长各是多少即可. 解答: 解: (1)①当α=0°时, ∵Rt△ABC中,∠B=90°, ∴AC=, ∵点D、E分别是边BC、AC的中点,∴ ∴ 可得AB∥DE, ABDE ∵, ∴=. 故答案为: . 2)如图2, 当0°≤α<360°时,的大小没有变化, ∵∠ECD=∠ACB, ∴∠ECA=∠DCB,又∵, △ECA∽△DCB, △ECA∽△DCB, . ∵AC=4,CD=4,CD⊥AD, ∴AD==, ∵AD=BC,AB=DC,∠B=90°, ∴四边形ABCD是矩形,∴. ②如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC 于点P, ∵AC=4,CD=4,CD⊥AD, ∴AD==, 在△ABC和△CDA中, ∴BP=DQ,BP∥DQ,PQ⊥DQ, ∴四边形BDQP为矩形, ∴BD=PQ=AC﹣AP﹣CQ 综上所述,BD的长为4或. 点评: (1)此题主要考查了几何变换综合题,考查了分析推理能力,考查了分类讨论思想的应用,考查了数形结合思想的应用,要熟练掌握. (2)此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握.(3)此题还考查了线段长度的求法,以及矩形的判定和性质的应用,要熟练掌握. 23.(11分)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F,点(1D)、请E直的接坐写标出分抛别物为线(的0,解6析),式(;﹣4,0),连接PD、PE、DE. (2)小明探究点P的位置发现: 当P与点A会点C重合时,PD与PF的差为定值,进而猜想: 对于任意一点P,PD与PF的差为定值,请你判断该猜想是否正确,并说明理由;(3)小明进一步探究得出结论: 若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标. 考点: 二次函数综合题.菁优网版权所有 分析: (1)利用待定系数法求出抛物线解析式即可; (2)首先表示出P,F点坐标,再利用两点之间距离公式得出PD,PF的长,进而求出即可; (3)根据题意当P、E、F三点共线时,PE+PF最小,进而得出P点坐标以及利用△PDE的面积可以等于4到13所有整数,在面积为12时,a的值有两个,进而得出答案.解答: 解: (1)∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经 则 解得: 2)正确, 理由: 设P(a,﹣a2+8),则F(a,8), ∴PD﹣PF=2; 3)在点P运动时,DE大小不变,则PE与PD的和最小时,△PDE的周长最小, E、EF的三横 ∵PD﹣PF=2,∴PD=PF+2,∴PE+PD=PE+PF+2,∴此当时P点、PE,、EF的三横点坐共标线都时为,﹣PE4+,PF最小,将x=﹣4代入y=﹣x2+8,得y=6, ∴P(﹣4,6),此时△PDE的周长最小,且△PDE的面积为12,点P恰为“好点,∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为: (﹣4,6),由 (2)得: P(a,﹣a2+8), ∵点D、E的坐标分别为(0,6),(﹣4,0), ∴设直线DE的解析式为: y=kx+b,则, 解得: ∴lDE: y=x+6, 则PE=﹣a2+8﹣a﹣6, ∴S△PDE=×4×(﹣a2+8﹣a﹣6)△PDE =﹣a2﹣3a+4 =﹣(a+6)2+13, ∵﹣8≤a≤0, ∴4≤S△PDE≤13, 点共11个, 点评: 此
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