非弹性碰撞过程及电子阻止本领.docx
- 文档编号:29950689
- 上传时间:2023-08-03
- 格式:DOCX
- 页数:61
- 大小:617.32KB
非弹性碰撞过程及电子阻止本领.docx
《非弹性碰撞过程及电子阻止本领.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《非弹性碰撞过程及电子阻止本领.docx(61页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
非弹性碰撞过程及电子阻止本领
精品资料推
第四章非弹性碰撞过程及电子阻止本领
在前面几章我们采用经典的二体碰撞动力学研究了载能粒子在固体中的碰撞过程及核阻止本领的计算,计算过程相对地较为简单。
但对于电子阻止本领的计算,由于涉及到入射粒子同靶原子核外电子的多体相互作用过程,计算过程要复杂的多。
自本世纪三十年代量子力学诞生以来,入射粒子在固体中的电子阻止本领一直是一个较活跃的研究领域。
特别是近30年以来,随着实验测试手段的不断提高,人们可以较精确地测量电子阻止本领的值,这又进一步地促进了人们对电子阻止本领的理论研究。
一般地,研究电子阻止本领的主要理论方法有:
量子力学扰动理论、线性介电响应理论、量子散射理论、半唯象理论及经验理论(公式)。
本章将分别对上述理论给以简单介绍。
4.1高速离子的电子阻止本领量子力学扰动理论描述
(一)非弹性散射截面
考虑由一个入射粒子和一个靶原子组成的系统。
在t0时刻,入射粒子同靶原子之间不发生相互作用,系统处于未扰动状态。
这时系统的哈密顿量为H?
0H?
pH?
a,其中H?
p和H?
a分别为入射粒子的哈密顿量和孤立靶原子的哈密顿量。
与H?
0相对应的系统的本征函数为un,本征值为En。
当在t0时,入射粒子与靶原子开始相互作用,设系统的波函数为(t),满足如下薛定谔方程
it(t)(H?
0V?
)(t)(4.1-1)
其中V?
是它们之间的相互作用势。
将(t)按H?
0的本征函数un展开:
(t)an(t)unexp[iEn(tt0)/](4.1-2)
n0
精品资料推
其中an(t)为展开系数。
将(4.1-2)式代入方程(4.1-
正交性,可以得到关于展开系数an(t)的方程
dan(t)
dt
Vmnam(t)exp[imn(tt0)]m0
其中mn(EmEn)/为系统从本征态un跃迁到本征态Vnmdu*nV?
um
则为跃迁矩阵元,其中d表示空间体积元。
再根据波函数展开系数an(t)所满足的归一化条件
2
an(t)21
n0
对于高速入射粒子,相互作用势V?
相对H?
0是个小量,
求解方程(4.1-3)。
在方程(4.1-3)右边求和中仅保留
an01,可以得到
dan(t)
dt
i
Vnn0e
nn0(tt0)
一般地相互作用势V?
与时间无关,这样根据上式很容易得到
可以得到系统从初始状态|n0跃迁到|n的几率为
Wnn0
d|an(t)|2
dt
),并利用波函数un的
(4.1-3)
um的频率,
(4.1-4)
(t)的归一性,很容易得到
(4.1-5)
这样可以采用微扰理论来
mn0这一项,并利用
(4.1-6)
an(t)的表示式,由此
(4.1-7)
2sin[
nn0(tt0)]
nn0
精品资料推
当(tt0)时,则跃迁几率趋于与一个稳态的值
nn0
Vnn0
(nn0)
(4.1-8)
式中(nn0)函数要求系统在跃迁前后能量守恒,即EnEn0。
体系的本征波函数|n
un可以写成原子的本征波函数
n(X)和入射粒
子(可以视为自由粒子)的本征波函数eikR/
(2)3/2的乘积
其中k和R分别是入射粒子的波矢和位矢,X{x1,x2,xZ)表示靶原子中
Z2个电子位置矢量的集合。
同样,系统的本征能量En可以写成入射粒子的动能k2(2m1)和靶原子的本征能量n之和。
这样入射粒子同靶原子碰撞前
后的能量守恒方程为
k02
2k2
2m1
2m1
(4.1-10)
由于入射粒子的能量
精品资料推
其中vk/m1是入射粒子散射后的速度。
将上式除以入射粒子的通量
2
J0v0eik0R/
(2)3/2,则最后得到在一阶Born近似下非弹性微分散射截面为
(,)
1dWnn
J0d
2
m1v
(2)24v0
kn|V?
|n0k0
(4.1-12)
其中v0k0/m1是入射粒子散射前的速度。
二)Bethe-Bloch公式
在高能情况下,入射粒子同靶原子碰撞时,其能量损失主要用于激
发或电离靶原子核外的电子。
当一个原子从初始状态|n0跃迁到终态|n时,其能量变化为nnn0。
那么入射粒子在固体中穿过单位长度内,由于
非弹性碰撞而损失的能量(即电子阻止本领)为
下面的问题是如何计算出现在微分散射截面(,)中的跃迁矩阵元kn|V?
|n0k0。
首先我们确定相互作用势V?
的形式。
在高速情况下,可以
近似地认为入射粒子是一个裸离子,它与靶原子的相互作用可以用裸库仑
势来表示。
如果把坐标原点固定在靶原子核上,则相互作用势为
V?
(R,X)Z1ZR2e
Z2Z1e2
i1Rri
(4.1-14)
上式右边第一项为入射粒子同靶原子核的相互作用,而第二项是与核外电
精品资料推
子的相互作用。
引入波矢q
k0k及利用(4.1-4)式和(4.1-9)式,则矩阵元
kn|V?
|n0k0可以表示成
kn|V?
|n0k0
drZ2dR
(X)n0(X)eiqR
Z1Z2e2
R
Z1e
(4-15)
根据波函数n(X)的正交性,容易看出上式第一项的积分结果为零。
对上式
将其代入(4.1-15)式,则电子阻止本领可以表示成
q2k2k022kk0cos
(4.1-18)
k0
图4.1波矢qk0k的示意图
对于固定的k值,有qdqkk0sind和d
2sind
22qdq/(m12vv0)。
精品资料推
这样方程(4.1-17)可以写成
qmaxk0k和qmink0k。
假设入射粒子在同靶原子碰撞前后其动量变化较
小,即qk0,并利用能量守恒公式(4.1-10),则积分下限为
将qmaxk0k代入(4.1-10)式,并考虑到qmaxk0的限制,可以得到
(4.1-21)
其中
下面进一步地考察当入射粒子的动量变化最大时(qqmax),靶原子的能量变化n是多少。
利用多电子体系的波函数的Hartree表述
|n1(r1)2(r2)Z2(rZ2),方程(4.1-19)中的矩阵元可以写成
Z2
iqrj
n|e|n0
j1
Z2
*(0)*(0)iqrj*(0)
dr11(r1)1(r1)drjj(rj)j(rj)ejdrZ2(rZ2)Z2(rZ2)
j1
(4.1-22)
根据波函数的正交性可知,要想使上式的积分结果不为零,必须要求Z2个电子中只能有一个电子的终态与初态不相同。
现假设这个电子为第j个电子,则(4.1-22)式右边求和中只剩下一项,即
精品资料推
Z2
n|eiqrj|n0drj*j(rj)j(0)(rj)eiqrj(4.1-23)
j1
这个积分值取决于eiqrj在积分区域(原子体积)内的振荡行为。
设原子的线度为a,如果q1/a,则eiqrj在原子尺度内振荡较为剧烈。
在在种情况下,除非该电子的终态j(rj)能把这种振荡抵消掉,否则积分结果分零。
也就是
说,为了使积分不为零,要求电子的终态波函数为
1iqrjj(rj)
(2)3/2e
是一个自由电子的波函数。
由此可见,在q1/a的情况下,入射粒子传给靶原子的动量q全部交给了一个电子,并使这个电子成为一个自由电子,其它电子的状态没有变化。
实际上,这种过程对应于入射粒子电子的弹性碰撞过程。
由第三章的讨论可知,一个电子同一个入射粒子进行弹性碰撞时,电子得到的能量为
4mem14me
(nn0)max2E0E0(4.1-25)
(mem1)m1
将其代入(4.1-21)式,最后可以得到积分上限的值为
qmaxk0[114me/m1]2mev0/(4.1-26)
下面我们完成方程(4.1-19)右边的积分。
为了讨论方便,我们用g表示方程(4.1-19)右边的积分部分
qmin
nn0
qmaxdq(
3(nn0
q0
精品资料推
Z2
iqrj2
)|n|ej|n0|2
j1
(4.1-27)
我们可以将上面积分中的积分区域划分成两部分,即
[qmin,1/a]和
[1/a,qmax]。
由前面的讨论可知,在q1/a的区域,这时原子中
Z2个电子中
只有一个电子的状态发生了变化,该电子得到的能量为
2q22me。
因此有
gq1/a
2qmaxdq
2me1/aqn
|
n0
n|
Z2
iqri
eiqri|n0
i1
|2
(4.1-28)
由于当
q1/a时,仅当
ri
gq1/a
1/a的
情况,有
iqri
ei1
iqri
qmaxdq2me1/aq
n0
Z2
|
i,j1
iq(rirj)
eij|n0
rj时,上式的积分才不为零,
所以有
Z22
2me
|qri|
。
这样可以得到
gq1/a
1/adq(nn0qminq3n
v0
qmax
1/a
1,
1ln
3nn0ann0
引入偶极振子强度
12mefe(
nn02n
Z23
dqZ222mev0a
ln
q2me
(4.1-29
因此可以将eiqri进行泰勒展开
n0)|n|
Z2
iqri|n0|
1
n0)|
n|
Z2
ri|n0|2
i1
(4.1-30
,即
n0)|
Z2
n|ri
i1
|n0
|2
(4.1-31
及靶原子中电子的平均激发能I
精品资料推
(4.1-32)
lnIfnn0ln(nn0)
nn0
则(4.1-30)式可以写成为
gq1/a
Z22
ln
2me
2
v02
aI
(4.1-33)
其中利用了偶极振子强度的求和规则fnn01。
把gq1/a和gq1/a结合起来
nn0
并代入方程(4.1-27),
最后得到高速带电粒子在固体中的电子阻止本领为
(4.1-34)
dE4Z122e4NZ2ln2mev02
dxemv02I
这就是著名的Bethe-Bloch。
方程(4.1-34)是在一阶Born近似下得到的,因此电子阻止本领正比于入射粒子电荷数Z1的平方。
也就是说,无论对于正离子还是负离子,用
Bethe-Bloch给出的电子阻止本领都相同。
然而在50年代,Barkas观察到具有相同入射速度的粒子在固体中的穿行深度稍大于粒子的穿行深度,即意味着的能量损失小,而的能量损失大,这就是所谓的“Barkas效应”。
最近,Aderson等人测量了质子和反质子的能量损失,发现在同等入射速度情况下反质子的能量损失约比质子的能量损失低3%~19%。
可以证明:
在二阶Born近似下,电子阻止本领的二阶修正量将正比于Z13,由此可以解释Barkas效应。
Sigmund等人曾也对此进行了较详细的研究。
在Bethe-Bloch公式(4.1-34)中,平均激发能I是一个关键的物理量。
从理论上严格地计算平均激发能I要涉及到靶原子的本征波函数n(X)和本征能量n。
对于一个多电子系统的原子,计算其本征波函数和本征能量
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精品资料推
荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
是相当复杂的,需要采用Hartree-Fock-Slater(HFS)方法。
只有对氢原子
才能进行解析求解。
计算结果表明,对于氢原子琴平均电离能为15eV。
图4.1显示了平均激发能I实验测试值和理论计算值。
图4.2平均激发能I随靶原子序数Z2的变化
4.2电子阻止本领的线性介电响应理论描述在上一节我们采用量子力学的扰动理论研究了带电粒子在固体中的电子阻止本领,并在一阶Born近似下推导出了Bethe-Bloch公式。
Bethe-Bloch公式仅适用于高速入射粒子的情况,一般要求入射粒子的速度v0要大于电子在原子中运动的Bohr速度
28
vBe2.1810cm/s。
然而在通常的等离子体或离子束材料表面改性技术中,入射到固体表面上的重离子的能量一般小于200keV,对应的速度远小于Bohr速度。
在本世纪50年代Lindhard等人将固体中的电子成份看成是一均匀的自由电子气,采用线性介电响应理论的方法对带电粒子在固体中的电子阻止本领进行了较为系统的描述。
原则上讲,该理论不受入射粒子速度的限制,可以在较大的速度范围内适用。
后来人们又分别考
10
精品资料推
虑了电子气中电子之间的关联-交换相互作用、靶原子内壳层束缚电子的分布及入射粒子电荷态的变化等因素的影响,对原始的Lindhard理论进行了不断的完善。
目前在描述电子阻止本领的诸多理论中,介电响应理论不仅是一种较为完善的理论,而且能够在较大的入射粒子速度范围内与实验值符合得较好。
本节将对该理论进行较为系统的介绍。
(一)介电响应理论
我们知道固体材料中原子的外壳层价电子可以在离子晶格中自由移动,形成所谓的自由电子气,而离子晶格只能在其平衡位置做微振动,构成一正电荷的本底。
对于一般的金属和半导体材料,电子气的密度较高,约为n01022~1024cm3,是一种简并的量子气
体。
当一带电粒子在固体中穿行时,它将对处在平衡状态的电子气产生扰动,引起其密度涨落n(r,t)。
电子气中的电子受到入射粒子(设为正离子)的吸引而要向其周围聚集。
因为入射粒子是运动的,在其前面聚集的电子要比在其后面聚集的电子少,从而产生一个方向与入射粒子运动方向相反的感应电场Eind(r,t)。
入射粒子前进时必须克服该感应电
场造成的阻力,从而不断地损失其能量。
我们考虑入射离子上有一定的束缚电子分布,其密度为e(r,t)。
设入射离子的原子序数为Z1,质量为m1,以速度v在电子气中穿行,其电荷密度空间分布为
(4.2-1)
ext(r,t)Z1e(rvt)ee(|rvt|)
其中右边第一项为入射粒子的核电荷密度分布。
束缚电子密度分布满足归一化条件
e(R,t)dRNe(Rrvt)
(4.2-2)
Ne是束缚电子数。
如果e(rvt)0,则(4.2-1)式对应于裸离子的电荷密度分布。
入射离子的运动方程为
dv
m1drext(r,t)Eind(r,t)(4.2-3)
dt
11
精品资料推
设入射速度方向沿着x轴方向,利用dvd,则可以得到dtdx
(4.2-4)
dE1drext(r,t)vEind(r,t)
dxev
这就是电子阻止本领,其中Em1v2/2是入射离子的能量。
下面的任务是如何求出感应电场Eind(r,t)。
实际上,电子气中的总电场E(r,t)是由两部分组成的:
一部分是由外电荷分布ext(r,t)产生的外电场Eext(r,t),它可以由泊松方程来确定;另一部分是由扰动电荷密度ind(r,t)enind(r,t)产生的感应电场
Eind(r,t),其中,总电场E(r,t)Eext(r,t)Eind(r,t)遵从泊松方程
(4.2-5)
(r,t)。
这样方程可以
E(r,t)4[ext(r,t)ind(r,t)]
为了讨论方便,引入电势(r,t),它与电场的关系为E(r,t)
写成
(r,t)
4[ext(r,t)ind(r,t)]
(4.2-6)
引入付里叶变换
其中A(r,t)为任意物理量。
这样对方程
(4.2-6)进行付里叶变换,可以得到
(4.2-8)
(4.2-9)
其中e(k)是束缚电子密度e(R)的付里叶变换。
度ext(k,)相对应的外电势为
ext(k,)4
精品资料推
利用泊松方程,很容易与证明外电荷密
ext(k,)k2。
在下节我们将看到,在线
性近似下感应电荷密度
ind(k,)与外电荷密度
ext(k,)有如下关系
ind(k,)
[1
1/(k,
)]ext(k,)
(4.2-10)
其中(k,)是电子气的纵向介电函数,
它仅与电子气的性质有关。
将上式代入(4.2-8)式,
我们可以得到感应电势为
ind(k,)(k,
ext(k,)
(4.2-11)
4ext(k,)
k2
1
1
(k,
对(4.2-4)式的积分进行付里叶变换,并利用
Eind(k,
)ikind(k,
)和(4.2-11)式,可
以得到
dEe2
2
dxe22
dkZ1
e(k)
kv
ikk2vv
1(k,kv)
(4.2-12)
设速度v的方向沿着z轴,并令
kv
kvcos
则上式可以写成
dE
dxe
e2dk
v20k
e2dk
v20k
Z1
Z1
2kve(k)2kvd
(i
1
)(k,)1
(4.2-13)
2kve(k)2kvd
Im[-1(k,)]
这就是在线性介电响应理论机制下电子阻止本领的一般形式。
可见它依赖于入射离子的速
度v、入射离子上的束缚电荷分布
e(k)以及电子气的介电函数(k,)。
二)介电函数
在没有具体讨论固体中电子气的介电性质之前,首先让我们引入描述电子气平衡状态
的几个物理量。
由量子统计物理可以知道,固体中电子气是一个
Fermi系统,电子的自
13
精品资料推
旋量子数为1/2。
在平衡状态下,电子的动量分布服从Fermi-Dirac分布
f0(p)
1pkF
0pkF
(4.2-14)
其中kF是Fermi波数,可以由归一化条件
2dpf0(p)
(2)3n0给出
1/3
3
4aBn0
4.2-17)
2
其中aB20.529108cm是Bohr半径。
后面我们将看到
e2me
rs是描述电子气性质的
一个重要的参量。
这样借助于无量纲的参数
rs,Fermi波数、Fermi速度及Fermi能量又
分别可以表示为
面我们确定电子气的介电函数
(k,)。
当入射离子在电子气中穿行时,电子气的
平衡状态要受到扰动,这时电子的动量分布将偏离其平衡分布f0(p)。
如果仅考虑电子之
间的库仑相互作用,不考虑它们之间的关联-交换相互作用,这样电子在相空间(r,p)的分布函数f(r,p,t)满足量子伏拉索夫(Vlasov)方程
f(r,p,t)pf(r,p,t)t
me
iei
ie(ri2p,t)
(r
精品资料推
i
i2p,t)f(r,p,t)
(4.2-19)
其中电势(r,t)满足泊松方程
2(r,t)
4ext(r,t)
ind(r,t)
(4.2-20)
感应电荷密度
ind(r,t)
en0
2(2dp)3
f(r,p,t)
(4.2-21)
可以看出,在经典极限下
0,方程(4.2-19)趋于经典的伏拉索夫方程
f(r,p,t)p
tme
f(r,p,t)
r
e(r,t)f(r,p,t)
p
(4.2-22)
方程(4.2-19)和(4.2-20)是一个非线性的方程组,
在一般情况下很难求解。
如果外界
带来的扰动不是太大,可以将上述方程组线性化。
令
f(r,p,t)f0(p)f1(r,p,t)
(4.2-21)
其中f1(r,p,t)为电子扰动分布函数,是个小量,满足
|f0(p)||f1(r,p,t)|。
将(4.2-21)
式代入方程(4.2-19)
和(4.2-20)并线性化,可以得到
f1(r,p,t)
pf1(r,p,t)
me
ie
(r
i2p,t)
(ri2p,t)
f0(r,p,t)
(4.2-22)
2(r,t)
ext(r,t)
2edp3f1(r,p,t)
(2)31
(4.2-23)
对方程(4.2-22)
和(4.2-23)进行付里叶变换,并利用平移公式
ea/xF(x)F(xa),可
15
精品资料推
以得到
(i0ipk/me)f1(k,p,)
(4.2-24)ie
(k,)[f0(pk/2)f0(pk/2]
k2(k,)4ext(k,)2e(2dp)3f1(k,p,)(4.2-25)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 弹性 碰撞 过程 电子 阻止 本领
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)