概率论与数理统计在日常生活中的应用毕业论文.docx
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概率论与数理统计在日常生活中的应用毕业论文
概率论与数理统计在日常生活中的应用毕业论文
作者:
日期:
概率论与数理统计
在日常经济生活中的应用
摘要:
数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。
槪率论与数理统讣作为数学的一个重要组成部分,在生活中的应用也越来越广泛,近些年来,概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学,心理学,遗传学等学科中,期外在我们的日常生活之中,赌博,彩票,天气,体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。
本文着眼于概率论与数理统汁在我们生活中的应用,通过前半部分对槪率论与数理统计的一些基本知识的介绍,包括概率的基本性质,随机变量的数字特征及其分布,贝叶斯公式,中心极限泄理等,结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用,可以说,概率论与数理统汁是如今数学中最活跃,应用最广泛的学科之一。
关键词:
槪率论数理统讣经济生活随机变量贝叶斯公式
ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics
Inourdailyeconomiclife
Abstract:
Asaninstrumentaldiscipline,Mathematicsplaysaveryimportantroleinourdailylifeandscientificresearch・Probabilitytheoryandmathematicalstatisticsasanimportantpartofmathematicsinlifehasbecomeincreasinglywidespreadinrecentyears,probabilitytheoryandmathematicalstatisticsknowledgeisincreasinglypenetrateintoeconomics,psychology,geneticsandotherdisciplines,inadditiontooureverydaylives,arerelatedtotheprobabilityofgambling,lottery,weather,sportsandotherschoolhasaverycloserelationship・Thisarticlefocusesonthetheoryofprobabilityandmathematicalstatisticsapplicationinourlives,throughtheintroductionofthefirsthalfofsomebasicknowledgeofprobabilitytheoryandmathematicalstatistics,numericalcharacteristics,includingthefundamentalnatureofprobability,randomvariablesandtheirdistributions,Bayesianformula,thecentrallimittheorem,combinedwiththesecondhalfofthecasesdiscussedthetheoryofprobabilityandmathematicalstatisticsinguidingroleinourlives,wecansay,probabilitytheoryandmathematicalstatisticsisnowoneofthemostactive,themostwidelyuseddiscipline・
Keywords:
ProbabilityMathematicalStatisticsEconomicLifeRandomVariablesBayesianLaw
摘要I
AbstractII
第一章基本知识2
1.1概率的基本性质2
1.2随机变量的数字特征2
1.3点估计4
1.4贝叶斯公式5
1.5中心极限定理6
1.6随机变量及其分布7
第二章在日常生活中的应用9
2.1在中奖问题中的应用9
2.2在经济管理决策中的应用9
2.3在经济损失估计中的应用10
2.4在求解经济最大利润中的应用11
2.5在保险问题中的应用11
2.6在疾病诊断中应用12
第三章结束语13
致谢14
参考文献15
第一章基本知识
§1.1概率的重要性质
1.1.1定义
设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件的概率。
概率P(A)满足下列条件:
(1)非负性:
对于每一个事件A0WP(A)«l
(2)规范性:
对于必然事件SP(S)=1
(3)可列可加性:
设人,生,…是两两互不相容的事件,有P([j£)=±P(比)(”可以取oo)
1.1.2概率的一些重要性质
(i)P(0)=O
(ii)若是两两互不相容的事件,则有P([)AQ=fp(£)("可以取oo)
ji-ii-i
(iii)设A,B是两个事件若AuB,则P(B-A)=A),P(B)>P(A)
(iv)对于任意事件A,P(A)<1
(v)P(A)=1-P(A)(逆事件的槪率)
(vi)对于任意事件A,B有P{A §1.2随机变量的数字特征 1.2.1数学期望 设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk,21,2,…若级数£无几绝对收敛,贝IJ称级 Jt-1 数£林以的和为随机变量X的数学期望,记为E(X),即£(X)=X^/\ 2r 设连续型随机变量X的概率密度为/(x),若积分£#(x)Ja-绝对收敛,则称积分£a/(x)Jx的值为随机变量X的数学期望,记为E(X),即£(X)=匚伙尤皿 立理设Y是随机变量X的函数Y二g(X)(g是连续函数) (1)如果X是离散型随机变量,它的分布律为P{X=xJ=pk,21,2,…若£g(无)几绝对收敛则 女•】 有£(Y)=E(g(X))=fg(无)几 (2)如果X是连续型随机变量,它的分概率密度为/(切,若匸g(x)/(Qdx绝对收敛则有 E(Y)=E(g(X))=匸g(x)/Cr)dx 数学期望的几个重要性质 (1)设C是常数,则有E(C)=C. 1 ⑵设X是随机变量,C是常数,则有E(CX)=CE(X). ⑶设X,Y是两个随机变量,则有E(X+Y)=E(X)+E(Y): ⑷设X,Y是相互独立的随机变量,则有E(XY)=E(X)E(Y) ■ 1.2.2方差 定义设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]2}存在,则称£{[X-E(X)]2}为X的方差,记为 D(X)即D(X)=£{[X-£(X)]2},在应用上还引入量J丽,记为b(x),称为标准差或均方差。 D(X)=E(X-E(X))2=E(X2)-(EX)2 方差的几个重要性质 (1)设C是常数,则有D(C)=0, (2)设X是随机变量,C是常数,则有D(CX)=C2D(X),D(X+C)=D(X). ⑶设X,Y是两个随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))(特别,若X,Y 相互独立,则有D(X+Y)=D(X)+Da)・ 9 ⑷D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数E(X),即P{X=E(X)}=1 切比雪夫不等式: 设随机变量X具有数学期望E(X)=a2,则对于任意正数g,不等式 2 P{|X・成立 §1.3点估计 1.3.1矩估计 用矩法求估计很古老的估计方法,是建立在独立同分布情形下的大数左律(样本均值趋向总体平均),它由K.Pearson在20世纪初提岀,其中心思想就是用样本矩去估计总体矩。 总体X分布函数的未知参数为&=(©,$,•••,0m)T,如果总体的k阶原点矩 £住打=…=1,2,…,加存在,我们设总体的k阶原点矩与它的样本的k阶原 点矩相等 1H 》XQ=1,2,…,加n/=! 1” 即4(片久…0J=E(X”)=—工X,=4火=12…冲 从上而式子可得到关于未知量&的解q=e(x「X2,…,m=i,2,…昇帀,取作为&…,盅)『的估计、就称$为&的矩估计。 关键要掌握两个式子(设总体的均值为“,方差为XPX2,是来自总体X的一个样本): 可得总体X的一阶,二阶原点矩为 =E(X)=//, %=£(X2)=D(X)+[£(X)J2=R+/r, 而样本的一阶,二阶原点矩为 由此可得到 _1ft //=X.cr2+/72=-YX;, 所以;/=X,其中由于上而无偏性有提到方差并不等于样本方差S3而是a2=—52,矩 1«_ 估计为一Ycx.-X)2- ”j台 当矩估计不唯一时,我们可以根据下而的两个基本原则来选择是否用矩估计: a、涉及到矩的阶数尽量小,对总体X的要求也尽量少: 比较常用到的矩估计的阶数一般是一、二阶数;b、用的估计最好是最小充分统汁量的函数,因为在务种统汁问题中充分性原则都应是适合的。 矩估计的两个基本特点是1、由于矩估计是基于经验分布函数,而经验分布函数逼近負•实分布函数的前提条件是样本容量较大,所以理论上,矩估计是以大样本为应用对象的: 2、矩估计没有用到总体分布的任何信息时,本质上是一种非参数方法,对已知的总体分布,它不一定是一个好的估计。 1.3.2极大似然估计 极大似然方法是统计中最重要、应用最广泛的方法之一。 该方法在1821年由徳国数学家Gauss提出的,但并没有得到重视,在1922年R.A.Fisher再次提岀,并探讨研究了它的性质。 它利用总体分布函数的相关信息,克服矩估计的一些不足。 总体X的分布律或概率密度函数为是未知参数,苴中总体的样本是 X\、X2,…,X”,则 厶(&;X)=厶(&;幷,W,…,&)=山/(兀;0) 为&的似然函数。 若统计量0=©(X)=0(X|,禺,X”)满足条件 厶(&(X);X)=sup厶(O;x), a-Xp)O-xp)=伽(Y-X/W_X0) 贝IJ称力(X)为0的极大似然估计。 极大似然法有许多优良的性质: 相合性与渐进有效性、渐进正态性等等。 可以计算一些比较复杂的点估计。 尽管如此,极大似然也有它的局限性,比如说: 极大似然法一泄要知适总体分布形式,并且一般情况下,似然方程组的求解比较复杂,一般需要在汁算机上通过跌代运算方能汁算出英近似解,且并不是通过求导数都获得极大似然估计值的,以及任何统计推断都应该依赖损失函数,但是极大似然方法没有考虑到损失函数。 §1.4贝叶斯公式 设久场…易是一系列互不相容的事件,且有 n ,P(BJ>0j=12・” 则对任一事件A,有 呛叶严虹,日―fP(坊)/>(人|巧) P(BJ叫先验概率,也叫边缘概率,P(B,\A)叫后验概率(心1,2..儿)。 §1.5中心极限定理 1.5.1林德伯格定理 设独立随机变量X|,X2,…,X”…满足林徳伯格条件,对于任意的正数E,有 其中fi(x)是随机变量X,的概率密度,则当”T00时,我们有 1・一二limP(Zn 宀厉J'x 其中Z是任何实数。 1.5.2棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理: 设在独立试验序列中,事件A在各次试验中发生的概率为,随机变量人表示事件A在〃 次试验中发生的次数,则有 其中z是任何实数。 §1.6随机变量及其分布 1.6.1随机变量 设随机试验的样本空间为S={e}.X=X(e)是立义在样本空间S上的实值单值函数,称乂=X(e)为随机变疑 1.6.2离散性随机变量及其分布律 (1)离散随机变量: 有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变疑称为离散型随机变量。 P(X=xJ=pk满足如下两个条件 (1)pk>0, (2)£人二1 k・l 三种重要的离散型随机变量 设离散型随机变量的分布律为P{X=K}=PK(\-Pf-K},其中K二O、1,P为k二1时的槪率(0 (2)伯努利实验、二项分布 设实验E只有两个可能结果: A与A,则称E为伯努利实验.设P(A)=p(0 P(A)=l-p.将E独立重复的进行n次,贝lj称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。 /\X/\ p(X=k)=1pkqnk,k=o」2…n满足条件 (1)1\>0, (2)£人二1注意到“pkqnk丿k-i(kJ 是二项式(p+q)n的展开式中出现pk的那一项,我们称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。 (3)泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…,而取各个值的槪率为 P(X=k)=-一、k=0丄2…,苴中2>0是常数,则称X服从参数为兄的泊松分布记为X〜兀(肋k! 1.6.3随机变量的分布函数 设X是一个随机变量,x是任意实数,函数F(x)=P{X 称为X的分布函数 分布函数F(x)=P(X (1)F(x)是一个不减函数 (2) (2)0 ⑶(3)F(x+0)=F(A即F(x)是右连续的 1.6.4连续性随机变量及其概率密度 连续随机变量: 如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数/(a),使对于任意函数 X有F(x)=「f(t)dt,则称X为连续性随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概J-00 率密度 1概率密度/(X)具有以下性质,满足 (1)/(%)>0,⑵匸7(x)dx=l; (3) (4)若/(x)在点X处连续,则有F(x)=/(X) 2,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布 1. 若连续性随机变量X具有概率密度fW=\^9avxvj则成x在区间(a,b)±服从均匀分布.0,其他 记为X~U(a,b) (2)指数分布 若连续性随机变量X的概率密度为/(x)=|右'X>°其中&>0为常数,则称X服从参数为 [0,其他 &的指数分布。 (3)正态分布 若连续型随机变量X的概率密度为 m)=丄: 畔其中“,b2>o)为常数,则称x服从参数为“,c■的正态分布 或高斯分布,记为X~N(“,CT2)特别,当“=0,b=l时称随机变量X服从标准正态分布 1.6.5随机变量的函数的分布 设随机变量X具有概率密度A(A-),-oo y二g(x)是连续型随机变量,其概率密度为/'心)=[八〔/心)1"(刃La 0,其他 第二章在日常生活中的应用 中国的经济在近些年发展极为迅速,但市场难料,盲目投资也是不理性的。 概率论是根据大量随机现象的统计规律,对随机现象岀现某一结果的可能性的科学判断,对这种现象出现的可能性大小做出数量上的描述。 而经济市场是一个极大的随机系统,北中许多问题都是一种随机现象,因此,完全可以用概率论的思想来对一些经济问题进行指导。 §2.1在中奖问题中的应用 集市上有一个人在设摊“摸彩”,只见他手拿一个黑色的袋子,内装大小•形状•质量完全相同的白球20只,且每一个球上都写有号码(1-20号)和1只红球,规左: 每次只摸一只球。 摸前交1元钱且在1-20内写一个号码,摸到红球奖5元,摸到号码数与你写的号码相同奖10元。 (1)你认为该游戏对“摸彩”者有利吗? 说明你的理由。 (2)若一个“摸彩”者多次摸奖后,他平均每次将获利或损失多少元? 分析: (1)分别求出“摸彩”者获奖5元和获奖10元的概率,即可说明: (2)求出理论上的收益与损失,再比较即可解答. 解答: (1)获奖5元的可能性和获奖10元的可能性同样大, P(摸到红球)二P(摸到同号球)二丄,概率相等,所以获奖5元的可能性和获奖10元的可能性同样 20 大: (2)每次的平均收益为 —(5+10)-1二-0・25<0・故每次平均损失0・25元. 20 §2.2在经济管理决策中的应用 某人有一笔资金,可投入三个项目: 房产x、地产y和商业乙其收益和市场状态有关,若把未来市 场划分为好.中.差三个等级,其发生的概率分别为门=0・2,必=°・7,,根据市场调研的情 况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元),见下表: 各种投资年收益分布表 好 门=0.2 *1- P2=0.7 差 心1 房产 11 3 -3 地产 6 4 -1 商业 10 2 -2 请问: 该投资者如何投资好? 解我们先考察数学期望,可知 E(x)=11X0.2+3X0.7+(-3)x0.! =4.0: E(y)=6x0.2+4x0.7+(_l)x0.1=3.9: E(z)=10x0.2+2x0.7+(-2)x0.1=3.2: 根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风险,我们再来考虑它们的方差: D(x)=(11-4)2x0.2+(3-4)2x0.7+(-3-4)2xO.l=15.4; D(y)=(6-3.9)2x0.2+(4-3.9)2x0.7+(-l-3.9)2x0.1=3.29; D(z)=(10-3.2)2x0.2+(2-3.2)2x0.7+(-2-3.2)2x0.1=12.96 因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上。 §2.3在经济损失估计中的应用 随着经济建设的高速发展火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。 利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小。 下而以参数估计为例来说明它在这一方而的应用。 已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布N(“,er2),今随机抽取8次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。 仓库货物损失金额表 货物损失金额(元) 1000 2000 3000 5000 次数 2 1 4 1 解利用矩估计法或最大似然估il•法可知: “,L的矩估计量分别为: 卩=-工X严X,—乂)2 从而根据表2中的数据可计算岀: //=1(1000x2+2000x1+3000x4+5000x1)=2625 P=£[(1000-2625)' 8 x2+(2000-2625)'+(3000-2625)'x4+(5000-2625)2] =1101562.5;b=1049.55 从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049.55元。 §2.4在求解经济最大利润问题中的应用 如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。 某公司经销某种原料,根据历史资料: 这种原料的市场需求量x(单位: 吨)服从(300,500)上的均匀分布,每售岀1吨该原料,公司可获利1.5千元;若积压1吨,则公司损失0.5千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大? 分析: 此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。 解答: 设公司组织该货源d吨,则显然应该有300 的函数,即y=g(X),由题设条件知: 当时,则此d吨货源全部售出,共获利1.5d:
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