最新人教版八年级数学上册全部教案.docx
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最新人教版八年级数学上册全部教案
第十一章三角形
11.1.1三角形的边
[教学目标]1、了解三角形的意义
认识三角形的边、内角、顶点
能用符号语言表示三角形;2、理解三角形三边不等的关系
会判断三条线段能否构成一个三角形
并能运用它解决有关的问题.
[重点难点]三角形的有关概念和符号表示
三角形三边间的不等关系是重点;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点
[教学过程]
一、情景导入
三角形是一种最常见的几何图形
[投影1-6]如古埃及金字塔
香港中银大厦
交通标志
等等
处处都有三角形的形象
那么什么叫做三角形呢?
二、三角形及有关概念
不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形
注意:
三条线段必须①不在一条直线上
②首尾顺次相接
组成三角形的线段叫做三角形的边
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角
简称角
相邻两边的公共端点是三角形的顶点
三角形ABC用符号表示为△ABC
三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示
顶点B所对的边AC可用b表示
顶点A所对的边BC可用a表示.
三、三角形三边的不等关系
探究:
[投影7]任意画一个△ABC
假设有一只小虫要从B点出发
沿三角形的边爬到C
它有几种路线可以选择?
各条路线的长一样吗?
为什么?
有两条路线:
(1)从B→C
(2)从B→A→C;不一样
AB+AC>BC①;因为两点之间线段最短
同样地有AC+BC>AB②
AB+BC>AC③
由式子①②③我们可以知道什么?
三角形的任意两边之和大于第三边.
四、三角形的分类
我们知道
三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形
我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形
按角分类:
三角形直角三角形
斜三角形锐角三角形
钝角三角形
那么三角形按边如何进行分类呢?
请你按"有几条边相等"将三角形分类
三边都相等的三角形叫做等边三角形;
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形
显然
等边三角形是特殊的等腰三角形
按边分类:
三角形不等边三角形
等腰三角形底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
五、例题
例用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形
(1)如果腰长是底边的2倍
那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗?
为什么?
分析:
(1)等腰三角形三边的长是多少?
若设底边长为x㎝
则腰长是多少?
(2)"边长为4㎝"是什么意思?
解:
(1)设底边长为x㎝
则腰长2x㎝
x+2x+2x=18
解得x=3.6
所以
三边长分别为3.6㎝
7.2㎝
7.2㎝.
(2)如果长为4㎝的边为底边
设腰长为x㎝
则
4+2x=18
解得x=7
如果长为4㎝的边为腰
设底边长为x㎝
则
2×4+x=18
解得x=10
因为4+4<10
出现两边的和小于第三边的情况
所以不能围成腰长是4㎝的等腰三角形
由以上讨论可知
可以围成底边长是4㎝的等腰三角形
五、课堂练习
课本65面练习1、2题
六、课堂小结
1、三角形及有关概念;
2、三角形的分类;
3、三角形三边的不等关系及应用
作业:
课本69面1、2、6;70面7题
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
〔教学目标〕1、经历画图的过程
认识三角形的高、中线与角平分线;毛
2、会画三角形的高、中线与角平分线;3、了解三角形的三条高所在的直线
三条中线
三条角平分线分别交于一点.
〔重点难点〕三角形的高、中线与角平分线是重点;三角形的角平分线与角的平分线的区别
画钝角三角形的高是难点.
〔教学过程〕
一、导入新课
我们已经知道什么是三角形
也学过三角形的高
三角形的主要线段除高外
还有中线和角平分线值得我们研究
二、三角形的高
请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线
垂足为D
所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高
表示为AD⊥BC于点D
注意:
高与垂线不同
高是线段
垂线是直线
请你再画出这个三角形AB、AC边上的高
看看有什么发现?
三角形的三条高相交于一点
如果△ABC是直角三角形、钝角三角形
上面的结论还成立吗?
现在我们来画钝角三角形三边上的高
如图
显然
上面的结论成立
请你画一个直角三角形
再画出它三边上的高
上面的结论还成立
三、三角形的中线
如图
我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D
所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线
表示为BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.
请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线
看看有什么发现?
三角的三条中线相交于一点
如果三角形是直角三角形、钝角三角形
上面的结论还成立吗?
请画图回答
上面的结论还成立
四、三角形的角平分线
如图
画∠A的平分线AD
交∠A所对的边BC于点D
所得线段AD叫做△ABC的角平分线
表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD=∠BAC
思考:
三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗?
三角形的角平分线是线段
而角的平分线是射线
是不一样的
请你在图中再画出另两个角的平分线
看看有什么发现?
三角形三个角的平分线相交于一点
如果三角形是直角三角形、钝角三角形
上面的结论还成立吗?
请画图回答
上面的结论还成立
想一想:
三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同?
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部
而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部
直角三角形三条高的交战在角直角顶点
钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部
五、课堂练习
课本66面练习1、2题
六、课堂小结
1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法
2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律
作业:
课本69面3、4;70面8、9题
11.1.3三角形的稳定性
[教学目标]1、知道三角形具有稳定性
四边形没有稳定性;2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用
[重点难点]三角形稳定性及应用
[教学过程]
一、情景导入
盖房子时
在窗框未安装之前
木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条
为什么要这样做呢?
二、三角形的稳定性
〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架
然后扭动它
它的形状会改变吗?
不会改变
2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架
然后扭动它
它的形状会改变吗?
会改变
3、在四边形的木架上再钉一根木条
将它的一对顶点连接起来
然后扭动它
它的形状会改变吗?
不会改变
从上面的实验中
你能得出什么结论?
三角形具有稳定性
而四边形不具有稳定性
三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用
三角形具有稳定性固然好
四边形不具有稳定性也未必不好
它们在生产和生活中都有广泛的应用
如:
钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性
活动挂架则是利用四边形的不稳定性
你还能举出一些例子吗?
四、课堂练习
3、课本68面练习
作业:
69面5;70面10题
11.2.1三角形的内角
[教学目标]掌握三角形内角和定理
[重点难点]三角形内角和定理是重点;三角形内角和定理的证明是难点
[教学过程]
一、导入新课
我们在小学就知道三角形内角和等于1800
这个结论是通过实验得到的
这个命题是不是真命题还需要证明
怎样证明呢?
二、三角形内角和的证明
回顾我们小学做过的实验
你是怎样操作的?
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处
用量角器量出
∠BCD的度数
可得到∠A+∠B+∠ACB=1800
[投影1]
图1
想一想
还可以怎样拼?
①剪下∠A
按图
(2)拼在一起
可得到∠A+∠B+∠ACB=1800
图2
②把和剪下按图(3)拼在一起
可得到∠A+∠B+∠ACB=1800
如果把上面移动的角在图上进行转移
由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗?
已知△ABC
求证:
∠A+∠B+∠C=1800
证明一
过点C作CM∥AB
则∠A=∠ACM
∠B=∠DCM
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800
∴∠A+∠B+∠ACB=1800
即:
三角形的内角和等于1800
由图2、图3你又能想到什么证明方法?
请说说证明过程
三、例题
例如图
C岛在A岛的北偏东500方向
B岛在A岛的北偏东800方向
C岛在B岛的北偏西400方向
从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?
分析:
怎样能求出∠ACB的度数?
根据三角形内角和定理
只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可
∠CAB等于多少度?
怎样求∠CBA的度数?
解:
∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300
∵AD∥BE∴∠BAD+∠ABE=1800
∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600
∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900
答:
从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是900
四、课堂练习
课本74面1、2题
作业:
76面1、3、4;77面7、9题
11.2.2三角形的外角
[教学目标]1、理解三角形的外角;2、掌握三角形外角的性质
能利用三角形外角的性质解决问题
[重点难点]三角形的外角和三角形外角的性质是重点;理解三角形的外角是难点
[教学过程]
一、导入新课
〔投影1〕如图
△ABC的三个内角是什么?
它们有什么关系?
是∠A、∠B、∠C
它们的和是1800
若延长BC至D
则∠ACD是什么角?
这个角与△ABC的三个内角有什么关系?
二、三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角
也就是
三角形一边与另一边的延长线组成的角
叫做三角形的外角
想一想
三角形的外角共有几个?
共有六个
注意:
每个顶点处有两个外角
它们是对顶角
研究与三角形外角有关的问题时
通常每个顶点处取一个外角.
三、三角形外角的性质
容易知道
三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角
那与另外两个角有怎样的数量关系呢?
〔投影2〕如图
这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线
你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗?
∵CE∥AB
∴∠A=∠1
∠B=∠2
又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗?
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
由加数与和的关系你还能知道什么?
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
即
四、例题
〔投影3〕例如图
∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角
它们的和是多少?
分析:
∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系?
∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系?
解:
∵∠1+∠BAC=1800
∠2+∠ABC=1800
∠3+∠ACB=1800
∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400
又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800
∴∠1+∠2+∠3==3600
你能用语言叙述本例的结论吗?
三角形外角的和等于3600
五、课堂练习
课本75面练习;
六、课堂小结
1、什么是三角形外角?
2、三角形的外角有哪些性质?
作业:
课本76面1、2、5、6;77面8题
11.3.1多边形
[教学目标]1、了解多边形及有关概念
理解正多边形的概念.2、区别凸多边形与凹多边形.
[重点难点]多边形及有关概念、正多边形的概念是重点;区别凸多边形与凹多边形是难点
[教学过程]
一、情景导入
[投影1]看下面的图片
你能从中找出由一些线段围成的图形吗?
二、多边形及有关概念
这些图形有什么特点?
由几条线段组成;它们不在同一条直线上;首尾顺次相接.
这种在平面内
由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形......、n边形
这就是说
一个多边形由几条线段组成
就叫做几边形
三角形是最简单的多边形
与三角形类似地
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角
如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角
[投影2]
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段
叫做多边形的对角线.
四边形有几条对角线?
五边形有几条对角线?
画图看看
你能猜想n边形有多少条对角线吗?
说说你的想法
n边形有1/2n(n-3)条对角线
因为从n边形的一个顶点可以引n-3条对角线
n个顶点共引n(n-3)条对角线
又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的
所以
n边形有1/2n(n-3)条对角线
三、凸多边形和凹多边形
[投影3]如图
下面的两个多边形有什么不同?
在图
(1)中
画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线
整个图形都在这条直线的同一侧
这样的四边形叫做凸四边形
这样的多边形称为凸多边形;而图
(2)就不满足上述凸多边形的特征
因为我们画BD所在直线
整个多边形不都在这条直线的同一侧
我们称它为凹多边形
注意:
今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形.
四、正多边形的概念
我们知道
等边三角形、正方形的各个角都相等
各条边都相等
像这样各个角都相等
各条边都相等的多边形叫做正多边形
[投影4]下面是正多边形的一些例子
五、课堂练习
课本81面练习1
2、有五个人在告别的时候相互各握了一次手
他们共握了多少次手?
你能找到一个几何模型来说明吗?
六、课堂小结
1、多边形及有关概念
2、区别凸多边形和凹多边形
3、正多边形的概念
4、n边形对角线有1/2n(n-3)条
作业:
课本84面1
11.3.2多边形的内角和
[教学目标]1、了解多边形的内角、外角等概念;2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式
并会应用它们进行有关计算.
[重点难点]多边形的内角和与多边形的外角和公式是重点;多边形的内角和定理的推导是难点
[教学过程]
一、复习导入
我们已经证明了三角形的内角和为180°
在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数
知道四边形内角的和为360°
现在你能利用三角形的内角和定理证明吗?
二、多边形的内角和
〔投影1〕如图
从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?
它们将四边形分成几个三角形?
那么四边形的内角和等于多少度?
可以引一条对角线;它将四边形分成两个三角形;因此
四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°
类似地
你能知道五边形、六边形......n边形的内角和是多少度吗?
〔投影2〕观察下面的图形
填空:
五边形六边形
从五边形一个顶点出发可以引对角线
它们将五边形分成三角形
五边形的内角和等于;
从六边形一个顶点出发可以引对角线
它们将六边形分成三角形
六边形的内角和等于;
〔投影3〕从n边形一个顶点出发
可以引对角线
它们将n边形分成三角形
n边形的内角和等于
n边形的内角和等于(n一2)·180°.
从上面的讨论我们知道
求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求
现在以五边形为例
你还有其它的分法吗?
分法一〔投影3〕如图1
在五边形ABCDE内任取一点O
连结OA、OB、OC、OD、OE
则得五个三角形
∴五边形的内角和为5×180°一2×180°=(5-2)×180°=540°
图1图2
分法二〔投影4〕如图2
在边AB上取一点O
连OE、OD、OC
则可以(5-1)个三角形
∴五边形的内角和为(5-1)×180°一180°=(5-2)×180°
如果把五边形换成n边形
用同样的方法可以得到n边形内角和=(n一2)×180°.
三、例题
〔投影6〕例1如果一个四边形的一组对角互补
那么另一组对角有什么关系?
如图
已知四边形ABCD中
∠A+∠C=180°
求∠B与∠D的关系.
分析:
∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系?
解:
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°
又∠A+∠C=180°
∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°
这就是说
如果四边形一组对角互补
那么另一组对角也互补.
〔投影7〕例2如图
在六边形的每个顶点处各取一个外角
这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?
如图
已知∠1
∠2
∠3
∠4
∠5
∠6分别为六边形ABCDEF的外角
求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.
分析:
多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系?
六边形的内角和是多少度?
解:
∵∠1+∠BAF=180°∠2+∠ABC=180°∠3+∠BAD=180°
∠4+∠CDE=180°∠5+∠DEF=180°∠6+∠EFA=180°
∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°
又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°
∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360°
这就是说
六边形形的外角和为360°
如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果:
n边形的外角和等于360°
对此
我们也可以这样来理解
〔投影8〕如图
从多边形的一个顶点A出发
沿多边形各边走过各顶点
再回到A点
然后转向出发时的方向
在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和
由于走了一周
所得的各个角的和等于一个周角
所以多边形的外角和等于360°.
四、课堂练习
课本83-84面1、2、3题
五、课堂小结
n边形的内角和是多少度?
n边形的外角和是多少度?
作业:
84面2、3;85面4、5、6、7
第十二章全等三角形
12.1全等三角形
教学内容
本节课主要介绍全等三角形的概念和性质.
教学目标
1.知识与技能
领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念.
2.过程与方法
经历探索全等三角形性质的过程
能在全等三角形中正确找出对应边、对应角.
3.情感、态度与价值观
培养观察、操作、分析能力
体会全等三角形的应用价值.
重、难点与关键
1.重点:
会确定全等三角形的对应元素.
2.难点:
掌握找对应边、对应角的方法.
3.关键:
找对应边、对应角有下面两种方法:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边
两个对应角所夹的边是对应边;
(2)对应边所对的角是对应角
两条对应边所夹的角是对应角.
教具准备
四张大小一样的纸片、直尺、剪刀.
教学方法
采用"直观──感悟"的教学方法
让学生自己举出形状、大小相同的实例
加深认识.
教学过程
一、动手操作
导入课题
1.先在其中一张纸上画出任意一个多边形
再用剪刀剪下
思考得到的图形有何特点?
2.重新在一张纸板上画出任意一个三角形
再用剪刀剪下
思考得到的图形有何特点?
【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论
得出结论.
【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形.
学生在操作过程中
教师要让学生事先在纸上画出三角形
然后固定重叠的两张纸
注意整个过程要细心.
【互动交流】剪出的多边形和三角形
可以看出:
形状、大小相同
能够完全重合.这样的两个图形叫做全等形
用"≌"表示.
概念:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形
要求学生手拿一个三角形
做如下运动:
平移、翻折、旋转
观察其运动前后的三角形会全等吗?
【学生活动】动手操作
实践感知
得出结论:
两个三角形全等.
【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形
同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边.
【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母
并任意放置
与同桌交流:
(1)何时能完全重在一起?
(2)此时它们的顶点、边、角有何特点?
【交流讨论】通过同桌交流
实验得出下面结论:
1.任意放置时
并不一定完全重合
只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合.
2.这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了.
3.完全重合说明三条边对应相等
三个内角对应相等
对应顶点在相对应的位置.
【教师活动】根据学生交流的情况
给予补充和语言上的规范.
1.概念:
把两个全等的三角形重合到一起
重合的顶点叫做对应顶点
重合的边叫做对应边
重合的角叫做对应角.
2.证两个三角形全等时
通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上
如果本图11.1─2△ABC和△DBC全等
点A和点D
点B和点B
点C和点C是对应顶点
记作△ABC≌△DBC.
【问题提出】课本图11.1─1中
△ABC≌△DEF
对应边有什么关系?
对应角呢?
【学生活动】经过观察得到下面性质:
1.全等三角形对应边相等;
2.全等三角形对应角相等.
二、随堂练习
巩固深化
课本P4练习.
【探研时空】
1.如图1所
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