中考数学压轴专题图形折叠含答案.docx
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中考数学压轴专题图形折叠含答案
2020 中考数学 压轴专题:
图形折叠(含答案)
1.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,将△ABC 沿 AD 翻折,点 B 恰好与点
C 重合,点 E 在 AC 边上,连接 BE.
(1)如图①,若点 F 是 BE 的中点,连接 DF,且 AF=5,AE=6,求 DF 的长;
(2)如图②,若 AF⊥BE 于点 F,并延长 AF 交 BC 于点 G,当点 E 是 AC 的
中点时,连接 EG,求证:
AG+EG=BE;
..
第 1 题图
解:
(1)由折叠的性质得:
AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,
在 Rt△ABE 中,∵点 F 是 BE 的中点,
1
∴AF 是 Rt△ABE 斜边上的中线,∴AF=2BE,
∵AF=5,∴BE=10,
在 Rt△ABE 中,AE=6,BE=10,∴AB=8,
又∵AB=AC,∴AC=8,
1
∴CE=AC-AE=2,∴DF=2CE=1;
(2)证明:
如解图①,过点 C 作 CM⊥AC,交 AG 的延长线于点 M,则∠ACM
=90°,
第 1 题解图①
又∵∠BAC=90°,∴∠BAC=∠ACM,
∵AF 是△ABE 的高,
∴∠AFB=90°,∴∠1+∠BAF=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠2+∠BAF=90°,∴∠1=∠2,
在△ABE 和△CAM 中,
⎧⎪∠BAE=∠ACM
⎨AB=CA,
⎪⎩∠1=∠2
∴△ABE≌△CAM(ASA),
∴AE=CM,BE=AM,
又∵点 E 是 AC 边的中点,
∴CE=AE=CM,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
又∵∠ACM=90°,
∴∠MCG=∠ACB=45°,
在△CEG 和△CMG 中,
⎧⎪CE=CM
⎨∠ECG=∠MCG,
⎪⎩CG=CG
∴△CEG≌△CMG(SAS),∴EG=GM,
又∵BE=AM,
∴AG+EG=AG+GM=AM=BE;
(3)∠DFG=45°.
【解法提示】如解图②,过点 D 作 DN⊥DF,交 AG 的延长线于点 N,则∠NDF
=90°,
第 1 题解图②
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°=∠NDF,∴∠ADB+∠ADF=∠NDF+∠ADF,即∠BDF=
∠ADN,
∵∠ADB=∠AFB=90°,∠5=∠6,
∴∠3=∠4,
在 Rt△ABC 中,BD=DC,
1
∴AD=2BC=BD,
⎧⎪∠BDF=∠ADN
在△BDF 和△ADN 中,⎨BD=AD,
⎪⎩∠3=∠4
∴△BDF≌△ADN(ASA),
∴DF=DN,
又∵∠NDF=90°,
∴∠DFN=∠DNF=45°,即∠DFG=45°.
12
2.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=9,AD=13,tanA= 5 ,P 是射线
′
AD 上一点,连接 PB,沿 PB 将△APB 折叠,得到
PB.
第 2 题图
(1)当∠DPA′=10°时,∠APB=________;
(2)当 PA′⊥BC 时,求线段 PA 的长度;
(3)当点 A′落在平行四边形 ABCD 的边所在的直线上时,求线段 PA 的长度.
解:
(1)85°或 5°或 95°;
【解法提示】当点 P 在线段 AD 上,且∠APB<90°时,点 A′在平行四边形 ABCD
的内部,
∵∠DPA′=10°,∴∠APA′=180°-∠DPA′=170°,
1
∴∠APB=2∠APA′=85°;
如解图①,当点 P 在线段 AD 上,且∠APB>90°时,点 A′在平行四边形 ABCD
的外部,
∵∠DPA′=10°,
∴∠APA′=180°-∠DPA′=170°,
1
∴∠APB=2(360°-∠APA′)=95°;
如解图②,当点 P 在 AD 的延长线上,则∠APB=
1
2∠DPA′=5°;
第 2 题解图
(2)∵四边形 ABCD 是平形四边形,∴AD∥BC,
若 PA′⊥BC,则 PA′⊥AD,
∴∠APB=∠A′PB=45°,
如解图③,作 BH⊥AD 于点 H,
第 2 题解图③
12
∵tanA= 5 ,
∴设 AH=5x,BH=12x,
在 Rt△ABH 中,由勾股定理得 AB= AH2+BH2=13x=
9
9,解得 x=13,
45108
∴AH=13,BH= 13 ,
∵在
BHP 中,∠BPH=45°,
108
∴BH=PH= 13 ,
153
∴AP=AH+PH= 13 ;
(3)①如解图④,当点 A′在 AD 上时,
第 2 题解图④
∵AB=A′B,
∴∠1=∠2,
∴BP⊥AD,且 A′P=AP,
12
∵tanA= 5 ,
545
∴AP=13·AB=13;
②如解图⑤,当点 A′在 BC 上时,
第 2 题解图⑤
由折叠可知,A′B=AB,AP=A′P,∠3=∠4,
又∵AD∥BC,
∴∠5=∠4,
∴∠3=∠5,
∴AB=PA,
∴四边形 ABA′P 为菱形,
∴AP=9;
③如解图⑥,当点 A′在 AB 的延长线上时,∠ABP=
1
2∠ABA′=90°,
13117
∴AP= 5 ×AB= 5 .
第 2 题解图⑥
45117
综上,线段 PA 的长度为13或 9 或 5 .
3.如图,已知一个直角三角形纸片 ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=
3,E、F 分别是 AC、AB 边上的点,连接 EF.
(1)如图①,若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠,折叠后点 A 落在 AB 边上的点
D 处,且使 S
四边形 ECBF=3S
△EDF ,求 AE 的长;
(2)如图②,若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠,折叠后点 A 落在 BC 边上的点
M 处,且使 MF∥CA.
①试判断四边形 AEMF 的形状,并证明你的结论;
②求 EF 的长;
4AF
(3)如图③,若 FE 的延长线与 BC 的延长线交于点 N,CN=1,CE=7,求BF
的值.
第 3 题图
解:
(1)如解图①,
第 3 题解图①
∵折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处,
∴EF⊥
,AEF≌△DEF.
∴S
△AEF=S
△DEF .
∵S
∴S
四边形 ECBF =3S
四边形 ECBF =3S
△EDF,
△AEF.
∵S
△ACB =S
△AEF+S
四边形 ECBF ,
∴S
△ACB =S
△AEF+3
AEF =4S
△AEF .
1
S
△ACB
∵∠EAF=∠BAC,∠AFE=∠ACB=90°,
∴△AEF∽△ABC.
AE
S
△ABC
AE1
∴(AB)2=4.
在 Rt△ACB 中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB2=AC2+BC2.即 AB= 42+32=5.
AE15
∴( 5 )2=4,∴AE=2;
(2)①四边形 AEMF 是菱形.
证明:
∵折叠后点 A 落在 BC 边上的点 M 处,
∴∠CAB=∠EMF,AE=ME,
又∵MF∥CA,
∴∠CEM=∠EMF.
∴∠CAB=∠CEM.
∴EM∥AF.
∴四边形 AEMF 是平形四边形.
又∵AE=ME,
∴四边形 AEMF 是菱形.
②连接 AM、AM 与 EF 交于点 O,如解图②,
第 3 题解图②
设 AE=x,则 AE=ME=x,EC=4-x.
∵∠CEM=∠CAB,∠ECM=∠ACB=90°,
∴Rt△ECM∽
ACB.
ECEM
∴AC= AB ,
∵AB=5,
4-xx20
∴ 4 =5,解得 x= 9 .
2016
∴AE=ME= 9 ,EC= 9 .
在 Rt△ECM 中,
∵∠ECM=90°,
∴CM2=EM2-EC2.
164
( 9 )2-( 9 )2=3.
∵四边形 AEMF 是菱形,
∴OE=OF,OA=OM,AM⊥EF.
∴S
菱形AEMF
=4SAOE=2OE· AO.
在 Rt△AOE 和
ACM 中,
∵tan∠EAO=tan∠CAM,
OECM
∴AO= AC .
4
∵CM=3,AC=4,
∴AO=3OE,
∴S
菱形 AEMF =6OE2.
又∵S
菱形 AEMF =AE· CM,
204
∴6OE2= 9 ×3.
2 10
∴OE= 9 .
4 10
∴EF= 9 .
(3)如解图③,过点 F 作 FH⊥CB 于点 H,
第 3 题解图③
在 Rt△NCE 和 Rt△NHF 中,
∵tan∠ENC=tan∠FNH,
ECFH
∴NC=NH,
4
∵NC=1,EC=7,
FH47
∴NH=7,设 FH=x,则 NH=4x,
7
∴CH=4x-1.
∵BC=3,
77
∴BH=BC-CH=3-(4x-1)=4-4x.
在 Rt△BHF 和
BCA 中,
∵tan∠FBH=tan∠ABC,
HFAC8
∴BH=BC,解得 x=5.
8
∴HF=5.
∵∠B=∠B,∠BHF=∠BCA=90°,
∴△BHF∽△BCA.
HFBF
∴CA=BA,即 HF· BA=CA· BF.
8
∴5×5=4BF.∴BF=2.
∵AF=3.
AF3
∴BF=2.
4.如图,四边形 ABCD 为一个矩形纸片,AB=3,BC=2,动点 P 自 D 点
出发沿 DC 方向运动至 C 点后停止.△ADP 以直线 AP 为轴翻折,点 D 落到点
D1 的位置.设 DP=x,△AD1P 与原纸片重叠部分的面积为 y.
(1)当 x 为何值时,直线 AD1 过点 C?
(2)当 x 为何值时,直线 AD1 过点 BC 的中点 E?
(3)求出 y 与 x 的函数表达式.
第 4 题图
解:
(1)由题意得,△ADP≌△AD1P,
∴AD1=AD=2,PD=PD1=x,∠PD1A=∠PDA=90°,
∵直线 AD1 过点 C,
∴PD1⊥AC,
在 Rt△ABC 中,∵AB=3,BC=2,
∴AC= 22+32= 13,
CD1= 13-2,
1
在 Rt△PCD1 中,PC2=PD21+CD2,
即(3-x)2=x2+( 13-2)2,
2 13-4
3
2 13-4
∴当 x=时,直线 AD1 过点 C;
(2)如解图①,连接 PE,
第 4 题解图①
∵E 为 BC 中点,
∴BE=CE=1,
在 Rt△ABE 中,
AE= AB2+BE2= 10,
又∵AD1=AD=2,PD=PD1=x,
∴D1E= 10-2,PC=3-x,
在 Rt
1E 和
PCE 中,
有 x2+( 10-2)2=(3-x)2+12,
2 10-2
3
2 10-2
∴当 x=时,直线 AD1 过 BC 的中点 E;
(3)如解图②,当 0<x≤2 时,点 D1 在矩形内部,y=x;
图②图③
第 4 题解图
如解图③,当 2<x≤3 时,点 D1 在矩形外部,PD1 与 AB 交于点 F,
∵AB∥CD,∴∠1=∠2,
∵∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴FP=FA,
作 PG⊥AB,垂足为点 G,
设 FP=FA=a,
由题意得,AG=DP=x,FG=x-a,
在 Rt△PFG 中,由勾股定理,得
(x-a)2+22=a2,
4+x2
解得 a= 2x ,
14+x2x2+4
∴y=2×2× 2x = 2x ,
x2+4
综上所述,当 0<x≤2 时,y=x;当 2<x≤3 时,y= 2x .
5.阅读下列材料:
如图①,在
ABC 中,∠C=90°,D 为边 AC 上一点,
DA=DB,E 为 BD 延长线上一点,∠AEB=120°.
(1)猜想 AC、BE、AE 的数量关系,并证明.小明的思路是:
根据等腰△ADB
的轴对称性,将整个图形沿着 AB 边的垂直平分线翻折,得到点 C 的对称点 F,
如图②,过点 A 作 AF⊥BE,交 BE 的延长线于 F,请补充完成此问题;
(2)参考小明思考问题的方法,解答下列问题:
如图③,在等腰△ ABC 中,
AB=AC,D、F 在直线 BC 上,DE=BF,连接 AD,过点 E 作 EG∥AC 交 FH 的
延长线于点 G,∠DFG+∠D=∠BAC.
①探究∠BAD 与∠CHG 的数量关系;
②请在图中找出一条和线段 AD 相等的线段,并证明.
第 5 题图
1
解:
猜想:
AC=BE+2AE.
理由如下:
如题图②,
∵DA=DB,
∴∠DAB=∠DBA,
∵AF⊥BF,
∴∠F=∠C=90°,
在△ABF 和△BAC 中,
⎧⎪∠F=∠C=90°
⎨∠ABF=∠BAC,
⎪⎩AB=BA
∴△ABF≌△BAC(AAS),
∴AC=BF,
∵∠AEB=120°=∠F+∠FAE,
∴∠FAE=30°,
1
∴EF=2AE,
1
∴AC=BF=BE+EF=BE+2AE,
1
∴AC=BE+2AE;
问题:
(1)如题图③中,
∵∠ACF=∠D+∠CAD,∠D+∠DFG=∠BAC,
∴∠ CHG =∠ CFH +∠ FCH =∠ CFH +∠ D +∠ CAD =∠ BAC +∠ CAD =
∠BAD,
∴∠CHG=∠BAD;
(2)结论:
AD=FG.
理由如下:
如解图③中,反向延长 BD 到 R,使得 BR=CD,连接 AR,作 AJ∥CD 交
EG 的延长线于点 J,连接 FJ,
第 5 题解图③
∵AJ∥CE,AC∥JE,
∴四边形 ACEJ 是平行四边形,
∴AJ=CE,AC=JE,
∵AB=AC,
∴JE=AB,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABR=∠ACD,
在△ABR 和△ACD 中,
⎧⎪AB=AC
⎨∠ABR=∠ACD,
⎩
⎪BR=CD
∴△ABR≌△ACD(SAS),
∴AR=AD,
∵BR=CD,BF=DE,
∴FR=CE=AJ,EF=BD,
又∵AJ∥RF,
∴四边形 ARFJ 是平行四边形,
∴JF=AR=AD,
⎧⎪AB=JE
在△ABD 和△JEF 中,⎨AD=JF ,
⎪⎩BD=EF
∴△ABD≌△JEF(SSS),
∴∠EJF=∠BAD,
又∵∠JGH=∠GHC,
∵∠BAD=∠CHG=∠FGJ,
∴∠EJF=∠FGJ,
∴FG=FJ,
∴AD=FG.
6.如图,长方形纸片 ABCD 中,AB=8,将纸片折叠,使顶点 B 落在边 AD
上的 E 点处,折痕的一端 G 点在边 BC 上.
(1)如图①,当折痕的另一端 F 在 AB 边上且 AE=4 时,求 AF 的长;
(2)如图②,当折痕的另一端 F 在 AD 边上且 BG=10 时,
①求证:
EF=EG;
②求 AF 的长;
(3)如图③,当折痕的另一端 F 在 AD 边上,B 点的对应点 E 在长方形内部,
E 到 AD 的距离为 2,且 BG=10 时,求 AF 的长.
第 6 题图
(1)解:
∵纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处,
∴BF=EF,
∵AB=8,∴EF=8-AF,
在 Rt△AEF 中,AE2+AF2=EF2,
即 42+AF2=(8-AF)2,解得 AF=3;
(2)①证明:
∵纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处,∴∠BGF=∠EGF,
∵长方形纸片 ABCD 的边 AD∥BC,
∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF=∠EFG,∴EF=EG;
②解:
∵纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处,
∴EG=BG=10,HE=AB=8,FH=AF,
∴EF=EG=10,
在 Rt△EFH 中,由勾股定理得 FH= EF2-HE2= 102-82=6,∴AF=FH
=6;
(3)解:
如解图,设 EH 与 AD 相交于点 K,过点 E 作 MN∥CD 分别交 AD、
BC 于点 M、N,
第 6 题解图
∵E 到 AD 的距离为 2,
∴EM=2,EN=8-2=6,
在 Rt△ENG 中,GN= EG2-EN2= 102-62=8,
∵∠GEN+∠KEM=180°-∠GEH=180°-90°=90°,
∠GEN+∠NGE=180°-90°=90°,
∴∠KEM=∠NGE,
又∵∠ENG=∠KME=90°,∴△GEN∽△EKM,
EKKMEMEKKM2
∴GE= EN =GN,即 10 = 6 =8,
53
解得 EK=2,KM=2,
511
∴KH=EH-EK=8-2= 2 ,
∵∠FKH=∠EKM,∠H=∠EMK=90°,
11
FHKHFH2
∴△FKH∽△EKM,∴EM=KM,即 2 = 3 ,
2
22
解得 FH= 3 ,
22
∴AF=FH= 3 .
7.在等腰
ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D 是斜边 BC 的中点,连
接 AD.
(1)如图①,E 是 AC 的中点,连接
,将CDE 沿 CD 翻折到△CDE′,连
接 AE′,当 AD= 2时,求 AE′的值;
1
(2)如图②,在 AC 上取一点 E,使得 CE=3AC,连接
,将CDE 沿 CD
翻折到△CDE′,且 AE′交 BC 于点 F,求证:
DF=CF.
第 7 题图
(1)解:
∵∠BAC=90°,AB=AC,D 是斜边 BC 的中点,
∴∠ADC=90°,∠ACD=45°,
在 Rt△ADC 中,AC=
AD
=2,
∵E 是 AC 的中点,
1
∴CE=2AC=1,
∵将△CDE 沿 CD 翻折到△CDE′,
∴CE′=CE=1,∠ACE′=90°,
由勾股定理得:
AE′= CE′+AC2= 5;
(2)证明:
如解图,过 B 作 AE′的垂线交 AD 于点 G,交 AC 于点 H,
第 7 题解图
∵∠ABH+∠BAF=90°,∠CAF+∠BAF=90°,
∴∠ABH=∠CAF,
又∵AB=AC,∠BAH=∠ACE′=90°,
∴△ABH≌△CAE′,
∴AH=CE′=CE,
1
∵CE=3AC,
∴AH=HE=CE,
∵D 是 BC 中点,
∴DE∥BH,
∴G 是 AD 中点,
在△ABG 和△CAF 中
⎧⎪∠BAD=∠ACD=45°
⎨AB=AC,
⎪⎩∠ABH=∠CAF
∴△ABG≌△CAF(ASA),∴AG=CF,
111
∵AG=2AD,∴CF=2AD=2CD,∴DF=CF.
.
8 【问题情境】
在数学综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠为主题开展活动”
如图①,四边形 ABCD 是正方形,AB=5,点 E 是 CD 边上的一动点,连接 AE.
【操作发现】
(1)将△ADE 沿 AE 折叠得
′E,如图②,当点 D′到 BC 的距离等于 1 时,
求点 E 到 BC 的距离.
【继续探究】
(2)在
(1)的条件下,创新小组在图②中,连接BE,如图③,发现∠ AEB=
2∠EBC,请你证明这个结论.
【深入探究】
(3)创新小组将图②沿 MN 向下折叠,使点 A 与点 E,连接 DD′并延长交 BC
于点 F,如图④,求四边形 MNFD 的面积.
第 8 题图
解:
(1)如解图①,过点 D′作 XY∥BC,与 AB、CD 分别交于点 X、Y,
∵四边形 ABCD 是正方形,
第 8 题解图①
∴∠B=∠C=90°,AB∥CD,
∴四边形 BCYX 是矩形,
∵点 D′到 BC 的距离为 1,
∴BX=CY=1,
∴AX=AB-BX=5-1=4,
由折叠知:
AD′=AD=5,
在 Rt△AXD′中,由勾股定理得 XD′= 52-42=3,
∴D′Y=XY-XD′=5-3=2,
由题易证△AXD
∽D′YE,
D′Y= YE ,
43
∴2=YE,
3
∴YE=2,
35
∴CE=YE+YC=2+1=2,
5
∴点 E 到 BC 的距离等于2;
5
(2)证明:
由
(1)知,CE=2,
55
∴DE=DC-CE=5-2=2,
∴DE=CE,
又∵AD=BC,∠C=∠ADE,
∴△ADE≌△BCE,
∴AE=BE,
如解图②,过点 E 作 EZ⊥AB 于点 Z,
第 8 题解图②
∴EZ 平分∠AEB,
∴∠AEB=2∠BEZ,
∵EZ⊥AB,BC⊥AB,
∴EZ∥BC.
∴∠BEZ=∠EBC,
∴∠AEB=2∠EBC;
(3)∵点 A、点 E 关于 MN 对称,
∴MN 垂直平分 AE,
,
同理:
AE 垂直平分 DD′
∴MN∥DF,
又∵MD∥NF,
∴四边形 MNFD 是平行四边形,
如解图③,设 AE 与 MN,DD′分别相交于点 G、H,
第 8 题解图③
在 Rt△ADE 中,由勾股定理得
AE= AD2+DE2
2)
2
5 5
= 2 ,
115 55 5
∴GE=2AE=2× 2 = 4 .
在 Rt△ADE 中,DH·AE=AD· DE,
∴DH=
AD·DE
AE =
5
5×2
= 5,
5 5
2
在 Rt△DEH 中,由勾股定理得
EH= DE2-DH2=
5 5
(2)2-( 5)2= 2 ,
5 553 5
∴GH =GE-EH= 4 - 2 = 4 ,
5 5
∵△ADE ≌△DCF,∴AE=DF,∴DF= 2 ,
∴S
5 5 3 5 75
四边形MNFD=DF· GH= 2 × 4 = 8 .
9.【问题情境】
1
(1)数学课上,老师出了一道题,如图①,
ABC 中,∠C=90°,AC=2AB,
求证:
∠B=30°,请你完成证明过程;
【继续探究】
处
(2)如图②,四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片,E、F 分别为 AB、
CD 的中点,沿过点 D 的折痕将纸片翻折,使点 A 落在 EF 上的点 A′ ,折痕交
AE 于点 G,请运
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