迎春杯分类计数与数论标准答案及详解.docx
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迎春杯分类计数与数论标准答案及详解
迎春杯分类一计数与数论答案及详解
计数:
1.国际象棋中“马”的走法如图1所示,位
于O位置的"马”只能走到标有x的格中,类似于中国象棋中的“马走日”。
如果“马”在8X8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列(图
2中标有△的位置),要走到第八行第五列(图2中标有★的位置),最短路线有
条。
(12)
2将19枚棋子私5X5的方格网内,每个方格至多只放一枚棋子,且每行每列的棋子偉均为奇数个,那么共有种不同的抜法.
3•给你一架天平和两个砝码,这两个砝码分别重50克和100克,如果再添上3个砝码,则
这5个砝码能称出的重量种类最多是种•(天平的左右两盘均可放砝码)
【答案】94
【解析】
只有50,100两种砝码,可以组成的重量:
50,100,150,即:
3种,当加入砝码a,可以组成的重量:
是50,100,150分别加减a,还有50,100,150本身,还要有a,所以此时有:
3X3+1=10种,
再加入一枚砝码,同理:
有10X3+仁31种,再加一枚:
为31x3+仁94种•
分析教师:
辛洪涛
4•将下图中的2007分成若干个1X2的小长方形,共有
【答案】15
【解析】
从右下角,观察发现,从右向上只有唯一的分法,右面的区域只有唯一的情况•事实上只有左边和中间的两块有选择余地左边有5种情况,中
间有3种情况所以一共就有53=15种
5.已知九位数2007口12口2既是9的倍数,又是11的倍数;那么,这个九位数200731212
6・将0〜9填入下面算式,每个数字只能用一次;那么满足条件的正确填法共有种。
60
因为3个加数只有一个达到三位,所以结果的千位只能为1各位可能的进位最多为2,
所以十位上的和最大为9+8+2=19,进位不超过1,所以加数中三位数的百位只能为9,同时结果中的百位只能为0,
因为十位必须要向百位进一位,且个位三位数之和最小为9最大为21且均不满足题意,所以
个位数必向十位进1。
因此十位的数字组合只能为(3,8)(4,7)(4,8)(5,6)(5,7)
(5,8)(6,7)(6,8)(乙8)一一枚举有5组数可行:
十位(3,8),个位(4,5,7);十位(4,7),个位(3,5,8);十位(4,8),个位(2,6,7);十位(6,8),个位(2,4,7);十位(7,8),个位(3,4,5)。
每组可能的组合有2X1X3X2X仁12种,故正确填法共有12X5=60种。
7.有10个整数克的砝码(允许砝码重量相同),将其中一个或几个放在天平的右边,待称的物品放在天平的左边,能称出1,2,3,,,200的所有整数克的物品来;那么,这10个砝
码中第二重的砝码最少是克。
【答案】18
【解析】
首先此题是一道关于砝码的计数问题,涉及到最值问题和对称原理
从最后所求进行分析,要求第二重的砝码最少,无法进行直接突破,使用的是最值原理
的重点思路之一:
从反面考虑。
第二重砝码最少,那么就应该使其他的砝码尽量大。
分析10个砝码的总重量很显然应该是200,其中最重的砝码应该最大是100,因为如果
有超过100克的砝码,100克的物品就无法称出。
这样其他9个砝码总和应该是100克。
根据对称原理,只要惩处1克的,就可以称出199克的(只要在200克中相应的拿出1克的就可以),所以只要能称出1到100克就可以称出101到199克。
同理,要能称出1到100克,只要能称出1到50克就可以,所以要称出1到50克,就应该有1克,2克,4克,8克,16克,18克,这样离200克还差51克,同时还差3个砝码,把51平均分成三份,所以每个砝码应该是17,这样就得到10个砝码,分别是1,2,4,8,16,17,17,17,18,
100,所以第二种的砝码至少应该是18克。
8.一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵(右图是一个四层空心方阵的示
意图).后来小林又添入28个棋子,这些棋子恰好变成了一个五层的空心
方阵(不能移动原来的棋子),那么最开始最少有个棋子.
【答案】
【解析】
将四层空心方阵变成五层空心方阵有三种方法:
1、在最外层增加一圈则五层方阵最外层至少有40枚棋子所以不符合题意;
2、在最内层增加一圈则最外层应有8X4+28=60枚棋子,最开始应有60+52+44+36=192枚棋子;
3、在最内层增加一行一列,在最外层的另外两个方向也增加一行一列,那么五层方阵
最内层边长为x,最外层边长为x+4X2=x+8共增棋子2x-3+2(x+8)-1=4x+12,所以4x+12=28,解得x=4,最外层边长4+8=12,原有棋子122-(4-2)2-28=112,所以最开始最少有112个棋子。
9.将5枚棋子放入右侧编号的4X4表格的格子中,每个格子最多放一枚,如果要求每行
432
【解析】本题采用分类、分步讨论
将5枚棋子放入4X4的方格中,可以发现不论怎么放一定会有2个棋子在一条直线上的情形,所以我们不妨先从这2个棋子开始放,选定一行有4种选法,然后在一行中选定2个格子,即2列,有C:
=6种选法,故填完前2个共线棋子有4X6=24种填法。
如右图示例,接下来我们填第三枚棋子,第三枚棋子填入后又会有2种情形
出现:
(1)第三枚棋子与2个△所在的列共线:
那么第三枚棋子共有6个格子可以填,即6种填法。
而最后2枚棋子只可能成对填入2个圆圈或2个□中,
贝y此类情况共C;汉C:
汉c6汉2=4汉6汉6汉2=288种
(2)第三枚棋子与前2个△所在的列不共线
那么第三枚棋子也有6种填法,而最后的2枚棋子必须填入同一列,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
△
△
△
△
△
O
□
□
O
共有C4C^C:
=466=144种
答案288+144=432
10.对于由1~5组成的无重复数字的五位数,如果它的首位数字不是1,那么可以进行如下
的一次置换操作:
记首位数字为k,则将数字k与第k位上的数字对换.例如,24513
可以进行两次置换:
24513^42513^12543.可以进行4次置换的五位数有个.
【答案】24
【解析】
经过4次置换后最后结果必为12345,所以可进行4次置换的五位数可由12345进行4次首位与其他位的调换得到,规则为从首位上调换出的数不能再与首位调换,那么这样的调换方法共
有4321=24种,即可进行4次置换的五位数有24个。
数论:
〔「一阡i=M吁蓄弄―午川丄=工1汕=「口「」「二須圧九咱魏网淸1山的数网为&那么甲乙两数之和是.
2观察下列正方形■数慕
'表1中的各数之和为h表2中的容数之和为17,表3中的各数之和为经%基个正方形数表比前一个正方形数表”层方格,壇^的一层方格中所填的数比前它弟的昜卜层方格內的数大1).如果表”中的各数之和等于15505,那么打等于.
3.一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍,则这个五位数是
36126或54189
4.在纸上写着一列自然数1,2,,,98,99.一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去,
然后把这三个数的和写在数列的最后面•例如一次操作后得到4,5,,,98,99,6;而两
次操作后得到乙8,,,98,99,6,15.这样不断进行下去,最后将只剩下一个数,则最后剩下的数是.
4950
5.有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数.将这18个不同的4位数由小到大排成一
排,其中第一个是一个完全平方数,倒数第二个也是完全平方数,则这18个数中最大的数
是.
9810
6•有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数。
将这18个不同的4位数由小到大排成一排,其中第一个是一个完全平方数,倒数第二个也是完全平方数。
那么这18个数的平均数6444
7.如果两个合数互质,它们的最小公倍数是126,那么,它们的和是
23
8.从1,2,3,4,5,6中选取若干个数,使得它们的和是3的倍数,但不是5的倍数•那么共有
种不同的选取方法.
19
取出的和的可能为3、6、9、12、18、21。
和为3的有1+2、3,共2种;和为6的有1+5、2+4、1+2+3、6,共4种;和为9的有3+6、4+5、1+2+6、1+3+5、2+3+4,共5种;于所有
数之和为21,所以和为12与和为9的情况相同(和为12的数即为除和为9之外的数)共5种,同理3的情况相同,共2种,和为21的有1种,因此共有2+4+5+5+2+仁19种。
9.将数字4,5,6,7,8,9各使用一次,组成一个被667整除的6位数,那么,这个6位数除
以667的结果是.
【答案】
【解析】
因为45678-9=39是3的倍数
所以此六位数是3和667的公倍数,且3X667=2001,所以此六位数是2001的倍数
我们发现六位数中2001倍数的特征为:
前三位是后三位的2倍。
所以下面将六位数分成2段,根据倍数关系验证即可,结果为956478.
10.200名同学编为1至200号面向南站成一排.第1次全体同学向右转(转后所有的同学
面朝西);第2次编号为2的倍数的同学向右转;第3次编号为3的倍数的同学向右转;”;第200次编号为200的倍数的同学向右转;这时,面向东的同学有
名.
【答案】8
【解析】
因为开始所有人面向南,最后的结果是面向东,所以转3、7、11……次的人即为所求。
根据题意,编号有几个约数就向右转几次,那么最后面向东面的数必是奇数个数的倍数,
即这个数的约数是奇数个,且个数为4n+3。
哪些数的约数是奇数个呢?
由于是奇数个约数,这些数一定是平方数。
女口:
4的约数有1、2、4三个;9的约数有1、3、9三个;25的约数有1、5、25三个,……
64的约数有1、2、4、8、16、32、64七个……
但是:
如平方数16既是1、4、16的倍数,还是2、8的倍数,即16的约数有5个,不符合个数为4n+3这一要求。
所以要删除。
以下这些数是最后面向东面的同学:
4、9、25、49、64、121、144、169。
共8位同学。
11.在算式(A□B)A(COD)中,口A,O代表的是三个互不相同的四则运算符号(即加、减、乘、除),A,B,C,D是4个互不相同的非零阿拉伯数字•如果无论口,△,O具体代表的是哪三
个互不相同的四则运算符号,(A□B)△(COD)的计算结果都是整数.那么,四位数ABCD
是.
【答案】9321
【解析】
本题中主要会出现非整数的原因就是十的位置,所以只需要考虑十出现在什么地方。
当□是十时,就需要A一定是B的倍数,同理C一定是D的倍数,最后只要ADB的结果也是COD的倍数即可。
本题严密的推理论证过程相对复杂,因为数字比较小,不妨采用符合前一组条件的数枚举尝
试便容易得到答案
12.
25倍•那么,这个五位
如果一个五位数,它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的数的最大值是.
【答案】75531
【解析】
根据题意,设原数为ABCDE,那么一定有ABCDE=25(ABCDE)
说明左边的乘积是25的倍数,那么原来的5个数字中一定有2个数字是5.
原式化为:
ABABC10,为了求出最大值,那么可以让原数中含有9,不妨
假设A=9,那么9BC=BC19,经验证没有符合条件的整数B和C使得左边式子成立
同理可验证A=8时也没有解,当A=7时,有7BC=BC17,此时有B=1,C=3,所以原式最大值为75531
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