高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估新人教A版选修.docx
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高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估新人教A版选修
2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估新人教A版选修
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则k应满足的条件是 ( )
A.k>3B.2 C.k=2D.0 【解析】选C.k>0,=,所以k=2. 2.(xx·菏泽高二检测)若双曲线的顶点为椭圆x2+=1长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为 ( ) A.x2-y2=1B.y2-x2=1 C.x2-y2=2D.y2-x2=2 【解析】选D.由题意设双曲线方程为-=1,离心率为e,椭圆x2+=1长轴端点为(0,),所以a=,又椭圆的离心率为,所以双曲线的离心率为,所以c=2,b=,则双曲线的方程为y2-x2=2. 3.(xx·浙江高考)已知椭圆C1: +y2=1(m>1)与双曲线C2: -y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则 ( ) A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1 C.m 【解题指南】根据椭圆与双曲线离心率的定义求解,注意a2,b2与c2的关系. 【解析】选A.由题意知m2-1=n2+1,即m2=n2+2,(e1e2)2=·= 因为m2=n2+2,m>1,n>0,所以m>n,(e1e2)2>1,所以e1e2>1. 4.(xx·潍坊高二检测)设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为 ( ) A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1 【解析】选B.因为y2=8x的焦点为(2,0), 所以+=1的右焦点为(2,0),所以m>n且c=2. 又e==,所以m=4. 因为c2=m2-n2=4,所以n2=12. 所以椭圆方程为+=1. 【补偿训练】(xx·成都高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是 ( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程-=1,然后与直线方程联立方程组,消元得二元一次方程,根据根与系数的关系及MN中点的横坐标建立a,b的一个方程,又双曲线中有c2=a2+b2,则另得a,b的一个方程,最后解a,b的方程组即得双曲线方程. 【解析】选B.设双曲线方程为-=1, 将y=x-1代入-=1, 整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0, 由根与系数的关系得x1+x2=, 则==-. 又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5, 所以双曲线的方程为-=1. 5.P是长轴在x轴上的椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是 ( ) A.1B.a2C.b2D.c2 【解析】选D.由椭圆的几何性质得 |PF1|∈[a-c,a+c], |PF1|+|PF2|=2a, 所以|PF1|·|PF2|≤=a2, 当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号. |PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|) =-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2 ≥-c2+a2=b2, 所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=c2. 6.(xx·天津高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为,则p= ( ) A.1B. C.2D.3 【解析】选C.因为e=2,所以b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,不妨设A=,B,则AB=p,又三角形的高为,则S△AOB=××p=,即p2=4,又因为p>0,所以p=2. 7.(xx·东营高二检测)已知点P是抛物线y2=-8x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+y-10=0的距离是d2,则d1+d2的最小值是 ( ) A.B.2 C.6D.3 【解析】选C.抛物线y2=-8x的焦点F(-2,0),根据抛物线的定义知,d1+d2=|PF|+d2,显然当由点F向直线x+y-10=0作垂线与抛物线的交点为P时,d1+d2取到最小值,即=6. 8.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k等于 ( ) A.2或-1B.-1 C.2D.1± 【解析】选C.由消去y得, k2x2-4(k+2)x+4=0, 故Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4=64(1+k)>0, 解得k>-1,由x1+x2==4, 解得k=-1或k=2,又因为k>-1,故k=2. 【易错警示】本题易忽略Δ>0而错选A. 9.(xx·邯郸高二检测)设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.y=±xB.y=±x C.y=±xD.y=±2x 【解析】选A.由题意得解得 所以a==, 因此双曲线的方程为-y2=1, 所以渐近线方程为y=±x. 10.(xx·福建高考)已知椭圆E: +=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l: 3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是 ( ) A.B. C.D. 【解析】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以+=+=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=b≥⇒b≥1,所以e==≤=, 又e∈(0,1),所以e∈. 11.(xx·哈尔滨高二检测)已知椭圆E: +=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的标准方程 为 ( ) A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1 【解析】选D.设A点坐标为(x1,y1), B点坐标为(x2,y2), 所以 两式相减得,=, 即=, 因为x1+x2=2,y1+y2=-2,所以k==, 又因为k==,所以=, 又因为c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9, 所以b2=9,a2=18, 即E的标准方程为+=1. 12.(xx·宝鸡高二检测)设抛物线C: y2=3px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为 ( ) A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x 【解析】选C.由已知得F,A(0,2),M, 因为AF⊥AM,所以kAF·kAM=-1, 即×=-1, 所以-8y0+16=0,所以y0=4,所以M, 因为|MF|=5,所以5=, 所以=9. 所以-=3或-=-3, 所以9p2-36p-64=0,① 或9p2+36p-64=0,② 由①得p=-(舍),p=. 由②得p=,p=-, 所以C的方程为y2=4x或y2=16x. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.椭圆mx2+ny2=1与直线l: x+y=1交于M,N两点,过原点与线段MN中点的直线斜率为,则= . 【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2), 所以m+n=1 ① m+n=1 ② 又因为=-1,所以①-②得: m=n·, 因为==, 所以m=n,所以=. 答案: 14.直线y=kx+1(k∈R)与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围为 . 【解析】将y=kx+1代入椭圆方程,消去y并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0. 由m>0,5k2≥0,知m+5k2>0,故 Δ=100k2-4(m+5k2)(5-5m)≥0对k∈R恒成立. 即5k2≥1-m对k∈R恒成立,故 1-m≤0,所以m≥1. 又因为m≠5,所以m的取值范围是m≥1且m≠5. 答案: m≥1且m≠5 【易错警示】本题易忽略隐含条件m≠5而出错. 15.(xx·山东高考)过双曲线C: -=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P,若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 . 【解题指南】本题是双曲线性质的综合应用,应从焦点和渐近线出发构造a,b,c的关系,进而求出离心率e. 【解析】将y=(x-c)代入-=1消去y得-=1,因为xP=2a 所以-=1, 化简得3a2=(2a-c)2,即a=c-2a, 所以e=2+. 答案: 2+ 【补偿训练】(xx·济宁高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围 为 ( ) A.B. C.D. 【解析】选A.由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形, 所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤c, 因为e=,0 16.(xx·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是 . 【解题指南】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系. 【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有 解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e==. 答案: 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交点为P,求抛物线方程和双曲线方程. 【解析】依题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0), 因为点在抛物线上,所以6=2p×, 所以p=2,所以所求抛物线方程为y2=4x. 因为双曲线左焦点在抛物线的准线x=-1上, 所以c=1,即a2+b2=1, 又点在双曲线上,所以-=1, 由 解得a2=,b2=. 所以所求双曲线方程为4x2-y2=1. 【补偿训练】若已知椭圆+=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P,求椭圆及双曲线的方程. 【解析】由椭圆与双曲线有相同的焦点得 10-m=1+b,即m=9-b,① 又因为点P在椭圆、双曲线上,所以 y2=m,② y2=.③ 解由①②③组成的方程组得m=1,b=8, 所以椭圆方程为+y2=1,双曲线方程为x2-=1. 18.(12分)求以直线x+2y=0为渐近线,且截直线x-y-3=0所得弦长为的双曲线的标准方程. 【解析】由于双曲线的渐近线方程为x+2y=0,故可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0). 设直线x-y-3=0与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2). 联立方程组消去y, 整理得3x2-24x+36+λ=0. 由Δ=(-24)2-3×4(36+λ)>0,解得λ<12. 由根与系数关系可得 代入弦长公式中, |AB|=|x1-x2|=· =·=, 于是=,解得λ=4(与λ<12符合). 故所求的双曲线的标准方程为-y2=1. 19.(12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1 (1)求该抛物线的方程. (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值. 【解析】 (1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9, 所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x. (2)由p=4,方程4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0, 从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4, 从而A(1,-2),B(4,4). 设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4) =(4λ+1,4λ-2), 又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2. 20.(12分)已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求: (1)椭圆的方程. (2)△PF1F2的面积. 【解析】 (1)令F1(-c,0),F2(c,0)(c>0), 则b2=a2-c2.因为PF1⊥PF2, 所以·=-1,即·=-1, 解得c=5,所以设椭圆方程为+=1. 因为点P(3,4)在椭圆上,所以+=1. 解得a2=45或a2=5. 又因为a>c,所以a2=5(舍去). 故所求椭圆方程为+=1. (2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,① 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,② ①2-②得2|PF1|·|PF2|=80, 所以=|PF1|·|PF2|=20. 【补偿训练】已知抛物线C: y2=2px(p>0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于? 若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 【解析】 (1)将(1,-2)代入y2=2px, 得(-2)2=2p·1,所以p=2. 故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1. (2)假设存在符合题意的直线l, 其方程为y=-2x+t. 由得y2+2y-2t=0. 因为直线l与抛物线C有公共点, 所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-. 另一方面,由直线OA到l的距离d=, 可得=,解得t=±1. 因为-1∉,1∈, 所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0. 21.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率为. (1)求椭圆C的标准方程. (2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若=m,=n,求m+n的值. 【解析】 (1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0). 抛物线方程可化为x2=4y,其焦点为(0,1), 则椭圆C的一个顶点为(0,1),即b=1. 由e===. 得a2=5,所以椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0), 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2), 代入方程+y2=1, 得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0. 所以x1+x2=,x1x2=. 又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0), =(x1-2,y1),=(x2-2,y2). 因为=m,=n, 所以m=,n=, 所以m+n=, 又2x1x2-2(x1+x2)= =-, 4-2(x1+x2)+x1x2 =4-+=, 所以m+n=10. 22.(12分)(xx·北京高考)已知椭圆C: +=1过A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆C的方程及离心率. (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证: 四边形ABNM的面积为定值. 【解题指南】 (1)把A,B两点代入可求得a,b. (2)设P(x0,y0),表示出直线AP,BP方程,求出点M,N坐标,表示出面积.再利用点P在椭圆上化简整理为定值. 【解析】 (1)把A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1. 因为c==, 所以离心率e==. (2)设P(x0,y0),其中x0<0,y0<0. 则直线AP方程为y=(x-2),直线BP方程为y=x+1. 所以M,N. 所以|AN|=2+,|BM|=+1. 所以四边形ABNM的面积为S=|AN||BM|= =××= = . 因为点P在椭圆C上,所以=4-4.代入上式得 S= ==2. 因此,四边形ABNM的面积为定值2. 2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程圆与圆的位置关系教学案苏教版选修2-1 【学习目标】 1.掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法 2.了解用代数法研究圆的关系的优点 3.了解算法思想 【预习反馈】 判断两圆的位置关系的步骤: 第一步: 计算两圆的半径; 第二步: 计算两圆的圆心距,即; 第三步: 根据与之间的关系,判断两圆的位置关系. 内含 1.判断下列两圆的位置关系: (1)与; (2)与. 2.求过点且与圆 切于原点的圆的方程. 3.已知圆 ,圆 ,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长. 跟踪1: 求过两圆和的交点,且圆心在直线上的圆的方程. 【互动释疑】 掌握利用圆心距和半径之间的大小关系判定圆与圆的位置关系. 【当堂练习】 1.求与圆外切,且与直线相切于点的圆的方程. 2.已知圆 ,圆 ,为何值时, (1)圆与圆相外切; (2)圆与圆内含. 课堂小结
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