从欧拉几何定理到彭色列闭合定理欧拉彭色列大狗熊线.docx
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从欧拉几何定理到彭色列闭合定理欧拉彭色列大狗熊线
从欧拉几何定理到彭色列闭合定理(欧拉--彭色列—大狗熊线)
徐文平
〔东南大学某某210096〕
一、引言
1〕彭色列闭合定理
图1
思考:
彭色列闭合定理的本质是什么?
为什么如此奇妙的首尾相连闭合?
2〕谢国芳定理
谢国芳教师猜想,双圆锥曲线的内接外切四边形时候,对角线交叉点不变。
图2
思考:
如果是三角形的时候,彭色列闭合定理,是什么关键点永恒不变啊。
3〕欧拉几何定理
a)设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心与内心的距离为d,
如此有
〔备注:
欧拉定理定理也涉与到圆中圆的问题〕
b〕欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线,且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。
〔三角形ABC的垂心H,九点圆圆心V,重心G,外心O共线,称为欧拉线〕
图3
c〕欧拉九点圆
三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆。
通常称这个圆为九点圆〔nine-pointcircle〕,或欧拉圆、费尔巴哈圆。
九点圆具有许多有趣的性质,例如:
1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕;
4.九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线,且HG=2OG,OG=2VG,OH=2OV。
图4
4〕欧拉--彭色列--大狗熊线
大狗熊定理:
三角形内切圆的切点三角形的垂心H,九点圆圆心V,重心G与三角形内心I、外心O共线〔欧拉--彭色厉--大狗熊线〕,三角形作彭色列闭合变换时,五心位置恒定不变。
〔备注:
三角形内切圆的切点三角形的外心就是三角形ABC的内心I〕
图5〔彭色列闭合变换时切点三角形的重心不变〕
〔三角形在圆中圆中,作彭色列闭合变化时候,切点三角形的垂心H,九点圆圆心V,重心G不变,非常奇妙的发现,作业:
作图试试切点三角形的垂心H,九点圆圆心V,重心G,是不是雷打不动啊〕
谢国芳定理,双圆锥曲线的内接外切四边形时候,对角线交叉点不变。
大狗熊定理,双圆锥曲线的内接外切三角形时候,切点三角形的五心恒定不变。
谢国芳定理和大狗熊定理,揭示了彭色列闭合定理的神秘面纱,找到了命题本质。
工程应用成果:
利用欧拉—彭色列--大狗熊线恒定不变特性的摄像机和精细测量仪器标定
〔变化中发现了不变的本质〕
二、欧拉--彭色厉--大狗熊线的简证
欧拉--彭色列闭合变化作图发现,有许多有趣的特性。
〔ΔABC为根本三角形,ΔA1B1C1为切点三角形,ΔA2B2C2为垂足三角形〕
1、ΔA2B2C2为垂足三角形与三角形ΔABC是具有位似关系
2、根本三角形构成的六边形与垂足三角形构成的六边形具有位似关系〔黄色〕。
3、根本三角形彭色列闭合变化,发现了大量的平行线关系
4、位似中心S点,也在欧拉—彭色列--大狗熊线上,彭色列闭合变化时不变。
5、位似中心S点就是根本三角形ΔABC外接圆和内切圆的位似中心S点
图5〔彭色列闭合变换时位似中心现象〕
1〕潘成华教师的研究发现
思考:
可以直接做题证明〔也许高中小朋友看不懂重心证明方法啊〕
依据欧拉线,可改为外心O〔大圆〕、内心I〔小圆〕、垂心H〔切点三角形的〕共线题目。
2〕1995伊朗奥数竞赛的题目
〔备注,垂足三角形ΔPQR的外心J点,就是切点三角形ΔDEF的九点圆心V点〕
3)彭色列闭合定理〔N=3〕的位似中心S点
位似中心在根本三角形ΔABC的顶点和垂足三角形顶点的连线交叉S点。
同理:
位似中心在根本三角形ΔDEF的顶点和垂足三角形顶点的连线交叉S点。
〔备注:
外接圆和内切圆也具有位似关系,位似中心也在S点〕
〔备注:
外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化,位似比一样〕
〔备注:
外接圆和内切圆和外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化,位似比一样〕。
所以,外接圆和内切圆、ΔABC和ΔDEF三者一起位似变化,位似比一样
位似比
,
位似中心S点在五心狗熊线上,即位似中心S点在五心狗熊线共线。
彭色列闭合变换〔N=3〕时,两者位似中心S点重合。
彭色列闭合变换〔N=3〕时,中心S点和五心狗熊线恒定不变。
欧拉--彭色厉--大狗熊线〔增加了位似中心S点共线〕
4)欧拉—彭色列--大狗熊线的不变特性简证〔彭色列闭合变化时〕
1、位似中心S点在五心狗熊线上,即位似中心S点在五心狗熊线共线。
〔具体可以参见上述的1995伊朗奥数竞赛的题目〕
2、彭色列闭合变换〔N=3〕时,切点三角形的的九点圆心V不变
方向不变:
由于欧拉—彭色列--大狗熊线是五心共线,并且其中二点是不变〔三角形内心I、外心O在命题中是固定的〕,所以,彭色列闭合变换前后,九点圆心V必定在三角形内心I、外心连线方向。
半径不变:
三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半,由于切点三角形的外接圆是固定的〔命题的内切圆〕,所以,九点圆的半径不变。
圆心不变:
彭色列闭合变换前的垂足三角形的三个顶点,彭色列闭合变换后的垂足三角形的三个顶点,六点是共圆的,所以彭色列闭合变换前后,九点圆圆心不变。
彭色列闭合变换〔N=3〕时,切点三角形的的九点圆心V不变
3、彭色列闭合变换〔N=3〕时,切点三角形的切点三角形的垂心H,重心G不变。
由欧拉线的性质可知,三角形的垂心H,重心G,九点圆心V,外心O点〔就是根本三角形的内心I点〕,具有这些点互相之间比例关系恒定的,所以,所以彭色列闭合变换前后垂心H,重心G位置不变
4、彭色列闭合变换〔N=3〕时,两者位似中心S点重合。
外接圆和内切圆也具有位似关系。
外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化,位似比一样〕
外接圆和内切圆和ΔDEF一起位似变化,位似比一样〕
外接圆和内切圆和外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化,位似比一样〕。
所以,外接圆和内切圆、ΔABC和ΔDEF三者一起位似变化,位似比一样
三角形的外接圆和内切圆是固定的,两圆具有位似关系,位似比为
根本三角形ΔABC与垂足三角形也具有位似关系,位似比也为
,一样。
根本三角形ΔDEF与垂足三角形也具有位似关系,位似比也为
,一样。
因此,三者的位似比也为
,一样。
ΔABC和ΔDEF是一样的位似比
,两者一样,可以一起联盟位似变换。
因此,彭色列闭合变换前后,两者位似中心S点重合。
结论:
彭色列闭合变换前后,欧拉—彭色列--大狗熊线的不变
三、彭色列闭合定理〔N=3〕的简证
彭色列闭合定理非常简明和美妙,应该有纯几何证明,以便推广普与和应用。
简证思路:
儿歌唱道,两只老虎,真奇怪,一个没有尾巴,一个没有耳朵。
歌词大意是把二个残缺的老虎放在一起,可通过比照,小朋友们可想象出老虎残缺的尾巴和耳朵,画图出两只老虎完美的老虎。
彭色列闭合定理〔N=3〕,在外接圆和内切圆固定的前提下〔符合欧拉定理〕,两个三角形的闭合变换问题。
以一个完整的三角形彭色列闭合〔一个完整老虎〕为背景,分析另外一个残缺的三角形彭色列闭合在外接圆上〔构造残缺的老虎的尾巴和耳朵〕。
1)完整的彭色列闭合三角形
图8
分析可知:
1、根本三角形ΔDEF和切线三角形之垂足三角形是位似关系。
2、三角形内切圆的切点三角形的垂心H,九点圆圆心V,重心G与根本三角形内心I、外心O以与位似点S是六点共线〔欧拉--彭色厉--大狗熊线〕。
2)残缺的彭色列闭合三角形
〔备注:
目标是证明A点在外接圆上,彭色列闭合定理就ok〕
图9
残缺图形分析可知:
1、根本三角形ΔABC和切线三角形之垂足三角形是位似关系。
〔仍然成立〕
〔备注:
1995年伊朗奥数竞赛的题目的方法〕
2、三角形内切圆的切点三角形的垂心H,九点圆圆心V,重心G与根本三角形内心I、外心O以与位似点S是六点共线〔欧拉--彭色厉--大狗熊线〕。
〔备注:
可能A点不在根本外接圆上,导致外接圆有所变动〕
〔备注:
可能A点不在根本外接圆上,导致欧拉--彭色厉--大狗熊线变异〕
3〕比照的二个彭色列闭合三角形
〔备注:
目标是证明A点在外接圆上,彭色列闭合定理就ok〕
〔备注:
只需证明欧拉—彭色列--大狗熊线是重合位置,彭色列闭合定理就ok〕
比照图形分析可知:
1、三角形ΔABC和切线三角形之垂足三角形是位似关系。
2、三角形ΔABC内切圆的切点三角形的垂心H,九点圆圆心V,重心G与根本三角形内心I、外心O以与位似点S是六点共线。
〔备注:
两个根本三角形的欧拉--彭色厉--大狗熊线可能没有完全重合位置〕
3、分析得知,两个三角形内心I,〔命题〕
4、两个切点三角形的九点圆圆心V位置重合。
〔两个垂足三角形六点共圆〕
4、依据欧拉线的比例性质,两个切点三角形的垂心H和重心G位置重合
5、进一步分析得知:
两个根本三角形的位似中心S点位置重合
〔备注:
两个彭色列闭合变换中,根本三角形和垂足三角形的位似比一样〕
6、两个根本三角形的外接圆心O点位置重合〔位似比一样〕,A点在外接圆上
彭色列闭合定理〔N=3〕命题成立
四、椭圆情况下彭色列闭合定理〔N=3〕的简证
彭色列闭合定理在椭圆情况下,也是成立的
〔备注:
按照圆中圆情况的思路,利用极点极线的关系,可以快速简证〕
图10
通过:
仿射几何变换,图10的椭圆中椭圆,可以简化为椭圆中圆〔如11〕,可以大大简化证明过程。
证明思路:
先构造一个根本三角形,然后构造一个残缺三角形,其中一条底边与内圆相切,底边两端点与内圆相切,切线延伸交与第六点,利用圆锥曲线内接四边形四极点调和分割定理和帕斯卡定理,利用极点和极线的性质,可以快速第六点在椭圆上简证。
〔备注:
构造二个虚拟外接圆,两条欧拉—彭色列--大狗熊线,交叉线〕
〔备注:
此时,是内圆圆心重合共点的,两条欧拉—彭色列--大狗熊线,两线交叉角度〕
由于篇幅有限制,具体证明过程,另外专门写一篇文章〔很巧妙的简证〕
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