五年级奥数十类问题的举一反三剖析.docx
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五年级奥数十类问题的举一反三剖析.docx
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五年级奥数十类问题的举一反三剖析
倍数问题
专题简析:
解决倍数问题的关键是,必须确定一个数作为标准数,并根据题中的已知条件,找出其它几个数与这个标准数的倍数关系,再用除法求出这个标准数。
由于倍数应用题中数量关系的变化,要求同学们在解题过程中注意解题技巧,灵活解题。
和倍问题的数量关系是:
和数÷(倍数+1)=较小数
较小数×倍数=较大数
差倍问题的数量关系是:
差数÷(倍数-1)=较小数
较小数×倍数=较大数
例1,养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍,后来公鸡和母鸡各增加60只,结果母鸡只数就是公鸡的4倍。
原来养鸡场一共养了多少只鸡?
分析养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的6倍,如果公鸡增加60只,母鸡增加60×6=360只,那么,后来的母鸡只数还是公鸡的6倍。
可实际母鸡只增加了60只,比360只少300只。
因此,现在母鸡只数只有公鸡的4倍,少了2倍。
所以,现在公鸡的只数是300÷2=150只,原来有公鸡150-60=90只,一共养了90×(1+6)=630只鸡。
练习一
1,今年,爸爸的年龄是小明的6倍,再过4年,爸爸的年龄就是小明的4倍。
今年小明多少岁?
2,原来食堂里存的大米是面粉的4倍,大米和面粉各吃掉80千克,大米的重量是面粉的2倍。
食堂里原来存有大米、面粉各多少千克?
3,饲养场的白兔只数是黑兔的5倍,后来卖掉了10只黑兔,买回来20只白兔,现在白兔的只数是黑兔的7倍。
饲养场原来养白兔和黑兔各多少只?
组合图形面积1
专题简析:
组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。
组合的形式分为两种:
一是拼合组合,二是重叠组合。
由于组合图形具有条件相等的特点,往往使得问题的解决无从下手。
要正确解答组合图形的面积,应该注意以下几点:
1,切实掌握有关简单图形的概念、公式,牢固建立空间观念;
2,仔细观察,认真思考,看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的;
3,适当采用增加辅助线等方法帮助解题;
4,采用割、补、分解、代换等方法,可将复杂问题变得简单。
例1一个等腰直角三角形,最长的边是12厘米,这个三角形的面积是多少平方厘米?
分析与解答由于此三角形中只知道最长的边是12厘米,所以,不能用三角形的面积公式来计算它的面积。
我们可以假设有4个这样的三角形,且拼成了下图正方形。
显然,这个正方形的面积是12×12,那么,一个三角形的面积就是12×12÷4=36平方厘米。
练习一
1,求四边形ABCD的面积。
(单位:
厘米)
2,已知正方形ABCD的边长是7厘米,求正方形EFGH的面积。
3,有一个梯形,它的上底是5厘米,下底7厘米。
如果只把上底增加3厘米,那么面积就增加4.5平方厘米。
求原来梯形的面积。
组合图形的面积2
专题简析:
在组合图形中,三角形的面积出现的机会很多,解题时我们还可以记住下面三点:
1,两个三角形等底、等高,其面积相等;
2,两个三角形底相等,高成倍数关系,面积也成倍数关系;
3,两个三角形高相等,底成倍数关系,面积也成倍数关系。
例题1如图,ABCD是直角梯形,求阴影部分的面积和。
(单位:
厘米)
分析按照一般解法,首先要求出梯形的面积,然后减去空白部分的面积即得所求面积。
其实,只要连接AC,显然三角形AEC与三角形DEC同底等高其面积相等,这样,我们把两个阴影部分合成了一个三角形ABC。
面积是:
6×3÷2=9平方厘米。
练习一
1,求下图中阴影部分的面积。
2,求图中阴影部分的面积。
(单位:
厘米)
3,下图的长方形是一块草坪,中间有两条宽1米的走道,求植草的面积。
数字趣题
专题简析:
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9是我们最常见的国际通用的阿拉伯数字(或称为数码)。
数是由十个数字中的一个或几个根据位值原则排列起来,表示事物的多少或次序。
数字和数是两个不同的概念,但它们之间有密切的联系。
这里所讲的数字问题是研究一个若干位数与其他各位数字之间的关系。
数字问题不仅是研究一个若干位数与其他各位数字之间的关系。
数字问题不仅有一定规律,而且还非常有趣。
解答数字问题可采用下面的方法:
1,根据已知条件,分析数或数字的特点,寻找其中的规律;
2,将各种可能一一列举,排除不符合题意的部分,从中找出符合题意的结论;
3,找出数中数字之间的相差关系和倍数关系,转化成“和倍”、“差倍”等问题。
4,条件复杂时,可将题中条件用文字式、竖式表示,然后借助文字式、竖式进行分析推理。
例题1一个四位数,百位和十位上的数字相同,都是个位数字的3倍,而个位数字是千位数字的3倍。
这个四位数是多少?
分析由于个位数字是千位数字的3倍,而百位数字和十位上数字又是个位上数字的3倍,所以,千位上的数字只能是1,否则,百位和十位上的数字将大于9。
因此,这个四位数的千位是1,个位是3,而百位和十位上都是9,即1993。
练习一
1,有一个四位数,千位和个位上的数字相同,且百位上的数字是十位上的3倍,十位上数字是个位上的3倍。
这个四位数是多少?
2,一个三位数的各位数字之和是17,其中十位数字比个位数字大1。
如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到的新三位数比原数大198,求原数。
3,有一个三位数,各位数字的和是17,其中百位数字比个位数字的5倍还多2,请写出这个三位数。
假设法解题
专题简析
假设法是解应用题时常用的一种思维方法。
在一些应用题中,要求两个或两个以上的未知量,思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等,或者先假设两种要求的未知量是同一种量,然后按题中的已知条件进行推算,并对照已知条件,把数量上出现的矛盾加以适当的调整,最后找到答案。
例题1有5元和10元的人民币共14张,共100元。
问5元币和10元币各多少张?
分析假设这14张全是5元的,则总钱数只有5×14=70元,比实际少了100-70=30元。
为什么会少了30元呢?
因为这14张人币民币中有的是10元的。
拿一张5元的换一张10元的,就会多出5元,30元里包含有6个5元,所以,要换6次,即有6张是10元的,有14-6=8张是5元的。
练习一
1,笼中共有鸡、兔100只,鸡和兔的脚共248只。
求笼中鸡、兔各有多少只?
2,一堆2分和5分的硬币共39枚,共值1.5元。
问2分和5分的各有多少枚?
3,营业员把一张5元人币和一张5角的人民币换成了28张票面为一元和一角的人民币,求换来这两种人民币各多少张?
作图法解题
专题简析:
用作图的方法把应用题的数量关系提示出来,使题意形象具体,一目了然,以便较快地找到解题的途径,它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题,能起化难为易的作用。
在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系,求其中一个数或者几个数问题等应用题时,我们可以抓住题中给出的数量关系,借助线段图进行分析,从而列出算式。
例题1五
(1)班的男生人数和女生人数同样多。
抽去18名男生和26名女生参加合唱队后,剩下的男生人数是女生的3倍。
五
(1)班原有男、女生各多少人?
分析根据题意作出示意图:
从图中可以看出,由于女生比男生多抽去26-18=8名去合唱队,所以,剩下的男生人数是女生人数的3倍,而这8名同学正好相当于剩下女生人数的2倍,剩下的女生人数有8÷2=4名,原来女生人数是26+4=30名。
练习一
1,两根电线一样长,第一根剪去50厘米,第二根剪去180厘米后,剩下部分,第一根是第二根长度的3倍。
这两根电线原来共长多少厘米?
2,甲、乙两筐水果个数一样多,从第一筐中取出31个,第二筐中取出19个后,第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。
原来两筐水果各有多少个?
3,哥哥现存的钱是弟弟的5倍,如果哥哥再存20元,弟弟再存100元,二人的存款正好相等。
哥哥原来存有多少钱?
分解质因数
专题简析:
一个自然数的因数中,为质数的因数叫做这个数的质因数。
把一个合数,用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例如:
24=2×2×2×3,75=3×5×5。
我们数学课本上介绍的分解质因数,是为求最大公约数和最小公倍数服务的。
其实,把一个数分解成质因数相乘的形式,能启发我们寻找解答许多难题的突破口,从而顺利解题。
例题1把18个苹果平均分成若干份,每份大于1个,小于18个。
一共有多少种不同的分法?
分析先把18分解质因数:
18=2×3×3,可以看出:
18的约数是1、2、3、6、9、18,除去1和18,还有4个约数,所以,一共有4种不同的分法。
练习一
1,有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔,每组不少于6人,不多于15人。
有哪几种分法?
2,195个同学排成长方形队伍做早操,行数和列数都大于1,共有几种排法?
3,甲数比乙数大9,两个数的积是792,求甲、乙两数分别是多少。
最大公因数
专题简析:
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
我们可以把自然数a、b的最公因数记作(a、b),如果(a、b)=1,则a和b互质。
求几个数的最大公因数可以用分解质因数和短除法等方法。
例题1一张长方形的纸,长7分米5厘米,宽6分米。
现在要把它裁成一块块正方形,而且正方形边长为整厘米数,有几种裁法?
如果要使裁得的正方形面积最大,可以裁多少块?
分析7分米5厘米=75厘米,6分米=60厘米。
因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60,所以边长是75和60的公约数。
75和60的公约数有1、3、5、15,所以有4种裁法。
如果要使正方形面积最大,那么边长也应该最大,应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长,所以可以裁(75÷15)×(60÷15)=20块。
练习一
1,把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸,裁成同样大小的正方形,至少能裁多少块?
2,一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板,把它锯成若干块正方形而无剩余,所锯成的正方形的边长最长是多少厘米?
3,将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形,小正方形的面积最大是多少?
最小公倍数
专题简析:
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b],当(a、b)=1时,[a、b]=a×b。
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系:
最大公约数×最小公倍数=两数的乘积
即(a、b)×[a、b]=a×b
要解答求最小公倍数的问题,关键要根据题目中的已知条件,对问题作全面的分析,若要求的数对已知条件来说,是处于被除数的地位,通过就是求最小公倍数,解题时要避免和最大公约数问题混淆。
例题1两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
分析根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积,再把这个积分解成两个数。
根据题意:
当a1b1分别是1和6时,a、b分别为15×1=15,15×6=90;当a1b1分别是2和3时,a、b分别为15×2=20,15×3=45。
所以,这两个数是15和90或者30和45。
练习一
1,两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
2,两个数的最大公约数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少?
3,两个数的最大公约数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180,另一个数是多少?
行程问题
专题简析:
行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。
行程问题的主要数量关系是:
路程=速度×时间。
知道三个量中的两个量,就能求出第三个量。
例1甲、乙两车同时从东、西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米。
两车在距中点32千米处相遇,东、西两地相距多少千米?
分析与解答从图中可以看出,两车相遇时,甲车比乙车多行了32×2=64(千米)。
两车同时出发,为什么甲车会比乙车多行64千米呢?
因为甲车每小时比乙车多行56-48=8(千米)。
64里包含8个8,所以此时两车各行了8小时,东、西两地的路程只要用(56+48)×8就能得出。
32×2÷(56-48)=8(小时)
(56+48)×8=832(千米)
答:
东、西两地相距832千米。
练习一
1,小玲每分钟行100米,小平每分钟行80米,两人同时从学校和少年宫出发,相向而行,并在离中点120米处相遇。
学校到少年宫有多少米?
2,一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出,汽车每小时行40千米,摩托车每小时行65千米,当摩托车行到两地中点处时,与汽车还相距75千米。
甲、乙两地相距多少千米?
3,甲、乙二人同时从东村到西村,甲每分钟行120米,乙每分钟行100米,结果甲比乙早5分钟到达西村。
东村到西村的路程是多少米?
包含与排除(容斥原理)
专题简析:
集合是指具有某种属性的事物的全体,它是数学中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看作是一个集合,0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合,每一个学生都是这个集合的元素,数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算,把两个集合A、B合并在一起,就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除:
先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起,再“排除”A、B两集合的公共元素的个数,减去加了两次的元素,即:
C=A+B-AB。
在解包含与排除问题时,要善于使用形象的图示帮助理解题意,搞清数量关系的逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系,用了适当的图形就显得很直观、很清楚,因而容易进行计算。
例1五年级96名学生都订了报纸,有64人订了少年报,有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人?
分析用左边的圆表示订少年报的64人,右边的圆表示订小学报的48人,中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。
显然,两种报刊都订的人数被统计了两次:
64+48=112人,比总人数多112-96=16人,这16人就是两种报刊都订的人数。
练习一
1,一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业,有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人?
2,五年级有122人参加语文、数学考试,每人至少有一门功课得优。
其中语文得优的有65人,数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人?
3,某班有50名学生,在一次测验中有26人满分,在第二次测验中有21人满分。
如果两次测验都没得过满分的学生有17人,那么,两次测验都得满分的有多少人?
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