第二章集合与不等式21数集和集合.docx
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第二章集合与不等式21数集和集合
第二章 集合与不等式
数学是以数量的形式,来反映和表示客观现实世界的规律的,因此在第一章我们首先学习数的运算.现实世界中的平衡关系,在数学上表现为相等;不平衡关系,则表现为不等.客观现实世界是不断发展的,原来的平衡关系,在发展中会变为不平衡,因此可以说,平衡是相对的,而不平衡是绝对的.这就给数学提出了一个任务:
除了研究相等关系外,还必须十分重视不等关系的研究.不等关系在数学上用不等式表示.本章学习的就是不等式的解法及其解集,这是数学和其它学科的基础.
§2.1 数集和集合
预备知识
基本数集
一元一次不等式的解
重点
集合的基本概念
集合的运算关系
难点
子集和真子集
学习要求
理解集合是一个一般的概念
理解集合与元素、集合与集合之间的关系,掌握集合交、并、补
运算
在解不等式中,数集的概念是必不可少的,所谓解各类不等式,其实就是在求它们的解集,而解集就是一个数集.在本节中,先介绍一下集合的一般概念,然后把数集及其有关概念,作一个小结,并在此基础上,补充一些相关知识.
1.集合的基本知识
(1)集合
集合是一个一般的概念.一个集合,是有限或无限个具有某种属性的事物的总体;构成集合的每一个事物,称为元素.例如你所在的班级就是一个集合,班上每一位同学就是班级这个集合的元素;本校的所有班级也是一个集合,校内每个班级就是本校班级这个集合的元素.通常用一个大写的西文字母标识一个集合,例如你所在的班级的集合表示为A,本校班级的集合表示为B等等.集合内的元素通常用小写的西文字母表示,例如集合A的元素的通用标识是x,x既可以表示你,也可以表示你班的任何一位同学.一个事物若是集合内的元素,则说事物属于集合,“属于”用符号“”表示,例如学生王明是你班级的同学,则王明A;一个事物若不是集合内的元素,则说事物不属于集合,“不属于”用符号“”,例如学生赵伟不是你班级的同学,则赵伟A.
(2)集合的表示
说到一个集合,总是包含两方面的内容:
第一,构成集合的事物,也就是元素x是什么(例如学生,班级),第二,构成集合的事物具有怎样性质(例如你所在班级的学生,本校的班级),也就是具有怎样属性的事物才属于集合.
①集合构成的两个基本原则
从描述集合元素属性来讲,可以用各种不同的方式来描述属于集合的元素的属性,但不论怎样,你的描述必须符合确定性原则,即根据属性能判定某事物是否是集合内的元素.象上面提到的集合A,B的属性表达是正确的:
任何一个人x,只要是学生,且在你所在的班级,则x是A内的元素,否则就不是;任何一个团体x,只要是一个班级,且这个班级是本校的,则x是B内的元素,否则就不是.象下面这种说法,就不是构成集合的事物的属性描述:
本校身高170cm左右的男学生;本校男生数与女生数大致相等的班级.
从集合元素方面来讲,还有一个互异性原则,即相同的元素只能算做一个元素.例如
A={本校三好生或优秀学生干部},
如果有一位学生既是三好生,又是优秀学生干部,在集合A内只能算是一个元素.
②集合的表示法
表示集合的最直接方法,是干脆把所有元素列出来,并且用一对“{}”引住,例如
A={张三,李四,王五,.....};
B={99届机械1班,99届机械2班,2000届计算机1班,
2000届秘书1班,....}.
这种方法称为列举法.当然列举法仅适用于元素个数较少的集合.如果元素个数很多甚至无限个(集合元素个数仅有有限个,称为有限集,否则称为无限集),通常采用描述法来表示一个集合,它的一般形式是
集合标识符={元素及其特征描述},
或 集合标识符={元素含义|元素特征描述},
或 集合标识符={元素标识符|元素特征描述}.
例如 A={机械1班的全部学生},
A={学生|学生机械1班},
A={x|x是机械1班学生}.
课内练习1
1.用标识符A表示元素是苹果、香蕉、梨、柑橘、西瓜的集合.
2.用标识符B表示所有你校年龄不小于15周岁的男学生组成的集合.
3.下列特性描述能否构成集合:
(1)C={x|x是本校健康状况良好的学生};
(2)D={经常出差的业务员};
(3)D={职工|在本校工作};
(4)E={x|x本校书法兴趣小组};
(5)F={王强}.
2.数集
如果集合的元素是数,则称为数集.
(1)基本数集
数集的概念你不应该感到陌生,在第一章中不就总结了你在初中阶段所接触到的一些数集了吗?
如N是自然数集,Z是整数集,Q是有理数集,最后R是实数集等等.这些数集称为基本数集.用特征法表示这些数集,就是:
N={0,1,2,3,4,....};
N={0和所有正整数};
N={x|x=0或x是1的正整数倍};
Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...};
Z={自然数和它的相反数};
Z={x|x=0或正整数或负整数};
Z={x|xN或-xN};
Q={整数或循环小数};
Q={x|x=
p,qZ;q0;p,q既约};
还有一些是与基本数集相近的常用数集,如
N+={1,2,3,4,...}={x|x是1的正整数倍};
R+={x|xR,x0}.
(2)一般数集
首先回忆一下求解一元一次不等式问题.
求解不等式3x<15,得x<5,即小于5的一切实数都能满足不等式,这是由属性“x是实数,且小于5”所限定的实数的一部分,它是一个数集,不妨记作A,在实数轴上表示这个数集,是图2-1
(1)的形式;求解不等式2x+3-9,得x-6,即不小于-6的一切实数
都能满足不等式,这是由属性“x是实数,
且不小于-6”所限定的实数的一部分,它也
是一个数集,不妨记作B,在实数轴上表示
这个数集,是图2-1
(2)的形式(注意两张图上
空心圆点和实心圆点含义的区别,实心表示
集合中含有该点,空心则表示集合中不含该点).称集合A,B、即由满足不等式的全部值构成的集合,为不等式的解集.
不等式的解集常常是某个基本数集的一部分,对这种非基本数集的元素的属性说明,应该由两部分构成:
第一部分说明元素取自哪个基本数集,第二部分说明元素在基本数集中的的属性.例如
C是不大于1000、不小于-20的整数集合,则C={x|xZ;-20x1000};
D是绝对值大于20的实数集合,则D={x|xR;|x|>20};
A是不等式3x<15的解集,则A={x|xR,x<5};
B是不等式2x+3-9的解集,则B={x|xR,x-6}.
在具体问题中,若基本数集是实数集,元素的基本数集属性可以不写,例如可以把D写成D={x||x|>20},A写成A={x|x<5},B写成B={x|R,x-6}.但如果实际问题不是在实数范围内求解,那元素的基本数集属性是不能随便缺省的.例如,若干人分100元,每人不少于3元,问可以分给多少人?
用x表示人数,这是一个简单的不等式问题
3x100,
解得x33
,你不能答解集是(-,33
)吧?
解集应该是{x|xN,0 课内练习2 1.把下列描述的数集,用特征法表示 (1)数集B是平方等于1的全体; (2)数集A是大于0、不大于5的奇数; (3)方程2x2-4x+3=0在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有 理数集内的解集C,在实数集内的解集D; (4)不等式0<3x+612在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在 有理数集内的解集C,在实数集内的解集D. 2.求下列不等式的解集,并在数轴上表示出来: (1)2x+37; (2)-3x-2>6;(3)x+63x+8;(4)5x+3<-2x-4. 3.集合的运算 (1)交集 在初中,你也学习过解一元一次不等式组,例如解不等式组 x+16 (1) 2x-315 (2) 解 (1)得到解集A={x|x5},解 (2)得解集B={x|x9}.不等式组的解,应使 (1), (2)同时满足,也即x既要属于 (1)的解集A,也要属于 (2)的解集B,因此不等式组的解是A,B的公共部分,不难写出公共部分是C={x|5x9},我们称由A,B的公共部分组成的C为A,B 的交集.所谓“交”就是相交的意思, 如果在数轴上表示数集A,B,那么 “相交”的意义再直观不过了(见图2-2). 一般地,设A,B是两个集合,A,B的公共部分组成的集合C称为A,B的交集,记作C=A∩B.根据交集的构成, A∩B={x|xA且xB}(2-1-1) 集合的交是一种运算,运算的对象是集合,“∩”是运算符,运算结果得到交集.集合的交运算可以形象地以图2-3表示. 例1求下列集合的交集: (1)A={2,4,7},B={-2,1,2,4}; (2)A={等腰三角形},B={直角三角形}, (3)A={x|x-1},B={x|x>-4}. 解 (1)A∩B={2,4}▌ (2)A∩B={等腰直角三角形}▌ (3)A∩B={x|-4 2-4)▌ 再来看一个例子.A={x|x-1}, B={x|x>2},求交集A∩B.你能发 现,A,B根本没有公共元素(见图2-5), 因此它们的交集没有元素,是空的.我们称没有元素的集合为空集;空集用一个特定的记号‘’表示,所以 A∩B=. (2)并集 对例1 (1),若把集合A和集合B的元素合并,得到一个新的集合D={-2,1,2,4,7}.集合D的元素与交集C不同,它不是由既属于A、又属于B的元素构成,而是属于A或属于B的元素构成.称这样构成的集合D为集合A,B的并集,“并”的意思也就是“合并”. 一般地,设A,B是两个集合,称由A,B的全部元素构成的集合D为A,B的并集,记作D=A∪B.根据并集的构成,即 A∪B={x|xA或xB}(2-1-2) 集合的并也是一种运算,运算的对象是集合, “∪”是运算符,运算结果得到并集.集合的并 运算可以形象地以图2-6表示. 例2求下列集合的并集: (1)A={x|x3},B={x|x-3}; (2)A={班内全体男生},B={班内全体女生}; (3)A={x|x3},B={x|0 解 (1)A∪B={x|x-3或x3},(见图2-7 (1))▌ (2)A∪B={全班学生}▌ (3)A∪B={x|x>0},(见图2-7 (2))▌ 课内练习3 1.求下列不等式组的解集,并在数轴上表示出来: (1)2x+5>7 (2)1<2x+410;(3)x+6<1 x+110;-2x+3>0. 2.A={x|x是今年天下雨的日子},B={x|x是今年天阴的日子}.求A∪B, A∩B. 3.C={某商场内单价不高于2500元的洗衣机},D={同一商场内单价在1000 元到2000元之间的洗衣机}.求A∪B,A∩B. 4.求下列两个数集的交集和并集,并在数轴上表示出来: (1)A={xx1},B={xx> }; (2)C={t-1t<3},D={tt5}; (3)E={y4y-1.5},F={yy1.5};(4)A={x2 (5)A={y2 4.集合的关系 (1)数集的包含关系与子集 根据数的含义,我们知道有这样关系: x是自然数x是整数x是有理数x是实数, 但所有的箭头反过来是不对的,例如,肯定有整数(负整数)不是自然数.从数集的角度来看,表示 xNxZ,存在xZ但xN (1) 这样的关系可以说成: 自然数集是整数集的真子集,也可以说成: 整数集真包含了自然数集.我们用符号表示为 NZ,或ZN, 符号“”或“”所表达的意思,就是 (1);采用这两个符号中的哪一个,全看你把真子集写在符号的哪一边. 同理,因为 xZxQ,存在xQ但xZ 所以 ZQ,或QZ; 因为 xQxR,存在xR但xQ 所以 QR,或RQ. 连在一起,可以写成 NZQR或RQZN. 用我们曾经使用过的圆圈形象表示,就是第一章出现过的、如图2-8 (1)的包含图.如果再算上N+,R+,那么还可以有 N+N,R+R或NN+,RR+. 对一般的两个数集或集合A,B,如果具有 (1)那样的关系,即 xAxB,且存在xB但xA (2-1-3) 那么,称数集A为数集B的真子集,记作 AB或 BA, 用圆圈形象表示的图象是图2-8 (2). 空集是一切非空数集的真子集. 例3讨论下列集合的包含关系: (1)A={本年天阴的日子},B={本年天下雨的日子}; (2)A={x|x本班且所有各门课成绩都不低于90分},B={x|x本班且仅有数学成绩不低于90分}; (3)A是不等式2x+52的解集,B是不等式x+5<3的解集. 解 (1)因为雨天必定是阴天,但阴天未必下雨,所以BA▌ (2)因为xAx的各门课成绩都不低于90分x的数学成绩都不低于90分xB;但存在xBx仅数学成绩不低于90分xA.所以 AB▌ (3)解不等式2x+52,得A={x|x-1.5}; 解不等式x+5<3,得B={x|x<-2}.当xB x<-2x-1.5xA;当x=-1.6 xA但xB.所以AB(见图2-9)▌ 现在把例3 (2)的集合B改为B={x|x本班且数学成绩不低于90分},就有两种可能: 第一种,有数学成绩不低于90分而其它课程低于90分的学生,此时仍然有AB;第二种,所有数学成绩不低于90分的学生,其它课程成绩也都不低于90分,此时就不存在属于B而不属于A的学生了.对于这种吃不准的情况,我们只能有把握说,若xA则xB,但不能有把握说,存在xB但xA.这是两个集合之间的另一种关系,称为包含. 两个集合(包括数集)A,B,若 xAxB(2-1-4) 则称A为B的子集,称B包含A或A被B包含,记作AB或BA. (2)集合的相等关系 若构成两个集合A,B的元素完全相同,则称集合A,B相等,记作A=B. 从包含关系来看,若A=B,则A包含B,B也包含A,因此也可以说,若AB且BA,则称A,B相等. 课内练习4 1.用“”,“”,“”,“”,“=”连接下列数集对: (1)A={1,2,3,4},B={0,1,2,3,4,5}; (2)A={a,b,c|a,b,cR},B={c,b,a|a,b,cR}; (3)A={x|1 (4)C={x|x为无限循环小数},D={x|x= qN+,pZ}; (5)A={x|x本校田径队},B={x|x本校长跑队}; (6)C={x|x十一月份公休日},D={x|x十一月份的星期六或星期天}; (7)A1是不等式-53x-25在自然数集中的解集,B1是不等式-63x-26中 的解集. (3)数集的互补关系 在实数范围内,给出两个集合A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},则容易验证AB=R,AB=.因为我们考虑的范围是实数,也就是说R是全部,这样的两个A,B就有一个特殊性质: 它们没有公共元素,而并正好就是全部,因此称A,B是互补的. 在一般情况下,若我们考虑的集合范 围是U,则把U也看作一个集合,称其为 全集;若集合A,B具有性质: AB=U, AB=,则称A是B关于U的补集,B是 A关于U的补集,即A,B关于U是互补的, 记作A=CUB,B=CUA,用图象表示,可以表 示为图2-10那样.例如上面提到的有理数集A和无理数集B,就是关于实数集R是互补的,即A=CRB,B=CRA. 怎样的集合才有资格称作全集,并无明确的规定,要看实际问题的含义.例如我们考虑的范围是本校,则本校全体学生就是全集,即全集是T={x|x本校};若E={x|x是本校女生},F={x|x是本校男生},则E=CTF,F=CTE. 课内练习5 1.填空: (1)A={x|x>0,xR},CRA=; (2)D={x|x0,xR},CRD=; (3)CNN+=; (4)B={x|xZ,-100 (5)U={x|x=k,kZ},A={x|x=2k,kZ},CUA=; (6)U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,4,7},CUA=; 2.A={晚餐菜肴},B={晚餐主食},求一个集合U,使A,B关于U是互补 的. 课外习题 A类 1.用标识符A表示元素是铅笔、纸张、钢笔、直尺、橡皮、圆珠笔的集合. 2.用标识符B表示所有你校年龄大于16周岁的女学生组成的集合. 3.下列特性描述能否构成集合: (1)C={x|x是本班视力良好的学生}; (2)D={校内喜欢体育的学生}; (3)D={职工|在本校工作}; (4)E={x|x本校美术兴趣小组或x本校篮球队}; (5)F={班内不叫王强的学生}. 4.把下列描述的数集,用特征描述法表示: (1)数集B是平方不等于81的全部自然数; (2)数集A是小于0或大于10的奇数; (3)方程x2-5x+6=0在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有理 数集内的解集C,在实数集内的解集D; (4)不等式2x+71在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有理 数集内的解集C,在实数集内的解集D,并把D表示在数轴上. 6.求下列不等式组的解集,并在数轴上表示非空解集: (1)3x+5>-1 (2)6<2x+412;(3)x-61 x+10;-2x+3<0. 6.A={x|x是今年的法定假日},B={x|x是今年星期天}.求A∪B,A∩B. 7.C={一班身高不低于1.60m的女同学},D={一班身高在1.55m到1.70m 之间的女同学}.求C∪D,C∩D. 8.A={x|x是出厂期不超过20天且单价在0.50元0.70元的牛奶},B={x|x 是出厂期在10天以内且单价在0.60元0.80元的牛奶}.求A∪B,A∩B. 9.用“”,“”,“”,“”,“=”连接下列数集对: (1)A={-1,0,1,2,3,4},B={0,1,2,3,4}; (2)A={10,20,30},B={30,10,20}; (3)A={x|x>2或x<-2},B={x|x2或x<-2}; (4)C={x|x是1的正整数倍},D=N+; (5)A1是不等式2x-15的解集,B1是不等式3x-2<5的解集; 10.填空: (1)A={x|x0,xR},CRA=; (2)D={x|x=0},CRD=; (3)V={x|xZ,x>0},CZV=; (4)B={x|xZ,-100 (5)U={0,1,4,5,6,7,9},A={0,1,4,5,7},CUA=; 11.把下面集合对用“”,“”,“”,“”,“=”连接: (1)A={x|x本校运动队},B={x|x本校体操队}; (2)C={x|x本班三好生},D={x|x本班所有课程都及格的学生}; 12.A={含酒精的饮料},B={不含酒精的饮料},求一个集合U,使A,B关 于U是互补的. B类 1.把下列描述的数集,用特征描述法表示 (1)B是以 的整数倍为元素构成的数集; (2)数集A是奇数,但不是3的整数倍; (3)方程2x2-5x- =0在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在 有理数集内的解集C,在实数集内的解集D; (4)不等式-5x5在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有理 数集内的解集C,在实数集内的解集D. 2.用“”,“”,“”,“”,“=”连接下列数集对: (1)A是不等式2x+1>3的解集,B是不等式x+12的解集; 的解集; A是不等式x+1>9的解集,B是不等式 (2)x+19 x+19 (3)C是不等式11+2x5在自然数集内的解集,D是不等式11+2x6在 自然数集内的解集. 3.写出数集A={0,1,2,3}的所有的真子集. 4.设A={x|x=2k-1,kZ},B={x|x=5k,kZ},求B∩CNA. 5.设A={x|x3},求A∩R,A∩,CRA,A∩CRA,A∪CRA. 6.把下面集合对用“”,“”,“”,“”,“=”连接: (1)A={x|x乐器},B={x|x钢琴}; (2)C={x|x笔盒内的笔},D={x|x笔盒内的铅笔或钢笔或圆珠笔}; 7.A=CUD,B=CUE.若DE,那么A与B有怎样的包含关系? C组 1.如图,矩形表示的U是全集,圆圈表示的 A,B是U的两个子集,试用阴影表示出集合 (1)CUA∩CUB, (2)CUA∪CUB. 2.若CUAA,求A. 3.设A,B是非空集,证明CUA∪CUB=CU(A∩B), CUA∩CUB=CU(A∪B). 4.设A={本班级数学成绩和语文成绩都不低于90 分的男同学},求A的关于{本班级全体学生}的补集. 5.设A={本班级数学成绩或语文成绩都不低于90分的男同学},求A的关 于{本班级全体学生}的补集. 6.设U={本班级全体学生},B=CUA={本班级身高超过1.80m且各门课程 成绩都不低于75分的男学生},求A.
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