毕业论文矩阵初等变换的若干应用.docx
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毕业论文矩阵初等变换的若干应用
矩阵初等变换的若干应用
Someapplicationsofelementary
transformationofmatrix
专业:
数学与应用数学
作者:
指导老师:
学校
二O一
本文介绍了矩阵初等变换在高等代数中的一些应用,总结了其在求矩阵和向量组
的秩、求逆矩阵、化二次型为标准形、求解矩阵方程以及求一元多项式最大公因式中的应用.
关键字:
初等变换;秩;逆矩阵;标准形;矩阵方程;最大公因式
Abstract
Inthispaper,weintroducesomeapplicationsofelementarytransformationofmatrixinalgebra,andsummarizestheapplicationsofelementarytransformationofmatrixintherankofamatrixandvector,theinversematrix,changingquadraticformasthestandardform,solvingthematrixequationandthemonadicpolynomialgreatestcommonfactor.
Keywords:
elementarytransformation;rank;inversematrix;standardform;matrixequation;greatestcommonfactor
0引言1
1矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念1
2用初等变换求矩阵和向量组的秩2
3用初等变换法求逆矩阵3
4用初等变换化二次型为标准形4
5用初等变换求解矩阵方程5
5.1当A,B可逆时线性矩阵方程AXB的解5
5.2当A,B不可逆时线性矩阵方程AXB的解6
11
6用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法8
参考文献
0引言
矩阵理论是代数的主要内容之一,在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在
矩阵的应用中,矩阵的初等变换起着关键作用.关于矩阵初等变换的应用,前人已经得出了很多有价值的结论,本文在前人理论的基础上对矩阵的初等变换在代数中的若干应用进行了一些讨论•归纳了初等变换在求矩阵和向量组的秩,矩阵的逆,化二次
型为标准形,线性矩阵方程的解以及求一元多项式的最大公因式等方面的应用.
1矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念
我们先来看看有关矩阵初等变换和初等矩阵的相关知识:
(1)对矩阵施以以下三种变换,称为矩阵的初等变换:
(i)交换矩阵的两行(列);
(ii)以一个非零数k乘矩阵的某行(列);
(iii)矩阵的某行(列)加上另一行(列)的k倍•
(2)矩阵的初等变换用如下形式表示:
(i)交换矩阵的第i行(列)与第j行(列):
rirj或q5;
(ii)非零常数k乘矩阵的第i行(列):
kri或g;
(iii)矩阵的第i行(列)加上第j行(列)的k倍:
ri或qkCj.
(3)初等矩阵
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,共3类:
(i)P(i,j)――交换E的第i行与第j行(或第i列与第j列)得到的初等矩阵;
(ii)P(i(k))(或P(j(k)))――用数域P中的非零数k乘E的第i行(或第j列)
得到的初等矩阵;
(iii)P(i,j(k))――把E的第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加到j列)得
到的初等矩阵.
2用初等变换求矩阵和向量组的秩
由于初等变换不改变矩阵的秩,且任意一个mn矩阵均可以经过一系列行初等变
换化为mn梯形矩阵;因此,我们要确定一个矩阵的秩,首先要用行初等变换将其化
为梯形矩阵
然后再由梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩•
3
1
4
2
2
例1设A
1
0
1
1
0
J
求矩阵A的秩.
1
2
1
3
4
1
4
3
3
0
3
1
4
2
2
「1
3「2
0
1
1
12
1
0
1
1
0
「3
「2
1
0
1
10
解A
r4
r2
1
2
1
3
4
0
2
2
24
1
4
3
3
0
0
4
2
20
r3
1
0
1
1
0
r4
4r.
r1r2
1
r3r4
0
1
1
1
2
0
0
2
6
8
0
0
0
0
0
因此矩阵A的秩为3.
如果我们要求向量组的秩,可以把每一向量作为矩阵的一行,从而向量组就转化
为了一个矩阵,使求向量组的秩转化成求矩阵的秩,自然使问题简单化了•
例2求向量组
i(1Q2,4),2(1,3,1,2),3(3,1,5,4),4(1,1,2,0),5(2,1,5,3)
的秩•
解以1,2,3,4,5为列,构造矩阵A,再对A进行行初等变换,化为梯形矩阵:
1
1
A(1,2,3,4,5)
0
3
2
1
4
2
312
111
525
403
r32r1
r44r1
1
1
3
1
2
1
1
3
1
2
0
3
1
1
1r
r10
23r3r46r3
0
2
13
4
0
1
1
4
1
0
1
1
4
1
0
6
16
4
11
0
0
10
20
17
1
1
3
1
2
「23
「45r3
0
1
1
4
1
0
0
2
13
4
0
0
0
85
37
因此,矩阵A的秩是4,
从而向量组
1,2,3,
4,
5的秩也是
4.
3用初等变换法求逆矩阵
如果A是n阶可逆矩阵,我们将A与E并排放到一起,形成一个n2n的矩阵
(A|E),因为A1(A|E)(E|A1),所以对矩阵(A|E)作一系列行初等变换,将其左
例3设A
2
4
1
求A1.
1
1
1
1
5
2
1
0
0r22r-i
1
5
2
10
0
解(A|E)
2
4
1
0
1
0r3r1
0
6
3
21
0
1
1
1
0
0
1
0
4
1
10
1
i
10
1
2
2
5
0
$4r2ri5r2
1r1r3
2
1「2b
1
0
0
2
0
1
0
00
001
222
1
1
1
1
2
2
2
因此,A1-
1
1
6
6
2
1
2
1
3
3
1
同理,如果A是
n阶可逆矩阵,我们将A与E并列放到一起,形成一个2nn的
矩阵a,因为A1A;,所以对矩阵a作一系列列初等变换,将其上半部分
化为单位矩阵,这时下半部分就是A1.用初等变换法求逆矩阵是一种通用而较简便的方法.正确地选择和使用它们能更快更好地解决各类求逆矩阵问题.
4用初等变换化二次型为标准形
对任意二次型f(Xi,X2,,Xn)XAX—定存在可逆非退化线性替换XCY将其化为标准形,即为对称矩阵A找一个可逆矩阵C,使得CACD为对角矩阵,而可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积,所以存在初等矩阵R,P2,,Ps有CRP2Ps,从而有PsP2RARP2PsD是一个对角矩阵•
由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下:
首先,写出二次型的矩阵,构造2nn矩阵A,然后对矩阵A每进行一次行初
EE
等变换后,就对A进行一次同样的列初等变换,当矩阵A化为对角矩阵时,单位矩
E
阵E将化为可逆矩阵C,此时CACD,最后得到可逆矩阵C和非退化线性变换
XCY,在这个变换下二次型化为标准形fYDY.
例4化二次型
为标准形.并写出所用的非退化线性替换
232
的步骤可知:
1
2
2
1
0
0
2
0
3
「22r1
C22q
0
4
1
A=
2
3
2
r32「1
C32q
0
1
2
E
1
0
0
1
2
2
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
Xi126yi
从而非退化线性替换为x2011y2,原二次型化为fy:
4y;28yf.
X3004ya
在运用矩阵初等变换来化二次型为标准形的关键:
对矩阵A进行的行初等变换
E
和列初等变换必须是一致的•
5用初等变换求解矩阵方程
5.1当A,B可逆时线性矩阵方程AXB的解
我们知道AXB的解为XA1B.实际上就是计算形如A1B的矩阵乘积,因为
A1(代B)(E,A1B),所以经过行初等变换可使(代B)化为(E,A1B),也即对n2n矩
阵(A,B)作初等行变换,当A处变成单位矩阵E时,B处得到的矩阵就是A1B.
例5求解矩阵方程AXB,其中
5.2当A,B不可逆时线性矩阵方程AXB的解
当A,B不可逆时我们将要用到新的初等变换法来解这种矩阵方程.
定理5.2.1如果矩阵方程AXB有解,且可逆矩阵P和Q使PAQEr0,那
00
pb
么该矩阵方程的通解为XQ,其中P为P的前r行组成的矩阵,X1中的元素可
Xi
以任意取值.(证明见参考文献⑸)
以上定理可给出求解矩阵方程AXB的具体方法:
(1)把A,B,E放到一起,组成一个矩阵(代B,E),然后对其做初等行变换,使得
经过行变换后得到矩阵(A1,B1,P),其中A1是上阶三角矩阵,从而可确定矩阵A和矩阵(A,B)的秩,判断方程是否有解,同时取P的前面r行作成P,它满足PA几,且
PB为B1的前r行.
AD
(2)如果上述方程有解,则对A1作初等列变换.经过列变换后变成其中
EQ
DEr0,必有PAQD.00
(A,B,E),如下:
1
2
0
11
2
31
0
0
0
(A,B,E)
2
4
1
41
8
110
1
0
0
J
1
2
1
30
16
80
0
1
0
3
6
1
52
:
10
140
0
0
1
然后对其作一系列初等行变换
使得A为上三角矩阵
即
1
2
0
1
1:
23
1
0
0
0
行变换行变换0
0
1
2
1-
45
2
1
0
0
(A启,P)
0
0
0
0
0|
00
1
1
1
0
0
0
0
0
0|
00
1
1
0
1
很明显,矩阵A和矩阵(A,B)的秩都是
2,
故该方程有解.
取P=
100
0
1
23
氏作初等列变换
E
210
0
J
有PB=
1
45,
接卜来对
1
2
0
1
1
0
0
0
0
0
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A
0
0
0
0
列变换
0
0
0
0
E
1
0
0
0
1
0
2
J
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
2
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
2
1
经过列变换后我们可得到Q0
0
1
0
0
1
0
2
0
0
0
1
从而,由定理5.2.1知,该方程的通解为
1
0
2
1
1
2
3
PB
0
0
1
0
1
4
5
XQ
X1
0
1
0
2
X2
X3
0
0
0
1
X4
x5
X6
1
2
3
2
1
0
0
0
1
0
X1
1
4
5
0
2
0
0
0
0
1
其中X1是任意的23矩阵.
矩阵方程XAB的通解公式和解法与上面类似(详见参考文献[2]或⑸),应用矩阵的初等变换来求解矩阵方程具有很大优点,不但通俗易懂,而且容易掌握•
6用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法
求一元多项式最大公因式的方法,目前最常用的方法是辗转相除法和因式分解法.
下面给出用矩阵及其初等变换来求一元多项式的最大公因式,而且方便快捷.
fl(x)f2(x)
定理6.1设f!
(x),f2(x)P[x],令A(x)10,则对A(x)实施一系列
01
d(x)0
初等列变换后得B(x)u1(x)*1,此时4&)比&)f2(x)u2(x)d(x),且d(x)是
U2(X)*2
f1(X)与f2(X)的最大公因式.
证明若f,x)、f2(x)不全为零,则必有一个次数相对较低的多项式,不妨设为
f1(x),对A(x)进行初等列变换,第一列乘以一个适当的多项式加到第二列上,消去
f2(X)的最高项,由于fi(X)、f2(X)的次数有限,重复上述过程,必然出现矩阵中第一
d(x)0
行只有一个非零元,而其它均为零的情形,即B(x)ui(x)*1.
U2(X)*2
以上对A(x)所实施的变换,即存在初等矩阵P(x)Pl(X)P2(X),使得
P3(X)P4(X)
设矩阵P(X)的逆矩阵为Pi(x)qi(X)q2(X),显然Pi(x)也是初等矩阵,由于
q3(X)q4(X)
(X)
A(x),
即
0
fi(x)
f2(X)
qi(x)
q2(x)
*
i
i
0
q3(x)
q4(x)
*
2
0
i
B(x)A(x)P(x).因而B(x)P
d(x)
ui(x)
U2(x)
于是d(x)qi(x)fi(x),d(x)q2(x)f2(x),从而d(x)是fi(x)与f2(x)的公因式,从而可知:
d(x)是fi(x)与f2(x)的最大公因式.
例7求f(x),g(x)的最大公因式,其中
f(X)X4
2x3
2X
4x
2,g(x)x4
x3
x22x2
f(x)
g(x)
x4
2x3
x2
4x
2x4x3
x2
2x2
解A(x)
i
0
i
0
0
i
0
i
2
x2(x1)f(x)(x2)g(x).
上述方法可灵活运用,不一定必须用次数最低的多项式去消其它多项式.也可以
用次数较高的多项式去消次数更高的多项式,以达到逐渐消去各多项式最高项,使第一行只剩下一个非零元素的目的.以上方法只讨论了列的情形,行的情形与列相同,此时A(x)[以]10,行初等变换的结果是第一列只剩下一个非零元素,该元素f2(x)01
即为多项式的最大公因式(详见参考文献[2]).
对于求两个多项式的最大公因式,辗转相除法是一种比较好的方法,但对于求多个多项式的最大公因式,辗转相除法在理论上可行,在实际操作中却是非常繁琐的.本文介绍的方法,对求多个多项式的最大公因式是一种行之有效的方法.
致谢本文是在的指导和帮助下完成的,在此对汪教授表示衷心的感谢
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