复杂电阻网络的处理方法之欧阳史创编.docx
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复杂电阻网络的处理方法之欧阳史创编
复杂电阻网络的处理方法
时间:
2021.02.10
创作:
欧阳史
一:
有限电阻网络
原则上讲解决复杂电路的一般方法,使用基尔霍夫方程组即可。
它包含的两类方程出自于两个自然的结论:
(1)对电路中任何一个节点,流出的电流之和等于流入的电流之和。
电路中任何一个闭合回路,都符合闭合电欧姆定律。
下面我介绍几种常用的其它的方法。
1:
对称性简化
所谓的对称性简化,就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的计算。
它的效果是使计算得以简化,计算最后结果必须根据电阻的串、并联公式;电流分布法;极限法等来完成。
在一个复杂的电路中,如果能找到一些完全对称的点,那么当在这个电路两端加上电压时,这些点的电势一定是相等的,即使用导线把这些点连接起来也不会有电流(或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响),充分的利用这一点我们就可以使电路大为简化。
例
(1)如图1所示的四面体框架由电阻都为R的6根电阻丝连接而成,求两顶点A、B间的等效电阻。
图1图2
分析:
假设在A、B两点之间加上电压,并且电流从A电流入、B点流处。
因为对称性,图中CD两点等电势,或者说C、D间的电压为零。
因此,CD间的电阻实际上不起作用,可以拆去。
原网络简化成简单的串、并联网络,使问题迎刃而解。
解:
根据以上分析原网络简化成如图2所示的简单的串、并联网络,由串、并联规律得
RAB=R/2
例
(2)三个相同的金属圈两两正交地连成如图所示的形状,若每一个金属圈的原长电阻为R,试求图中A、B两点之间的等效电阻。
图3图4图5
分析:
从图3中可以看出,整个电阻网络相对于AB的电流流入、流出方式上具有上下对称性,因此可上下压缩成如图所时的等效减化网络。
从如图4所示的网络中可以看出,从A点流到O电流与从O点到B电流必相同;从A1点流到O电流与从O点到B1电流必相同。
据此可以将O点断开,等效成如图5所示的简单网络,使问题得以求解。
解:
根据以上分析求得RAB=5R/48
例(3)如图6所示的立方体型电路,每条边的电阻都是R。
求A、G之间的电阻是多少?
分析:
假设在A、G两点之间加上电压时,显然由于对称性D、B、E的电势是相等的,C、F、H的电势也是相等的,把这些点各自连起来,原电路就变成了如图7所示的简单电路。
解:
由简化电路,根据串、并联规律解得RAG=5R/6
(同学们想一想,若求A、F或A、E之间的电阻又应当如何简化?
)
例(4)在如图8所示的网格形网络中,每一小段电阻均为R,试求A、B之间的等效电阻RAB。
图8图9
图10图11
分析:
由于网络具有相对于过A、B对角线的对称性,可以折叠成如图9所示的等效网络。
而后根据等电势点之间可以拆开也可以合并的思想简化电路即可。
解法(a):
简化为如图9所示的网络以后,将3、O两个等势点短接,在去掉斜角部位不起作用的两段电阻,使之等效变换为如图10所示的简单网络。
最后不难算得
RAO=ROB=5R/14
RAB=RAO+ROB=5R/7
解法(b):
简化为如图所示的网络以后,将图中的O点上下断开,如图11所示,最后不难算得
RAB=5R/7
2:
电流分布法
设定电流I从网络A电流入,B电流出。
应用电流分流思想和网络中任意两点之间不同路径等电压的思想,建立以网络中的各电阻的电流为未知量的方程组,解出各电流I的比例关系,然后选取A到B的某一路经计算A、B间的电压,再由RAB=UAB/IAB即可算出RAB
例:
有如图12所示的电阻网络,求A、B之间的电阻RAB
分析:
要求A、B之间的电阻RAB按照电流分布法的思想,只要设上电流以后,求得A、B间的电压即可。
图12
解:
设电流由A流入,B流出,各支路上的电流如图所示。
根据分流思想可得
I2=I-I1
I3=I2-I1=I-2I1
A、O间的电压,不论是从AO看,还是从ACO看,都应该是一样的,因此
I1(2R)=(I-I1)R+(I-2I1)R
解得I1=2I/5
取AOB路径,可得AB间的电压
UAB=I1*2R+I4*R
根据对称性
I4=I2=I-I1=3I/5
所以UAB=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5
RAB=UAB/I=7R/5
这种电流分布法事实上已经引进了基尔霍夫定律的思想,所以有一定的一般性。
3:
YΔ变换
复杂电路经过YΔ变换,可以变成简单电路。
如图13和14所示分别为Δ网络和Y网络,两个网络中得6个电阻满足怎样的关系才能使这两个网络完全等效呢?
所谓完全等效,就是要求
Uab=Uab,Ubc=Ubc,Uca=Uca
Ia=IA,Ib=IB,Ic=IC
在Y网络中有
IaRa-IbRb=Uab
IcRc-IaRa=Uca
Ia+Ib+Ic=0
图13图14
解得Ia=RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)
在Δ网络中有
IAB=UAB/RAB
ICA=UCA/RCA
IA=IAB-ICA
解得IA=(UAB/RAB)-(UCA/RCA)
因为要求Ia=IA,所以
RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)=(UAB/RAB)-(UCA/RCA)
又因为要求Uab=UAB,Uca=UCA所以要求上示中对应项系数相等,即
RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/Rc-----------------
(1)
RCA=(RaRb+RbRc+RcRa)/Rb------------------
(2)
用类似的方法可以解得
RBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/Ra--------------------(3)
(1)、
(2)、(3)三式是将Y网络变换到Δ网络的一组变换式。
在
(1)、
(2)、(3)三式中将RAB、RBC、RCA作为已知量解出Ra、Rb、Rc即可得到
Ra=RAB*RCA/(RAB+RBC+RCA)-----------------(4)
Rb=RAB*RBC/(RAB+RBC+RCA)-----------------(5)
Rc=RBC*RCA/(RAB+RBC+RCA)-----------------(6)
(4)、(5)、(6)三式是将Δ网络变换到Y网络的一组变换式。
例
(1)求如图15所示双T桥网络的等效电阻RAB。
图15图16
分析:
此题无法直接用串、并联规律求解,需要将双T桥网络中两个小的Y网络元变换成两个小的Δ网络元,再直接用串、并联规律求解即可。
解:
原网络等效为如图16所示的网络,由此可以算得
RAB=118/93Ω
例
(2)有7个电阻同为R的网络如图17所示,试求A、B间的等效电阻RAB。
图17图18
解:
将Y网络O-ABC变换成Δ网络如图18所示
其中RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/Rc=5R
RBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/Ra=5R/2
RCA=(RaRb+RbRc+RcRa)/Rb=5R
这样就是一个简单电路了,很容易算得
RAB=7R/5
4:
电桥平衡法
图19
如图19所示的电路称为惠斯通电桥,图中R1、R2、R3、R4分别叫电桥的臂,G是灵敏电流计。
当电桥平衡(即灵敏电流计的示数为零)的时候,我们称之为电桥平衡。
这时有
I1=I2,I3=I4,I1RI=I3R3,I2R2=I4R4
有这些关系可以得到
R1/R2=R3/R4
上式称之为电桥平衡条件,利用此式简化对称性不明显的电路,十分方便。
例:
有n个接线柱,任意两个接线柱之间都接有一个电阻R求任意两个接线柱之间的电阻。
图20
分析:
粗看本题根本无法求解,但是能充分利用电桥平衡的知识,则能十分方便得求解。
解:
如图20所示,设想本题求两接线柱A、B之间的等效电阻,根据对称性易知,其余的接线柱CDE----中,任意两个接线柱之间的电阻无电流通过,故这些电阻都可以删除,这样电路简化为:
A、B之间连有电阻R,其余(n-2)个接线柱之间仅有电阻分别与A、B两点相连,它们之间没有电阻相连。
即
1/RAB=1/R+1/[2R/(n-2)]
所以RAB=2R/n
二:
无限电阻网络
无限电阻网络分为线型无限网络和面型无限网络,下面我们就这两个方面展开讨论
1:
线型无限网络
所谓“线型”就是一字排开的无限网络,既然研究对象是无限的,就可以利用“无限”这个条件,再结合我们以上讲的求电阻的方法就可以解决这类问题。
例
(1)如图所示的电路是一个单边的线型无限网络,每个电阻的阻值都是R,求A、B之间的等效电阻RAB.
图21
解:
因为是“无限”的,所以去掉一个单元或增加一个单元不影响等效电阻即RAB应该等于从CD往右看的电阻RCD
RAB=2R+R*RCD/(R+RCD)=RCD
整理得RCD2-2RRCD-2R2=0
解得:
RCD=(1+31/2)R=RAB
例
(2)一两端无穷的电路如图22所示,其中每个电阻均为r求a、b两点之间的电阻。
图22图23
解:
此电路属于两端无穷网络,整个电路可以看作是由三个部分组成的,如图所示,则
Rab=(2Rx+r)r/(2Rx+2r)
即是无穷网络,bb1之间的电阻仍为Rx
则Rx=(31/2-1)r
代入上式中解得Rab=(6-31/2)*r/6
例(3)电阻丝无限网络如图24所示,每一段金属丝的电阻均为r,求A、B之间的等效电阻RAB.
图24
图25图26
解:
根据对称性可知,网络中背面那根无限长的电阻丝中各点等势,故可以删去这根电阻丝,这样原网络等效为如图25所示的网络。
又因为网络相对AB连线具有左右对称性,故可以折叠成如图26所示的网络,再利用例
(1)的方法可得
RCD=REF=Rx
即Rx=r/2+r/2+(Rx*r/3)/(Rx+r/3)
解得:
Rx=(3+211/2)r/6
RAB=(2r*Rx/3)/(2r/3+Rx)=2(21)1/2r/21
2:
面型无限网络
解线性无限网络的指导思想是利用网络的重复性,而解面型无限网络的指导思想是利用四个方向的对称性。
例
(1)如图27所示是一个无穷方格电阻丝网络的一部分,其中每一小段电阻丝的阻值都是R求相邻的两个结点A、B之间的等效电阻。
分析:
假设电流I从A点流入,向四面八方流到
无穷远处,根据对称性,有I/4电流由A点流到
B点。
假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面
八方汇集到B点后流出,根据对称性,同样有I/4
电流经A点流到B点。
图27
解:
从以上分析看出,AB段的电流便由两个I/4叠加而成,为I/2因此UAB=(I/2)*r
A、B之间的等效电阻
RAB=UAB/I=r/2
例
(2)有一无限平面导体网络,它有大小相同的正六边型网眼组成,如图28所示。
所有正六边型每边的电阻均为R0,求间位结点a、b间的电阻。
分析:
假设有电流I自a电流入,向四面八方流到无穷远处,那么必有I/3电流由a流向c,有I/6电流由c流向b.再假设有电流I由四面八方汇集b点流出,那么必有I/6电流由f流向c,有I/3电流由c流向b.
解:
将以上两种情况结合,由电流叠加原理可知
Iac=I/3+I/6=I/2(由a流向c)
Icb=I/3+I/6=I/2(由c流向b)
因此ab之间的等效电阻为
Rab=Uab/I=(IacR0+IcbR0)/I=R0
图28
时间:
2021.02.10
创作:
欧阳史
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