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高中数学必修1知识点清单
高中数学必修1知识点
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念:
1
2
、集合的含义:
某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
、集合的中元素的三个特性:
(
1)元素的确定性;
(2)元素的互异性;(3)元素的无序性
说明:
(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的
元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,
不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3
、集合的表示:
{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(
(
(
(
1)用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2)集合的表示方法:
列举法与描述法。
Ⅰ)列举法:
把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
Ⅱ)描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示
某些对象是否属于这个集合的方法。
①
②
(
语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
数学式子描述法:
例:
不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}
3)图示法(文氏图):
4
、常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
5
、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:
a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,
a不属于集合A记作aA
6
1
、集合的分类:
.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1
.“包含”关系———子集
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说两集合有包含关系,称
集合A为集合B的子集,记作AB
注意:
有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
n
集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2.
2
.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
2
实例:
设A={x|x-1=0}
B={-1,1}
“元素相同”
结论:
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元
素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:
A=BAB且BA
①
②
③
④
任何一个集合是它本身的子集。
AA
真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
如果AB,BC,那么AC
如果AB同时BA那么A=B
3
.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1
.交集的定义:
一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
、并集的定义:
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。
记作:
A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
2
3
4
、交集与并集的性质:
A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.
、全集与补集
(
1)全集:
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。
通常
用U来表示。
2)补集:
设S是一个集合,A是S的一个子集(即AS),由S中
(
S
所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)。
记作:
CA,即CA={x|xS且xA}
A
S
S
(
3)性质:
⑴C(CA)=A⑵(CA)∩A=Φ⑶(CA)∪A=U
UUUU
CsA
(4)(CA)∩(CB)=C(A∪B)(5)(CA)∪(CB)=C(A∩B)
U
U
U
U
U
U
二、函数的有关概念
1.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数
x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记
作:
y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫
做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
注意:
1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义
的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)
分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数
式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义
域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义
域还要保证实际问题有意义.
(注意:
求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)
2
、构成函数的三要素:
定义域、对应关系和值域
注意:
(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)。
(
2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法:
①定义域一致;②表达式相同(两点必须同时具备)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基
础。
3
.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)
的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为
坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点
的若干条曲线或离散点组成。
(2)画法:
A、描点法:
根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相
应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法:
常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换
Ⅰ
(
、对称变换:
1)将y=f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:
书上P21例5
1x
a
ya
x
与x
ya
(
(
Ⅱ
2)y=f(x)和y=f(-x)的图象关于y轴对称。
如
3)y=f(x)和y=-f(x)的图象关于x轴对称。
如ylogx与ylogxlogx
a
a
1
a
、平移变换:
由f(x)得到f(xa)
左加右减;
由f(x)得到f(x)a
上加下减
(3)作用:
A、直观的看出函数的性质;B、利用数形结合的方法分析解题的思路;C、提高解题的速度;发
现解题中的错误。
4
.区间的概念
1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
.映射
(
5
定义:
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一
个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的
一个映射。
记作“f:
AB”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a
的象,元素a叫做元素b的原象
说明:
函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则
有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;
③
对于映射f:
A→B来说,则应满足:
(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一
的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元
素在集合A中都有原象。
6
、函数的表示法:
常用的函数表示法及各自的优点:
函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图
象的依据:
作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。
1
2
3
4
解析法:
必须注明函数的定义域;
图象法:
描点法作图要注意:
确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;
列表法:
选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意:
解析法:
便于算出函数值。
列表法:
便于查出函数值。
图象法:
便于量出函数值
补充一:
分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相
应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左
大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.注意:
(1)分段函数是一个函数,不要把它误认
为是几个函数;
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:
复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)称为f是g的复合函数。
7
.函数单调性
1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x,x,当x ( 1 2 1 2 都有f(x) 区间D称为y=f(x)的 1 2 u=g(x)y=f(u) y=f[g(x)] 单调增区间; 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x,x,当x 1 2 1 2 1 > f(x),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区 2 间. 注意: 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部 性质; 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x,x;当x 12121212 ( 2)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单 调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法: 1 任取x,x∈D,且x 121212 f(x)-f(x)的正负);5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). 1 2 (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性: 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规 律如下: 复合函数单调性: 口诀: 同增异减 注意: 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. ( 4)判断函数的单调性常用的结论 yf(x)yf(x) ① 函数 与 的单调性相反; 1 y yf(x) yf(x) f(x) ② ③ ④ 当函数 恒为正或恒有负时, 与函数 的单调性相反; yf(x) yf(x)C 函数 与函数 (C为常数)的单调性相同; yf(x)yC 当C>0(C为常数)时, 与 的单调性相同; 的单调性相反; yf(x)yC 当C<0(C为常数)时, 与 f(x)g(x) f(x)g(x) ⑤ ⑥ 若 函数 、 都是增(减)函数,则 仍是增(减)函数; f(x)0,g(x)0f(x)g(x) f(x) 若 且 与 都是增(减)函数,则 也是增(减)函数; 也是减(增)函数; f(x)0,g(x)0且f(x)g(x) 与 都是增(减)函数,则 f(x) f(x)0 f(x) f(x) k 0) n f(x)(n1) n ⑦ 设 ,若 在定义域上是增函数,则 、 、 都是增函数, 1 f(x) 而 是减函数. 8 .函数的奇偶性 1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 2)奇函数 ( ( 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数. 注意: 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2 、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x, 则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). ( 3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结: 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对 称;2确定f(-x)与f(x)的关系;3作出相应结论: 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数; 若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称, (1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根 据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定. 函数奇偶性的性质 ① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同; 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称. ② ③ ④ ⑤ 若f(x)为偶函数,则f(x)f(x)f(|x|). 若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0)0. 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数F(x)与一个偶函数G(x)的和(或 f(x)f(x) 差)”.如设f(x)是定义域为R的任一函数,则F(x) ,G(x) f(x)f(x). 2 2 ⑥ ⑦ 复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. 既奇又偶函数有无穷多个(f(x)0,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 9 、函数的解析表达式 1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对 应法则,二是要求出函数的定义域. 2)求函数的解析式的主要方法有: 待定系数法、换元法、消参法等,A、如果已知函数解析式的构造时, ( ( 可用待定系数法;B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知 表达式较简单时,也可用凑配法;C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x) 1 0.函数最大(小)值(定义见课本p30页) ( ( ( 1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 2)利用图象求函数的最大(小)值; 3)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b, c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b, c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 第二章基本初等函数 一、指数函数 ( 一)指数与指数幂的运算 .根式的概念: 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作0=0。 1 n 注意: (1)(a)na n a,a0 n a n a n n a|a| (2)当n是奇数时, .分数指数幂 ,当n是偶数时, a,a0 2 m 正数的正分数指数幂的意义,规定: a a n n a m (a0,m,nN,且n1) m 1 _ (a0,m,nN,且n1) 正数的正分数指数幂的意义: a n m n 0 的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3 .实数指数幂的运算性质 a r a s a rs (a0,r,sR ) ( 1) 2)()ars(a0,r,sR) a r s ( ( 3)(b) a r a r b r ( a0,b0,rR) 1 注意: 在化简过程中,偶数不能轻易约分;如[(12) 二)指数函数及其性质 、指数函数的概念: 一般地,函数 注意: 指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.即a>0且a≠1 、指数函数的图象和性质
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