概率论与数理统计第一章补充练习题与答案.docx
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概率论与数理统计第一章补充练习题与答案
概率论与数理统计补充习题
第一章随机事件与概率
一、思考题
1、概率研究的对象是什么?
2、随机现象是否就是没有规律的现象?
随机现象的特点是什么?
3、概率是刻画什么的指标?
4、概率的公理化泄义的意义是什么?
5、第一章的主要内容是什么?
二、填空题
1、填出下列事件的关系
(1)、“20件产品全是合格品”与"20件产品中恰有一件是废品”为•
(2)、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品”为.
(3)、“20件产品全是合格品”与"20件产品中至多有一件是废品”为•
2、某人用步枪射击目标5次,已二(第,次击中目标),Bf=(5次射击中击中目标」•次)
(占0,1,2,3,4,5),用文字叙述下列事件,并指出各对事件之间的关系.
5
⑴、U4为
/-I
U比为•
/-I
°4与〔Jd的关系为.
/-I(-1
5
(2人|j£为・
/-2
U民为•
/-2
°&与5的关系为.
/-2(-2
25
(3人IjA与U&的关系为・
/-I/-3
25
(4).IJ5与的关系为・
/-I/-3
三、选择题
1、下列各式中正确的有().
(A)>AUB=(A-AB)U5(B)、若月UEUQ贝9丛巧
(C)、若P(J)(B)则月二>3
2、若事件£和3互斥,且P(J)HO,P(5)H0,则()・
(A)、兀和歹互斥(B)、兀和歹不互斥
(C)、P(A-B)二P(J)(D)、P(A-B)二P(A)-p(5)
3、若当事件启和万同时发生时,事件C必发生,则().
(A)、P(Q)WP(J)+P(5)-1(B)、P(C)2P(J)+P(5)-1
(C)xP(Q)二P(AB)(D)、P(C)二P(J+5)
4、设0<P(/l)<LO<P(B)<1,F(A®二1-P(•入B),则事件力和万()・
(A).互斥(B)、对立(C)>独立(D)、不独立
5、设0<P(5)<bP[(AdAz)B\3+P仏血,则()・
(A)、P[UUA)B1=PUB)+PUB)(B)、PU.BUAz&+P(.A2B)
(C)、PUUA)=PU5)+P(J:
5)
(D)、P®=PU)P(5«)+P⑷P(万4)
6、设事件£和万满足P(BA)=b则()・
(A)、J=)5(B)>AuB
(C)、P(5A)=0
(D)、P(AB)二P(J)
7、对于任意二事件川和5则()・
(A)、若ABH①,则乂万一左独立
(B)、若则厶万有可能独立
(C).若=①,则乂万一左独立
则乩B—定不独立
A={第一次出现正而}儿={正反各出现一次}
8、将一枚硬币独立的掷两次,引进事件如下:
A2={第二次出现正面}
a4={正而岀现两次}则事件().
(A).比、人相互独立(B)、Ay比相互独立
(C)、人、A2.人3两两独立(D)、A2.人、人两两独立
四、计算题
1、PC4)二0.5,PC5)二0.3
(1)、若BuA,求P{AUB).P{AJUB)
(2)、若A、方互斥,求P(AB)
(3)、若£与万互相独立,求P(AT、P(A-BB)
2、设事件戏和方相互独立,P(J)=0.5,二0.8,
计算:
⑴、P(AB)
(2)、P(AUB)
3、P(J)=0.4,P(AU®二0.8,求P(PA)
4、设10件产品中有4件是次品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是次品,求另一件是合格品的概率.
5、甲乙两人独立地对同一目标射击一次,苴命中率分別为0.6和0.65,现已知目标被命中,求甲命中目标的概率.
6、把4个球随机放入4个盒子中,求空盒子数分别为0,1,2,3的概率.
7、甲、乙、丙分别有球为甲:
3白2红、乙:
全红、丙:
红白各半,三人各随意拿出一球,
然后甲从取岀的球中随意取回一个,求甲的红球数增加的概率.
8、在所有五位随机整数中(含以0开头的数字),任取一个整数,求下列事件的概率.
(1)、恰有一个数字出现两次;
(2).最大的数字为6;
(3)、五个数字恰好严格单增.
9、从1,2,…,9这9个数字中,有放回地取三次,每次取一个,求下列事件的槪率:
(1)、凡:
3个数字全不同;
(2)、£:
3个数字没有偶数:
(3)、Azt3个数字中最大数字为6:
(4)、也:
3个数字形成一个单调(严格)数列;
(5)、念:
3个数字之乘积能被10整除.
10、每箱产品有10件,其次品数从0到2是等可能的,开箱检验时,从中任取一件,如果检验是次品,则认为该箱产品不合格而拒收.假设由于检验有误,一件正品被误检为次品的概率为2%,而一件次品被误检为正品的概率为5%.求一箱产品通过验收的概率.
11、一个枪室里有10支枪,其中6支经过校正,命中率可达0.8,另外4支尚未校正,命中率仅为0.5.
(1)、从枪室里任取一支枪,独立射击三次.求三次均命中目标的概率;
(2)、从枪室里任取一支枪,射击一次,然后放回,如此连续三次,结果三次均命中目
标,求取岀的三支枪中有二支是校正过的概率.
12、、设有来自三个地区的各10名,15名和25名的报名表.英中女生的报名表分别为3份,
7份和5份.随机的取一个地区的报名表,从中先后抽岀两份,抽到哪个地区的报名表的可能性相等.
求:
(1)、先抽到的一份是女生表的概率p.
(2)、已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.
第一章补充习题答案
一、思考
1、答:
随机现象的统计规律性.
2、答:
不然.随机现象具有不确泄性,即试验之前不能确左哪一个事件发生.随机现象也具
有确泄性,即在相同条件下,随着试验的次数增多,事件A发生的频率越来越接近一个常数P,随机现象的这一性质,称为频率稳世性,也称统讣规律性.正是随机现象这一确泄性,说明了一次试验时随机事件A发生的可能性大小一一概率,是一泄值.因此才有《概率论》•
3、答:
概率是测度随机事件发生的可能性大小的指标.
4、答:
其给岀了一个指标是否有资格作为槪率的评价标准.
5、答:
第一章首先给出了描述随机现象结果的术语:
随机事件,介绍随机事件的关系与运
算,使得复杂事件可以通过简单事件来描述,并为概率计算提供方便.
给岀了概率左义以及概率的基本关系式(性质、条件概率、乘法公式、全概与逆概公式),为槪率计算打下基础.
介绍了古典概型.其本身具有应用价值,也为掌握事件关系与练习概率计算搭了舞台.
二、填空
1、
(1)、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为互斥.
(2)、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品”为对立.
(3)、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品”为后者包含前者•
2、
(1)、■为至少击中一次・
f-]
5
(JBi为至少击中一次・
r-l
厲与B,的关系为相等.
/-]1-1
5
(2).(Ja为后四次中至少击中一次・
r-2
5
(J5为至少击中两次■
r-2
人与[|B,的关系为不相等.
r-21-2
(3)、的关系为没有必然联系,
r-Ir-3
(4)、[jB.与[]5的关系为互斥.
(-1r-3
三、选择题
1、(A)
2、(C)证明P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)
即灰兀,A.万互斥、兀与歹仍互斥.
⑴口和殍互斥
(D)P(5)H0,显然不成立.
3、(B)证明ABuC,P(AB)
P(A+B)=P(A)+P(ByP(AB) P(AB)>P(A)+P(B)A9所以P(C)>P(A)+P(B)-1 4、(C)证明P{A5)=1-AAB)B) : .A.3相互独立(注: 此结论课上证过). 5、(B) 证明 P[(Ai+A2)IB]=P(AiIB)+P(A2IB) 又P[(A1+A2)IB]=P(A]IB)+P(A2IB)-P(AiA2IB) P(A]Az\B)=OtP(A]AiB)=0 所以P(AiB+A2B)=P(AiB)+P(A2ByP(AiA2B)=P(A{B)+P(A2B) 反例设几何概型, 1 3 5 2 4 6 Az二— 4 3 5 可分析(A)、(C)(D)均不成立. 6、(D)证明由P(BIA)==1,所以P(AB)二P(J) P(A) £为阴影区域及点G则月不包含5万也不包含心 又尸(万瓦)H0 有F(万£)二1(注: 几何概型中尸(Q)二0,—点而积为0) 7、(B) (A)反例古典概型S={1,2,3}J={b2}j^{2,3}Q{2}H®P(A5)=l/3 P(J)二P(5)二2/3P(J)P(血=4/9显然AyB不独立. (B)&万互斥否与凡万独立否没有必然联系,所以“有可能”是对的. (C)有结论当PC4)H0,P(SH0又AB=0则凡万一建不独立. (D)当则AB8而凡万相互独立. 8、(C) 独立是用概率立义的,故应找到事件的槪率 PU)=l/2P⑷=1/2 PU)=l/2(古典数样本是S={正正,正反,反正,反反}2/4) P(A4)=l/4P(AiA2)=1/4P(AiA3)=1/4P(A2/h)=l/4 若是单选,此题已经得出了结果.Alfzt,A,两两相互独立选(C) P(AM)二0显然非儿,凡,儿相互独立 P(3=1/4PM)=1/4P(曲)=0 则去儿凡非两两相互独立也非相互独立 四. 计算题 1、 (1)、 (2)> (3). _____一—2 AczBP(刁uP)=P(B)=0.7P(A\A+B)=- P(AB)=P(A\JB)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P{AB)=0.2 0.35,- 2 2、 VP(QB)=1—P(AuB)=1一P(A・P)=1-P(A)P(B)=0.8 -0.2 P(B)=——=0.4: .P(B)=0.6 0.5 P(AB)=P(A)-P(B)=0.2 P(AB)=P(A}+P(B)一P(A)P(B)=0.5+0.4一0.2=0.7 3、P(A[)B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(AB): .PCAB)=0.8-0.6=0.2 P(B\A)=0.5 4、设店(至少有一件次品)灰(至少有一件合格品) P(A)= C;・C;+C: _2_30 3_45 Clcl? 4 32茁常 P(B\A)=^^-=-・ P(A)5 5.A-(甲命中)B=(乙命中), 0.6977 P⑷心八(心))=__P(AUAB)_=0^ P(A\JB)P(A)+P(B)_P(AB)0.6+0.65-0.6x0.65 6、设尤为空盒数n: 41 41 P{X=0}=— P{X»警 P{X=2}=1-P{X=O}-P{X=1)-P{X=3} 7、设川.2.3分别为甲、乙、丙取出红球,B为甲取回红球 P(甲红球增加)=P(瓦B)=P(瓦BAQ+P(^B石) =P(AtA3)P(BI瓦+P(A}A3)P(BI瓦入) =P(A1)P(A3)P(BIA1A3)+P(瓦)P(入)P(BI瓦忑) 31231—.>_.—+—.— 52352 ]=2 3_10 C: ()C: 5! 丄 8、 (1)F(恰有一个数字出现两次)二,(>2 105 (2)尸(最大数字为6)二 105 r5 (3)F(五个数字恰好严格递增)二一岁 105 P35? 9、"◎)=#•叫尸不 »a、l+5x3+5‘x391P(4J= (注分子各项含义: 1: 三个6,5X3: 为2个6,5=X3: 为1个6)P(比)=竽 方法1.... p(A)=4-x3+g・3! +U・3_156 9393 (注: 4: X3: 为两个偶数;C;・C;・3! : 为一个偶数,一个5以外的奇数; C: x3: 为两个5—个偶数.) 方法2 设A二(取到5)B二(取到偶数) P(比)=P(AB)=1-P(AB)=1-P(AUB)=1-[Z>(A)+P(B)-P(AB)],r83534\156 "一[歹+歹一歹r研 10、设凡二(抽到有,件次品的箱) B二(抽到正品)C=(验收) P(C)=P(BC)+P(PC) =P(CIB)P(B)+P(CIB)P(B)=P(CIB)[P(4〃)+P(A}B)+P(A2B)] +P(CIB)[P(A0B)+P(AlB)+P(A2B)] =0.98x 3310310 +0.05x r0+ 1112 —x一+-x一310310 =0.887 (注: 其余冋理) P(A1B)=P(A1)P(BIA1) P(AlB)=P(Ai)P(B\Al)11、 (1)设A二(三次均命中)B二(取到校正过的枪) P(A)=P(AB|JAB)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB) =—xO.83+—xO.53=0.3072+0.05=0.3572 1010 (2)设A二(三次命中)3二(取到,只经过校对的枪)2-0,1,2,3 P(A)=P(AB{})+P(AQ)+P(ABJ+P(AB^) =P(3°)P(AI垃)+…+P©)P(AIBJ xO.53+Cj 6(4? x—x— 10110丿 xO.8xO.52 +c; (6、 二上x0.3x0.5+ ‘6] 10 3 x0.83 =0.008+0.0576+0.13824+0.1106=0.3144 =0.4397 P(坊)0.13824 P(A)一0.3144 12、设內儿儿分别为抽到三个地区的报名表 3,5分别为第b2次抽到的女生表 3 (1)P二P(3)二P(A&UAzRUA.&)=工P(ABi) r-l =1/3•3/10+1/3•7/15+1/3•5/25=29/90 (2)Q二PCft瓦)二P(B申)二=20/61 -P(BJ 方法1P(瓦)二P(B]石U&1&2)二2/9+41/90二61/90 P(BlB2)=P(BlB2Al+BlB2A2+BlB2A3) =1/3•3/10•7/9•+1/3•7/15•8/14+1/3•5/25•20/24 =7/90+4/45+1/18=(7+8+5)/90=2/9 P(BiB2)=P(BlB2Al+B1B2A.+BlB2A3) =1/3(7/10•6/9+8/15•7/14+20/25•19/24) =1/3(7/15+4/15+19/30)=61/90 一7-8-20 方法2IP(B? IA)=—P(B? IA)=—P(B2IA)=—10-1525 注意: 这一步的注解很关键•即P(忌IAJ=P(瓦1人)=7/10抓阎合理 一3_3_17R ・・・P(B2)=^P(AB2)=^(AWA)=t(-+Tt+—)=61/90 •••卩(昭1£)= 2_7 109 7 30 P(B}B2\A2)= 1514"15 520_1 2524~6 ————1741 •••P(B{B2)=P(B"+B、BA+B1B7A3)=-(—+-+-)=1/9 33015o 如卧骋=需产⑹ 注: 两种方法关键再求P(BJ上,方法2简单
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