分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点与习题.docx
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点与习题
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
知识聚焦不简单罗列
1.分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事情,共有N=______________种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事情需要n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,……,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N=________________种不同的方法.
3.两个计数原理的区别
分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在于:
分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.
正本清源不单纯记忆
■链接教材
1.[教材改编]现有高一年级的学生3名,高二年级的学生5名,从中任选1人参加接待外宾的活动,有________种不同的选法.
2.[教材改编]5位同学站成一排准备照相的时候,有2位老师碰巧路过,同学们强烈要求与老师合影留念,如果5位同学顺序一定,那么2位老师与同学们站成一排照相的站法总数为________.
3.[教材改编]如图9551所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有________种.
图9551
■易错问题
4.分类加法计数原理:
每一种方法都能完成这件事情;类与类之间是独立的.
某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有________种.
5.分步乘法计数原理:
所有步骤完成才算完成;步与步之间是相关联的.
将甲、乙、丙等6人分配到高中三个年级,每个年级2人,要求甲必须在高一年级,乙和丙均不能在高三年级,则不同的安排种数为________.
■通性通法
6.分类计数原理:
分类时标准要明确.
如果把个位数是1,且恰有三个数字相同的四位数叫作“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________.
7.分步计数原理:
步骤互相独立,互不干扰;步与步确保连续,逐步完成.
某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有________种.
探究点一 分类加法计数原理
1某校开设A类选修课2门,B类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )
A.3种B.6种
C.9种D.18种
(2)现有5种不同的颜色可供使用,将一个五棱锥的各个侧面涂色,5个侧面分别编号为1,2,3,4,5,而有公共边的两个面不能涂同一种颜色,则不同的涂色方法有________种.
[总结反思]分类标准是运用分类计数原理的难点所在,重点在于抓住题目中的关键词、关键元素或关键位置.首先,根据题目特点恰当选择一个分类标准;其次,分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.应用分类加法计数原理时,应先明确分类标准,确保计数不重复,不遗漏.
式题
(1)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言,要求甲、乙2人至少有1人参加,则不同的发言顺序的种数为( )
A.840B.720C.600D.30
(2)如图9552所示为某旅游区各景点的分布图,图中一支箭头表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从A到H可走的不同的旅游路线的条数为( )
图9552
A.15B.16
C.17D.18
探究点二 分步乘法计数原理
2
(1)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有________种.
(2)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有________种.(用数字作答)
[总结反思]利用分步乘法计数原理解决问题时应注意:
(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,以元素(或位置)为主体的计数问题,通常先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置);
(2)对完成每一步的不同方法种数要根据条件准确确定.
式题
(1)某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活,要求将6户家庭分成4组,其中2组各有2户家庭,另外2组各有1户家庭,则不同的分配方案的种数是( )
A.216B.420
C.720D.1080
(2)用5种不同的颜色为如图9553所示的广告牌着色,要求在①②③④四个不同区域中相邻的区域不用同一种颜色,则不同的着色方法种数为( )
图9553
A.320B.240
C.180D.135
探究点三 两个计数原理的综合
3
(1)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )
A.60B.90
C.120D.130
(2)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如图9554),使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有________种.
图9554
[总结反思]
(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类.
(2)分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,只有完成每一步,整件事才算完成.
(3)若综合利用两个计数原理,一般先分类再分步.
式题设集合I={1,2,3,4,5},选择集合I的两个非空子集A和B,若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素,则不同的选择方法共有( )
A.50种B.49种
C.48种D.47种
学科能力自主阅读型
【典例】若从1,2,3,…,9这9个整数中取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A.60种B.63种
C.65种D.66种
解析 D 先找出
再利用分类加法计数原理求解.满足题设的取法可分为三类:
一是4
个都是奇数,在奇数1,3,5,7,9中,任意取4个,有C54=5(种);二是2个奇数2个偶数,在5个奇数中任取2个,再在偶数2,4,6,8中任取2个,有
;三是4个都是偶数,取法有1种.所以满足条件的取法共有5+60+1=66(种).
①处对和为偶数的情况把握不准;②处对两个奇数和两个偶数相加和为偶数计数时,是分步还是分类区分不清,错把分步看成分类,而误用加法公式.
【跟踪练习】
(1)[2015·唐山二模]一种团体竞技比赛的积分规则是:
每队胜、平、负分别得2分、1分、0分.已知甲球队已赛4场,积4分,则在这4场比赛中,甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有( )
A.7种B.13种
C.18种D.19种
(2)给一个各边不等的凸五边形的各边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色,则不同的染色方法共有________种.
物理性质化学性质物质性质与用途中招试题
1、为纪念化学对社会进步和人类文明的贡献,联合国将2011年定为“国际化学年”。
下列说法不正确的是…………………………………………………………【C】
A.合成药物的研发和使用,保障了人体健康
B.新材料的研制和应用,提高了人们的生活品质
C.化石燃料的直接利用,促进了低碳经济的发展
D.化肥的合理使用提高了农作物产量,缓解了人类粮食危机
2.厨房里发生的下列变化中,属于物理变化的是【 】
A.苹果腐烂 B.榨取果汁 C.面包发霉 D.菜刀生锈
3.人类的下列活动中,只有物理变化的是()
A.磨制石器B.古代炼铁C.烧制陶器D.利用沼气
4.下列变化中,属于化学变化的是
A.矿石粉碎 B.纸张燃烧 C.酒精挥发 D.冰雪融化
5.日常生活中下列做饭属于化学变化的是()
A.给自行车打起
B.把煤粉制成蜂窝煤
C.用食醋
去除水垢
D.用砂纸磨去铁片表面的铁粉
6.下列关于物质的性质和用途说法不正确的是()
A.氧气用于火箭发射,是利用氧气的可燃性[来源:
学_科_网Z_X_X_K]
B.氮气用来保护粮食,是利用氮气常温下化学性质稳定
C.稀有气体充入霓虹灯,是利用稀有气体通电能发出不同颜色的光
7.化学变化使世界丰富多彩,下列变化中属于化学变化的是
A.切割大理石B.海水晒盐
C.石油分馏
D.光合作用
8、下列生活中的变化,属于化学变化的是
A、石蜡熔化B、粉笔折断C、纸张燃烧D、车胎爆炸
9、在日常生活中和农业生产中,下列物质用途由化学性质决定的是
A、用活性炭除去冰箱内的异味B、氮气用作保护气
C、用金属铜制作电线
D、干冰用于人工降雨
10.物质的用途与性质密切相关。
下列叙述错误的是()
A.因为熟石灰能和酸发生反应,所以常
用熟石灰改良酸性土壤
B.因为洗洁精有乳化功能,所以可用洗洁精洗涤餐具上的油污
C.因为氮气化学性质不活泼,所以在食品包装袋内充入氮气用于防腐
D.同为甲醛能使蛋白后变性,起到防腐作用,所以可用甲醛水溶液浸泡水产品
11、(2011•张掖)2008年6月14日是我国第三个“文化遗产日”.以下是我省部分文化遗产,其制作过程主要属于化学变化( )
.
12下列变化属于化学变化的是
A.浓盐酸挥发,形成白雾
B.冰升华,形成白雾
C.镁条在空气中燃烧,产生自烟
D.水加热到沸腾,产生蒸汽
13.下列物质的用途中,与该物质的化学性质无关的是
A.CO作燃料B.CO2作灭火剂
C.CaCO3细粉作白色涂料D.酒精作燃料
14.下列变化中,属于物理变化的是
A.火药爆炸B.衣服晾干C.蜡烛燃烧D.粮食酿酒
15.下列各图所示变化中,属于物理变化的是
带火星的木条复燃对着干燥玻璃呼气木炭在O2中燃烧紫色石蕊试液中通入CO2
ABCD
16.下列变化属于化学变化的是
A.3.下列各物质的自述中,属于物质的化学性质的是
干冰升华B.火
柴梗被折断C.玻璃破碎D.木柴
17.下列属于化学变化的是(D)
A.冰雪融化B.榨取果汁C.瓷碗破碎D.木柴燃烧
18.化学与生括、生产密切相关。
请从①白醋②活性炭③熟石灰④小苏打中选择适当的物质填空(填序号)
(1)中和酸性土壤的物质是③;
(2)除去冰箱异味可用②;
(3)可用于焙制糕点的物质是④;
(4)除去水垢应选用①。
19.下列物质性质中,属于化学性质的是
A.溶解性B.挥发性C.导电性D.可燃性
20.(6分)化学就在我们身边,它能改善我们的生活。
(1)从氮气、氦气、氧气、氯化钾、硝酸钾、葡萄糖六种物质中选择适当的物质,按下列要
求填空。
①农田施用的复合肥是;②可供给人类呼吸的气体是_;
③医院为病人输液补充能量的物质是____;④可充入霓虹灯内且通电时会发出有色光的气体是____。
20.下列常的生活现象中,属于物理变化的是(C)
A.动植物呼吸B.剩饭变馊C.榨取果汁
D.铜生铜绿
21.
下列过程的原理,一定包含化学变化的是
A.蒸发B.导电
C.燃烧D.灭火
23、有六种物质:
a.食盐b.熟石灰c.稀盐酸
d.硝酸钾e.明矾f.碳酸氢钠。
请据此回答(填字母编号)
(1)常用于改良酸性土壤_____;
(2)可用于金属除锈的是_________;
(3)属于复合肥料的是_______;(4)可用于治疗胃酸过多症的是_______;[来源:
学|科|网Z|X|X|K]
(5)常用作净水剂的是______。
24.2011年3月日,日本福岛海域发生强烈地震.选成福岛第一核电站3号机组燃料棒露出水面,高温下覆盖在燃料棒外管道上的锆与水蒸气发生反应,放出大量氢气并扩散到空气中,从而发生爆炸,关于这一爆炸的说法不正确的是:
A.属于物理变化B.属于化学变化
25.乙醇俗称酒精,有关乙醇性质的描述中属于化学性质的是
A.无色液体B.挥发性C.可燃性D.与水能互溶
26.下列物质用途错误的是()
27.下列属于化学变化的是()
A.①③B.②③C.②④D.③④
28.下列变化属于化学变化的是()
D.蔬菜榨汁
29.下列变化过程中既有物理变化又有化学变化的是
A.活性炭吸附冰箱中的异味B.干冰汽化
C.点燃蜡烛D.分离液态空气制取氧气
30.下列诗句中不涉及化学变化的是
A.爆竹声中一岁除,春风送暖人屠苏B.只要工夫深,铁杵磨成针
C.千锤万凿出深山,烈火焚身若等闲D.野火烧不尽,春风吹又生
31.食品包装袋中经常使用到铝箔,铝能制成铝箔是因为铝具有良好的
A.导电性B.抗腐蚀性C.导热性 D.延展性
32.下列过程中,不是化学变化的是:
()
A.铁锅生锈B.煤气燃烧C.石蜡熔化D.大米酿酒
33.下列变化中属于化学变化的是()
A.钢铁生锈 B.冰雪融化
C.利用干冰制造舞台云雾 D.分离液态空气制氧气
()32、下列变化属于化学变化的是:
A、干冰升华B、钢铁生锈C、水分蒸发D、冰雪融化
34.千姿百态的物质世界中,各种物质之间存在着多种相互作用,也不断地发生着变化。
下列生活中常见的变化中,一定发生化学变化的是
A.冰雪融化B.矿石粉碎C.榨取果汁D.煤炭燃烧
35.我国古代一些书法家、画家用墨(用炭黑等制成)书写或绘制的字画能够保存很长时间而不变色,这是因为单质碳具有
A.可燃性B.还原性C.在常温下,化学性质不活泼D.吸附性
36.生活中发生的下列变化,属于化学变化的是【】
A.冰雪融化B.食物腐烂C.汽油挥发D.石蜡熔化
37.请从氮气、熟石灰、氧气、硝酸钾中选择适当的物质填空:
可充入食品包装袋中防腐的物质是;农业上可作复合肥料的物质是。
39.下列物质的用途主要是由其化学性质决定的是【】
C.用煤作燃料
2.下列有关O2和CO2的自述中属于物理性质的 【 B 】
40.人的胃液里含有适量盐酸。
服用含MgCO3的抗酸药可治疗胃酸过多症,有关反应的化学方程式为;该抗酸药说明书上标明的食用方法为“嚼食”,将药片嚼碎后服用的优点是。
41.下列做法不正确的是【】
A.用熟石灰改良酸性土壤B.用洗洁精清洗餐具上的油污
C.用食盐水检验硬水和软水D.用氮气充入食品包装袋防腐
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