112 集合的表示方法.docx
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112集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
学习目标 1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情形.3.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换.
知识点一 列举法
思考 要研究集合,或在集合的基础上研究其他问题,首先要表示集合.而当集合中元素较少时,如何直观地表示集合?
答案 把它们一一列举出来.
梳理 如果一个集合是有限集,元素又不太多,常常把集合的所有元素都列举出来,写在花括号“{}”内表示这个集合,这种表示集合的方法叫做列举法.
知识点二 描述法
思考 能用列举法表示所有大于1的实数吗?
如果不能,又该怎样表示?
答案 不能.表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素,而完成此任务除了一一列举,还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合,如大于1的实数可表示为{x∈R|x>1}.
梳理 1.集合的特征性质
如果在集合I中,属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.
2.特征性质描述法
集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)},它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法,叫做特征性质描述法,简称描述法.
1.
=1.( × )
2.
=
.( × )
3.
=
.( √ )
4.
=
.( √ )
类型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合.
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合.
解
(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,
那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,
那么B={0,1}.
反思与感悟
(1)集合中的元素具有无序性、互异性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序,且元素不能重复,元素与元素之间要用“,”隔开.
(2)列举法表示的集合的种类:
①元素个数少且有限时,全部列举,如{1,2,3,4};②元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示,如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1000};③元素个数无限但有规律时,也可以类似地用省略号列举,如:
自然数集N可以表示为{0,1,2,3,…}.
跟踪训练1 用列举法表示下列集合.
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合;
(2)由1~20以内的所有素数组成的集合.
解
(1)满足条件的数有3,5,7,所以所求集合为{3,5,7}.
(2)设由1~20以内的所有素数组成的集合为C,
那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}.
类型二 用描述法表示集合
例2 试用描述法表示下列集合.
(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解
(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.
(2)设大于10小于20的整数为x,
它满足条件x∈Z,且10 因此,用描述法表示为B={x∈Z|10 引申探究 函数y=x2-2图象上所有的点组成的集合用描述法可表示为________. 答案 {(x,y)|y=x2-2} 反思与感悟 用描述法表示集合时应注意的四点 (1)写清楚该集合中元素的代号. (2)说明该集合中元素的性质. (3)所有描述的内容都可写在集合符号内. (4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中,“x”是集合中元素的代表形式,I是x的范围,“p(x)”是集合中元素x的共同特征性质,竖线不可省略. 跟踪训练2 用描述法表示下列集合. (1)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集; (2)二次函数y=x2-10图象上的所有点组成的集合. 解 (1)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为(x-2)2+(y+3)2=0,解得x=2,y=-3. 所以方程的解集为{(x,y)|x=2,y=-3}. (2)“二次函数y=x2-10图象上的所有点”用描述法表示为{(x,y)|y=x2-10}. 类型三 集合表示的综合应用 命题角度1 选择适当的方法表示集合 例3 用适当的方法表示下列集合. (1)由x=2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合; (2)抛物线y=x2-2x与x轴的公共点的集合; (3)直线y=x上去掉原点的点的集合. 解 (1)列举法: {0,2,4}(或描述法: {x|x=2n,0≤n≤2且n∈N}). (2)列举法: {(0,0),(2,0)}. (3)描述法: {(x,y)|y=x,x≠0}. 反思与感悟 用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素满足的条件;三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合. 跟踪训练3 若集合A={x∈Z|-2≤x≤2},B={y|y=x2+2000,x∈A},则用列举法表示集合B=________. 答案 {2000,2001,2004} 解析 由A={x∈Z|-2≤x≤2}={-2,-1,0,1,2},所以x2∈{0,1,4},x2+2000的值为2000,2001,2004,所以B={2000,2001,2004}. 命题角度2 新定义的集合 例4 在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]= ,k=0,1,2,3,4,给出如下四个结论: ①2016∈[1]; ②-3∈[3]; ③若整数a,b属于同一“类”,则a-b∈[0]; ④若a-b∈[0],则整数a,b属于同一“类”. 其中,正确结论的个数是( ) A.1B.2 C.3D.4 考点 用描述法表示集合 题点 用描述法表示与余数有关的整数集合 答案 C 解析 由于[k]= ,对于①,2016除以5等于403余1,∴2016∈[1],∴①正确; 对于②,-3=-5+2,被5除余2,∴②错误; 对于③,∵a,b是同一“类”,可设a=5n1+k,b=5n2+k,则a-b=5(n1-n2)能被5整除,∴a-b∈[0], ∴③正确; 对于④,若a-b∈[0],则可设a-b=5n,n∈Z,即a=5n+b,n∈Z,不妨令b=5m+k,m∈Z,k=0,1,2,3,4, 则a=5n+5m+k=5(m+n)+k,m∈Z,n∈Z, ∴a,b属于同一“类”,∴④正确, 则正确的有①③④,共3个. 反思与感悟 命题者以考试说明中的某一知识点为依托,自行定义新概念、新公式、新运算和新法则,做题者应准确理解应用此定义,在新的情况下完成某种推理证明或指定要求. 跟踪训练4 定义集合运算: A※B={t|t=xy,x∈A,y∈B},设A={1,2},B={0,2},则集合A※B的所有元素之和为________. 答案 6 解析 由题意得t=0,2,4,即A※B={0,2,4}, 又0+2+4=6,故集合A※B的所有元素之和为6. 1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为( ) A.{1,1}B.{1} C.{x=1}D.{x2-2x+1=0} 答案 B 2.一次函数y=x-3与y=-2x的图象的交点组成的集合是( ) A.{1,-2}B.{x=1,y=-2} C.{(-2,1)}D.{(1,-2)} 答案 D 3.设A={x∈N|1≤x<6},则下列正确的是( ) A.6∈AB.0∈A C.3∉AD.3.5∉A 答案 D 4.第一象限的点组成的集合可以表示为( ) A.{(x,y)|xy>0} B.{(x,y)|xy≥0} C.{(x,y)|x>0且y>0} D.{(x,y)|x>0或y>0} 答案 C 5.已知A= ,用列举法表示为A=______________. 考点 集合的表示综合 题点 用另一种方法表示集合 答案 1.在用列举法表示集合时应注意 (1)元素间用分隔号“,”. (2)元素不重复.(3)元素无顺序.(4)列举法可表示有限集,也可表示无限集.若元素个数比较少用列举法比较简单;若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示. 2.在用描述法表示集合时应注意 (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、是有序实数对(点)、还是集合或其他形式. (2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真(元素具有怎样的属性),而不能被表面的字母形式所迷惑. 课时对点练 一、选择题 1.方程组 的解集不可以表示为( ) A. B. C.{1,2} D.{(1,2)} 答案 C 解析 方程组的集合中最多含有一个元素,且元素是一个有序实数对,故C不符合. 2.集合A={x∈Z|-2 A.1B.2 C.3D.4 答案 D 解析 因为A={x∈Z|-2 3.集合{(x,y)|y=2x-1}表示( ) A.方程y=2x-1 B.点(x,y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合 答案 D 解析 集合{(x,y)|y=2x-1}的代表元素是(x,y),x,y满足的关系式为y=2x-1,因此集合表示的是满足关系式y=2x-1的点组成的集合,故选D. 4.已知x,y为非零实数,则集合M= 为( ) A.{0,3}B.{1,3} C.{-1,3}D.{1,-3} 答案 C 解析 当x>0,y>0时,m=3, 当x<0,y<0时,m=-1-1+1=-1. 若x,y异号,不妨设x>0,y<0, 则m=1+(-1)+(-1)=-1. 因此m=3或m=-1,则M={-1,3}. 5.下列选项中,集合M,N元素相同的是( ) A.M={3,2},N={2,3} B.M={(3,2)},N={(2,3)} C.M={3,2},N={(3,2)} D.M={(x,y)|x=3且y=2},N={(x,y)|x=3或y=2} 答案 A 解析 元素具有无序性,A正确;点的横坐标、纵坐标是有序的,B选项两集合中的元素不同;C选项中集合M中的元素是两个数,N中的元素是一个点,不相同;D选项中集合M中元素是一个点(3,2),而N中元素是两条直线x=3和y=2上所有的点,不相同. 6.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的是( ) A. B. C. D. 考点 集合的表示综合 题点 用另一种方法表示集合 答案 D 解析 对于x=4s-3,当s依次取1,2,3,4,5时, 恰好对应的x的值为1,5,9,13,17. 二、填空题 7.方程x2-5x+6=0的解集可表示为______. 答案 {2,3} 解析 易知方程x2-5x+6=0的解为x=2或3,则方程解集为{2,3}. 8.集合{x∈N|x2+x-2=0}用列举法可表示为________. 答案 {1} 解析 由x2+x-2=0,得x=-2或x=1. 又x∈N,∴x=1. 9.已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则B中所含元素的个数为________. 答案 3 解析 根据x∈A,y∈A,x+y∈A,知集合B={(1,1),(1,2),(2,1)},有3个元素. 10.定义集合A-B={x|x∈A,且x∉B},若集合A={x|2x+1>0},集合B= ,则集合A-B=________. 答案 {x|x≥2} 解析 A= ,B={x|x<2}, A-B= ={x|x≥2}. 三、解答题 11.已知集合A={x|y=x2+3},B={y|y=x2+3},C={(x,y)|y=x2+3},它们三个集合中元素相同吗? 试说明理由. 解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同, 所以它们是互不相同的集合.理由如下: 集合A中代表的元素是x,满足条件y=x2+3中的x∈R,所以A=R; 集合B中代表的元素是y,满足条件y=x2+3中y的取值范围是y≥3,所以B={y|y≥3}. 集合C中代表的元素是(x,y),这是个点集,这些点在抛物线y=x2+3上,所以C={P|P是抛物线y=x2+3上的点}. 12.用适当的方法表示下列集合: (1)大于2且小于5的有理数组成的集合; (2)24的所有正因数组成的集合; (3)平面直角坐标系内与两坐标轴的距离相等的点组成的集合. 解 (1)用描述法表示为{x|2 (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}. (3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}. 13.若P={0,2,5},Q={1,2,6},定义: 集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},用列举法表示集合P+Q. 解 ∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6; 当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8; 当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11. ∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}. 四、探究与拓展 14.已知集合A={x|x=3m,m∈N+},B={x|x=3m-1,m∈N+},C={x|x=3m-2,m∈N+},若a∈A,b∈B,c∈C,则下列结论中可能成立的是( ) A.2018=a+b+cB.2018=abc C.2018=a+bcD.2018=a(b+c) 答案 C 解析 由于2018=3×673-1,不能被3整除, 而a+b+c=3m1+3m2-1+3m3-2=3(m1+m2+m3-1)不满足; abc=3m1(3m2-1)(3m3-2)不满足; a+bc=3m1+(3m2-1)(3m3-2)=3m-1适合; a(b+c)=3m1(3m2-1+3m3-2)不满足. 故选C. 15.设A表示集合{2,3,a2+2a-3},B表示集合{|a+3|,2},若5∈A,且5∉B,求实数a的值. 解 ∵5∈A,且5∉B,∴ 即 解得a=-4.
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