指数与指数幂的运算.docx
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指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算
【学习目标】
1.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质
(1)理解n次方根,n次根式的概念及其性质,能根据性质进行相应的根式计算;
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广,了解它是根式的一种新的写法,能正确进行根式与分数指数幂的互化;
(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2.掌握无理指数幂的概念,将指数的取值范围推广到实数集;
3.通过指数范围的扩大,我们要能理解运算的本质,认识到知识之间的联系和转化,认识到符号化思想的重要性,在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力;
4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识,能学会透过表面去认清事物的本质.
【要点梳理】
要点一、整数指数幂的概念及运算性质
1.整数指数幂的概念
n*
aaaanZ
n个a
0
a01a0
n1
an1n(a0,nZ*)
a
2.运算法则
mnmn
(1)aaa;
mnmn
(2)aa;
m
amn
(3)namn,a0;
an
(4)abmambm.
要点二、根式的概念和运算法则
1.n次方根的定义:
若xn=y(n∈N*,n>1,y∈R),则x称为y的n次方根.
n为奇数时,正数y的奇次方根有一个,是正数,记为ny;负数y的奇次方根有一个,是负数,记为
ny;零的奇次方根为零,记为n00;
n为偶数时,正数y的偶次方根有两个,记为ny;负数没有偶次方根;零的偶次方根为零,记为n00.
2.两个等式
要点诠释:
①要注意上述等式在形式上的联系与区别;
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值,尤其当根指数取偶数时,开方后的结果必为非负数,可先写成|a|的形式,这样能避免出现错误.
要点三、分数指数幂的概念和运算法则
*m
为避免讨论,我们约定a>0,n,mN*,且m为既约分数,分数指数幂可如下定义:
n
1an
m
na
an
(na)mnam
ma-mn
1
man
要点四、有理数指数幂的运算
1.有理数指数幂的运算性质
a0,b0,,Q
(1)aaa;
(2)(a)a;
(3)(ab)ab;
当a>0,p为无理数时,ap是一个确定的实数,上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释:
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算;
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如
4(4)2(44)2;
21
(3)幂指数不能随便约分.如(4)4(4)2.
2.指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的;无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质.在化简运算中,也要注意公式:
a2-b2=(a-b)(a+b),(a±b)2=a2±2ab+b2,(a±b)
3=a3±3a2b+3ab2±b3,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)的运用,能够简化运算.
【典型例题】
类型一、根式
例1.求下列各式的值:
(1)5(3)5;
(2)4(10)2;(3)4(3)4;(4)(ab)2.
ab (a>b)答案】-3;10;3;0 (a=b)
ba (a
解析】熟练掌握基本根式的运算,特别注意运算结果的符号
1)
5(3)5
3;
2)
4(10)2
10;
3)
4(3)4
|3|
3;
ab
(a>b)
4)
(ab)2
|ab|
0
(a=b)
ba
(a
(2)根式运算中,经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况,应注意两者运算顺序是否可换,何时可换.
举一反三:
【变式1】计算下列各式的值:
1)3
(2)3;
(2)4(9)2;(3)6(4)6;(4)8(a2)8.
例2.计算:
(1)526743642;
【答案】22;22.
【解析】对于
(1)需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质求解.对于
(2),
则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.
(1)526743642
=(3)2232
(2)2+22223(3)2-22222
(2)2
=(32)2(23)2(22)2
=|32|+|23|-|22|
=32+23-(22)
=22
=22
【总结升华】对于多重根式的化简,一般是设法将被开方数化成完全n次方,再解答,或者用整体思
1想来解题.化简分母含有根式的式子时,将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可,如本例
(2)中,1
21
的分子、分母中同乘以(21).
举一反三:
【变式1】化简:
(1)3223(12)34(12)4;
2)x22x1x26x9(|x|3)
1)
a2a
1
22aa2
21a22
5
a2;
2
2
11
2)
332aa
33
aa3
3
a33
a3;
aa
11
31
3
3)
(aa2)2
(a2)2
a4;
4)解法一:
从里向外化为分数指数幂
2
y2
(x2
x
1
xy2
2
=y
x
5
=y4
解法二:
从外向里化为分数指数幂.
=[
y
x
3
x3
y3
61
yx36)12
x
x
5
=y4
236111{yx[xy(yx3)3]2}2xyx
1
12
此类问题应熟练应用
时,要搞清被开方数,由里向外或由外向里,举一反三:
anam(a0,m,nN*,且n1).
用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简.
■高清课程:
指数与指数运算例1
1
10
(2)73333246314333
9
(3)31254(36)26(4)63(3)3.
【答案】3;0;2
1
112101
【解析】
(1)原式=(0.3)1()23;
33333
(2)原式=733633233330;
(3)原式=-5+6+4--(3-)=2;
注意:
(1)运算顺序(能否应用公式);
(2)指数为负先化正;(3)根式化为分数指数幂举一反三:
【变式1】计算下列各式:
答案】21+156
4
解析】原式=16+6+5+26+36=21+156
4
例5.化简下列各式.
21
5x3y2
(1)
1
1y2
1
答案】24y6
5x3yx3y
6
1
m12
(2)
1
mm2
11
m2m2
2
(3)(0.027)3
27
125
0.5
27
9
1
m2;0.09
【解析】
(1)即合并同类项的想法,常数与常数进行运算,母运算的理解要求较高,即能够认出分数指数的完全平方关系;215x3y2
同一字母的化为该字母的指数运算;
(2)对字
(3)具体数字的运算,学会如何简化运算.
(1)
1
12
11
5x3y6
5(4)
1
24x0y6
5
1
24y6
23)
1)
111
3y22
16)
1
m2
11
22
2m2
2
1m2m2
(2)m1m
2
1
m2
2
(3)(0.027)3
27
=(30.027)
0.5
7
2
9
=0.09
1
m2
1
3
5=0.09
3
举一反三:
【变式1】化简:
3xy2(xy)3.
57答案】x6y6
1
解析】原式=[xy2(x2
11
y2)3]3
331x2y2)3xy.
注意:
当n为偶数时,
|a|
2
变式2】化简x2
x3
2
y2
2
3
2
x
2
x3
(xy2
a(a0)
a(a0)
2
y2
2
y3
57
66
答案】2xy
解析】应注意到
xy
3
)
23
3
)
23
y
(
23
y
23
x
x
(
[
y
(
23
y
23
x
2
)
23
x
2(xy)3
xy
【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.
(1)被开方数的指数与根指数互质;
(2)被开方数分母为1,且不含非正整数指数幂;(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.
【变式3】化简下列式子:
x22x13x33x2
3x1
2x(x
1)
2(x
1)
■高清课程:
指数与指数运算
例4
11
例6.已知x2x23,求
33
22
x2x2
22
3
3的值.
xx
2
【答案】
∴由平方根的定义得:
4226
41842
(3)Q3x33x23x
13(x1)3
x1
x22x1|x1|
x1(x
1)
x1(x
1)
1824182
2322462242
13
【解析】从已知条件中解出x的值,然后代入求值,这种方法是不可取的,而应设法从整体寻求结果11
与条件x2x23的联系,进而整体代入求值.
11
Qx2x23,x2x19,xx17
2222
x2x49,xx45
3311x2x23=(x2x2)(x1x1)3x2x22=4723(71)3151
=
45453
【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系,然后采用“整体代换”或“化简
33后代换”方法求值.本题的关键是先求x2x2及x2x2的值,然后整体代入.
举一反三:
【变式1】求值:
11x21
x2x25,求x1的值;xbaa>0,b>0,且a=b,b=9a23;43
(1)已知
(2)已知
【答案】
【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题1
(1)由x2
1
x25,两边同时平方得
,求a的值.
-1
x+2+x=25,
整理得:
-1
x+x-1=23,则有
x21
(2)a>0,
8∴a9巩固练习一、选择题
1
3
1.若x
A.3x
2.若a
A.1
3.计算
A.32
4.化简
A.11
2
b>0
1
99
ba
,又∵ab=ba,
a832a
6x
B.1
3x
3(3)3,
B.5
42123
C.-1
1
∴(ab)b
1
(ba)b
aabb
1
(9a)9
43.
2
9x2等于(
C.(13x)2
4(2
D.
22的结果是(
B.16C.64
D.128
D.非以上答案
1
32
1
16
1
32
B.
1
32
5.
4
等于(
A.a16
B.a8
6.若a1,b
0,且abab
A.6
B.
二、填空题
7.计算4
)4
,则
C.
22
C.
C.a
则ab
,结果是
1
32
D.
1
232
D.a2
b的值等于(
D.2
8.化简b
(2b
1)(1b2)=
1
9.
(2)1
2
33
(23)3=
10.若a
3
2b,化简4(4a2
12ab
2
9b2)=
三、解答题
11.计算:
2
1)1253
16
1
3433
1
2)0.0273
4
50
3
0.00164
12.计算下列各式:
1)(0.064)
(2)3
1
160.75|0.01|2;
2)a1
a2
b
1
b2
b
1
a2
1
2a2
1b2
1
b2
113
x
23
13
13
巩固练习一、选择题
1.化简
1
1232
11
1216128
A.11
11
11
232
B.1232
2
2.计算4212322的结果是(
A.32
B.16
C.64D.128
3.若a
1,b
0,且abab22,
A.6
B.2C.
4.下列各式中错误的是()
1
1
1
24
122
,结果是()
1
1
C.
1
232
1
D.11232
2
)
则abab的值等于()
2D.2
211
A.a5a3a151(a1)
2
B.a6b93a4b6(a,b0)
111212
C.
2x4y33x2y34x4y324y(x,y0)
6.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2
二、填空题
7.[
(2)2]
8.31223
31223
1313
9.若x0,则2x4322x432
1
4x2(x
1
x2)=.
10.已知aa
11
4,则a2a2=.
三、解答题
11.计算:
2
1)1253
1
12
16
1
3433
2)
140.0273
3
500.00164
12.计算下列各式:
1
(1)(0.064)3
(2)3
16
0.75
1
|0.01|2;
11
ab
11
a2b2
b2a2b2
11
22ab
13.计算:
2
x3
x1
1
x31
x1
1
x3
2
3
xx3
1
x31
14.
14.已知
2
a3
2
b3
4,x
12
3a3b3,y
21
3a3b3.
求证:
2
3为定值.
15.
(1)化简:
1
2
x2y
14
x1y4
1acaxab
b
xbc
1
ab
c
xca
1
bc
2)已知
x12(ab
b)(a
a
0,b
0),求
2bx21
xx21
的值.
32
【答案】
(1)210a10;
(2)x3.
变式2】把下列根式化成分数指数幂:
x2之间的关系,对分子使用乘法公式进行因式分解,
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