核心母题二.docx

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核心母题二

核心母题二　图形变换

【核心母题1】

（2017·嘉兴）一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是________．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长为__________．（结果保留根号）

【母题分析】作HM⊥BC于M，设HM＝CM＝a.在Rt△BHM中，BH＝2HM＝2a，BM＝

a，根据BM＋MF＝BC，可得

a＋a＝12，推出a＝6

－6，推出BH＝2a＝12

－12.当DG⊥AB时，易证GH1⊥DF，此时BH1的值最小，易知BH1＝BK＋KH1＝3

＋3，当旋转角为60°时，F与H2重合，易知BH2＝6

，观察图可知，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长＝2HH1＋HH2，由此即可解决问题．

【母题解答】

【核心母题2】

已知在平面直角坐标系中有三点A（－2，1），B（2，1），C（0，5）．请回答如下问题：

（1）①若抛物线L1经过这三点，求抛物线的解析式；

②将抛物线L1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线L2，求抛物线L2的解析式；

（2）连结A，B，C三点得到△ABC.

①若将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，求点A1的坐标；

②若将△A1B1C1沿y轴翻折得到△A2B2C2，求点B2的坐标；

③若将△A2B2C2以原点为旋转中心旋转180°，得到△A3B3C3，求点C3的坐标；

④若将△A3B3C3的边长都缩小为原来的

，求△A3B3C3的面积．

（3）已知点E（0，0），F（－2，4），连结EF，分别交△ABC的边AC，AB于点M，N.

①证明△AMN∽△ACB，并求出点M，N的坐标；

②以EF为一边作△DEF，若△DEF与△ABC全等，请直接写出符合条件的点D的坐标．

【重要考点】

抛物线平移规律、图形的平移、轴对称、旋转、中心对称、位似、全等三角形与相似三角形的判定与性质．

【考查方向】

几何变换问题一直是历年中考的常考问题，一般放置在选择题（7，8，9）、解答题最后的位置，综合性较强，涉及的知识点广，分值一般为3～12分．

【命题形式】

主要以二次函数、四边形、三角形为背景借助平移、轴对称、旋转、中心对称、位似的性质及平行四边形、矩形、等边三角形的判定和性质考查，在解答题中常以探究题的形式考查学生的空间想象能力和动手操作能力．

【母题剖析】

（1）利用待定系数法、抛物线的平移规律求解；

（2）利用图形平移、旋转、对称、翻折、位似的性质求解；

（3）利用三角形全等、相似的性质与判定求解．

【母题详解】

突破关键词：

平移、旋转、翻折、形状相同、大小相等、相似比与面积比

【思想方法】

（1）图形的平移、旋转、对称、翻折变换都不改变图形的形状和大小，对应边和对应角分别相等，位似变换只改变图形的大小，不改变图形的形状，面积比等于相似比的平方．解题的关键是根据图形的特点，借助从一般到特殊的方法，以及类比思想、分类思想、转化思想，将相关情形进行分析，注意运用勾股定理建立方程．

（2）函数图象平移规律：

函数y＝f（x）的图象向左（或向右）

平移k（k>0）个单位后得到新的函数解析式为y＝f（x＋k）（或y＝f（x－k））．函数y＝f（x）的图象向上（或向下）平移h（h>0）个单位后得到新的函数解析式为y＝f（x）＋h（或y＝f（x）－h）．

（3）点在坐标系中的平移：

P（x，y）向左（或向右）平移k（k>0）个单位得到新的点P1（x－k，y）（或P2（x＋k，y））；P（x，y）向下（或向上）平移h（h>0）个单位后得到新的点P1（x，y－h）（或P2（x，y＋h））．

【母题多变】

变化1：

抛物线平移

变化2：

翻折画图

常见的翻折画图：

①已知对应点画折痕——作对应点连线的中垂线；

②已知折痕过定点（角的顶点）且已知点的对应点在已知直线上画折痕——利用圆规画弧作对应点；

③已知折痕作对称点——作已知点的轴对称点．

模型：

正方形内含半角

如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的动点，满足∠EAF＝45°.则有BE＋DF＝EF.

相关结论

延长FD到G，使DG＝BE，连结AG，证△GDA≌△EBA，△GAF≌△EAF，根据全等三角形的性质得出GD＋DF＝BE＋DF＝EF进而求出即可．

变化3：

图形旋转、中心对称

常以等腰三角形、等边三角形、直角三角形、正方形为背景进行设计．

　模型：

“手拉手”型

将△ABC绕顶点A进行旋转得到△AB′C′，记旋转角为α.则有△ABC≌△AB′C′，且∠BAB′＝∠CAC′＝α.

相关结论

①点B，B′在以A为圆心，AB或AB′长为半径的圆上，同理点C，C′在以A为圆心，AC或AC′长为半径的圆上；

②一旦见到共端点的等长线段，立即联想图形的旋转.

条件

相关结论

四边形ABCD，BEFG均为正方形．

①△ABG≌△CBE；

②AG＝CE；

③AG⊥CE；

④点H的路径是以AC为直径的弧；

⑤点H到AC的距离最大值是AC的一半．

AB＝AC，D为BC的中点，∠BAC＝∠EDF＝90°，点P是EF的中点．

①△BDE≌△ADF；

②△CDF≌△ADE；

③△DEF是等腰三角形；

④点P的路径是HI，并且是BC的一半．

△ABC与△DBE都是等边三角形．

①△ABE≌△CBD；

②OB平分∠AOD；

③点O的路径是以DE为弦，张角为60°的优弧；

④点O到BD的距离最大值是△BOE的高.

类型一图形的平移

1．（2019·巴南区）如图，点A，B，C的坐标分别为（－1，1），（－3，－3），（1，－2）．三角形A1B1C1是由三角形ABC向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到的，其中点A1，B1，C1分别是点A，B，C的对应点．

（1）画出三角形A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；

（2）连结AA1和CC1，若x轴上有一点P（x，0），使得三角形PA1C1的面积等于四边形ACC1A1的面积，求x的值．

类型二图形的旋转

2．（2017·绍兴）一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（）

3．（2018·台州）如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：

过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ＝60°，点M的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为________________．

类型三图形的折叠与对称

4．（2017·嘉兴）一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长为（）

A.

B．2

C．1D．2

5．（2019·金华）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则

的值是（）

A.

B.

－1C.

D.

6．（2018·杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：

①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD＋2，EH＝1，则AD＝______________．

类型四图形的剪切与拼凑

7．（2017·湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那幅图是（）

8．（2019·台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（）

A.

∶1B．3∶2C.

∶1D.

∶2

参考答案

【核心母题1】

如图1中，作HM⊥BC于M，设HM＝a，则CM＝HM＝a.

在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝12，

在Rt△BHM中，BH＝2HM＝2a，BM＝

a，

∵BM＋FM＝BC，

∴

a＋a＝12，∴a＝6

－6，

∴BH＝2a＝12

－12.

如图2中，当DG⊥AB时，易证GH1⊥DF，此时BH1的值最小，易知BH1＝BK＋KH1＝3

＋3，

∴HH1＝BH－BH1＝9

－15，

当旋转角为60°时，F与H2重合，易知BH2＝6

，

观察图可知，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长＝2HH1＋HH2＝18

－30＋[6

－（12

－12）]＝12

－18.

故答案为（12

－12）cm，（12

－18）cm.

【核心母题2】

（1）①设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将点A（－2，1），B（2，1），C（0，5）代入得

解得

∴抛物线L1的解析式为y＝－x2＋5.

②抛物线L2的解析式为y＝－（x－2）2＋8.

（2）①A1（－5，－1）．②B2（1，－1）．③C3（－3，－3）．

④S＝

×4×4×

＝2.

（3）①根据题意得EF∥BC，

∴△AMN∽△ACB.

设经过点E，F的直线的解析式为y＝kx＋b，代入E，F点的坐标得y＝－2x.

当y＝1时，x＝－

，∴N（－

，1）．

设经过点A，C的直线的解析式为y＝px＋q，代入A，C点的坐标得y＝2x＋5，

联立得

解得

∴M（－

，

）．

②点D的坐标为（－4，0）或（2，4）．

【深度练习】

类型一

1．解：

（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1，B1，C1的坐标分别为（1，3），（－1，－1），（3，0）．

（2）四边形ACC1A1的面积＝4×5－

×2×2－

×2×3－

×2×2－

×2×3＝10，

·3·|3－x|＝10，所以x＝

或－

.

类型二

2．B　3.（－3，5）

类型三

4．A　5.A　6.3＋2

类型四

7．C　8.A