高中数学 极限的概念极限的概念极限的概念教案 新人教A版选修1.docx
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高中数学极限的概念极限的概念极限的概念教案新人教A版选修1
2019-2020年高中数学极限的概念极限的概念极限的概念教案新人教A版选修1
教学目的:
理解数列和函数极限的概念;
教学重点:
会判断一些简单数列和函数的极限;
教学难点:
数列和函数极限的理解
教学过程:
一、实例引入:
例:
战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:
“一尺之棰,日取其半,万世不竭。
”也就是说一根长为一尺的木棒,每天截去一半,这样的过程可以无限制地进行下去。
(1)求第天剩余的木棒长度(尺),并分析变化趋势;
(2)求前天截下的木棒的总长度(尺),并分析变化趋势。
观察以上两个数列都具有这样的特点:
当项数无限增大时,数列的项无限趋近于某个常数A(即无限趋近于0)。
无限趋近于常数A,意指“可以任意地靠近A,希望它有多近就有多近,只要充分大,就能达到我们所希望的那么近。
”即“动点到A的距离可以任意小。
二、新课讲授
1、数列极限的定义:
一般地,如果当项数无限增大时,无穷数列的项无限趋近于某个常数A(即无限趋近于0),那么就说数列的极限是A,记作
注:
①上式读作“当趋向于无穷大时,的极限等于A”。
“∞”表示“趋向于无穷大”,即无限增大的意思。
有时也记作当∞时,A
②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________,____________________
③思考:
是否所有的无穷数列都有极限?
例1:
判断下列数列是否有极限,若有,写出极限;若没有,说明理由
(1)1,,,…,,…;
(2),,,…,,…;
(3)-2,-2,-2,…,-2,…;(4)-0.1,0.01,-0.001,…,,…;
(5)-1,1,-1,…,,…;
注:
几个重要极限:
(1)
(2)(C是常数)
(3)无穷等比数列()的极限是0,即:
2、当时函数的极限
(1)画出函数的图像,观察当自变量取正值且无限增大时,函数值的变化情况:
函数值无限趋近于0,这时就说,当趋向于正无穷大时,函数
的极限是0,记作:
一般地,当自变量取正值且无限增大时,如果函数
的值无限趋近于一个常数A,就说当趋向于正无穷大时,函数的极限是A,记作:
也可以记作,当时,
(2)从图中还可以看出,当自变量取负值而无限增大时,函数的值无限趋近于0,这时就说,当趋向于负无穷大时,函数的极限是0,记作:
一般地,当自变量取负值而无限增大时,如果函数的值无限趋近于一个常数A,就说当趋向于负无穷大时,函数的极限是A,记作:
也可以记作,当时,
(3)从上面的讨论可以知道,当自变量的绝对值无限增大时,函数的值都无限趋近于0,这时就说,当趋向于无穷大时,函数的极限是0,记作
一般地,当自变量的绝对值无限增大时,如果函数的值无限趋近于一个常数A,就说当趋向于无穷大时,函数的极限是A,记作:
也可以记作,当时,
特例:
对于函数(是常数),当自变量的绝对值无限增大时,函数的值保持不变,所以当趋向于无穷大时,函数的极限就是,即
例2:
判断下列函数的极限:
(1)
(2)
(3)(4)
三、课堂小结
1、数列的极限
2、当时函数的极限
四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限,若有,写出极限
(1)1,,,…,,…;
(2)7,7,7,…,7,…;
(3);
(4)2,4,6,8,…,2n,…;
(5)0.1,0.01,0.001,…,,…;
(6)0,…,,…;
(7)…,,…;
(8)…,,…;
(9)-2, 0,-2,…,,…,
2、判断下列函数的极限:
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
补充:
3、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点。
(1)求证:
MN⊥AB;
(2)若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为θ,
能否确定θ,使得MN是异面直线AB与PC的公垂线?
若可以确定,试求θ的值;若不能,说明理由。
2019-2020年高中数学柯西不等式学案新人教A版选修4
☆学习目标:
1.熟悉一般形式的柯西不等式,理解柯西不等式的证明;
2.会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式,等一些问题
☻知识情景:
1.柯西主要贡献简介:
柯西(Cauchy),法国人,生于1789年,是十九世纪前半叶最杰出的分析家.他奠定
了数学分析的理论基础.数学中很多定理都冠以柯西的名字,如柯西收敛原理、柯西中值
定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.
2.二维形式的柯西不等式:
若,
则.
当且仅当时,等号成立.
变式10.若,则
或;
变式20.若,则
;
变式30.(三角形不等式)设为任意实数,则:
3.一般形式的柯西不等式:
设为大于1的自然数,(1,2,…,),
则:
.
当且仅当时,等号成立.
(若时,约定,1,2,…,).
变式10.设
则:
.
当且仅当时,等号成立.
变式20.设则:
.
当且仅当时,等号成立.
变式30.(积分形式)设与都在可积,
则
,
当且仅当时,等号成立.
如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系,那么这个定理肯定很重
要.而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面
都有联系.所以,它的重要性是不容置疑的!
☆柯西不等式的应用:
例1.已知实数满足,.试求的最值
例2在实数集内解方程
例3设是三角形内的一点,是到三边的距离,是外接圆
的半径,证明
例4(证明恒等式)已知求证:
。
例5(证明不等式)设
求证:
选修4-5练习§3.1.2柯西不等式(3)姓名
1、已知,求证:
2、已知是不全相等的正数,求证:
3、已知
.
4、设求证:
5、已知实数满足,求的取值范围.
6、已知且求证:
7、已知正数满足证明
8、解方程组
9、若n是不小于2的正整数,试证:
。
参考答案:
一般形式的柯西不等式:
设为大于1的自然数,(1,2,…,),则:
,
其中等号当且仅当时成立(当时,约定,1,2,…,).
等号成立当且仅当柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的
不等式,而且它对初等数学也有很可的指导作用,利用它能高远瞩、居高临下,从而方便
地解决一些中学数学中的有关问题。
例1解:
由柯西不等式得,有
即
由条件可得,
解得,当且仅当时等号成立,
代入时,
时
例2解:
由柯西不等式,得
①
又.
即不等式①中只有等号成立.
从而由柯西不等式中等号成立的条件,得
它与联立,可得
例3证明:
由柯西不等式得,
记为的面积,则
故不等式成立。
例4证明:
由柯西不等式,得
当且仅当时,上式取等号,
于是。
例5分析:
这道题初看似乎无法使用柯西不等式,但改变其结构,我们不妨改为证:
证明:
为了运用柯西不等式,我们将写成
于是
即
故
我们进一步观察柯西不等式,可以发现其特点是:
不等式左边是两个因式这和,其中每一个因式都是项平方和,右边是左边中对立的两两乘积之和的平方,证题时,只要能将原题凑成此种形式,就可以引用柯西不等式来证明。
练习
1.证:
∴
∴
2、
3.
4、
5.
6.
7.证明:
利用柯西不等式
又因为
在此不等式两边同乘以2,再加上
得:
故
8.解:
原方程组可化为
运用柯西不等式得
两式相乘,得
当且仅当x=y=z=w=3时取等号。
故原方程组的解为x=y=z=w=3.
9、证明:
证明:
所以求证式等价于
由柯西不等式有
于是:
又由柯西不等式有
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