度人教B版高中数学必修4教学案第三章和角公式Word.docx
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度人教B版高中数学必修4教学案第三章和角公式Word
【2019-2020年度】人教B版高中数学-必修4教学案-第三章-和角公式(Word)
3.1.1 两角和与差的余弦
预习课本P133~134,思考并完成以下问题
(1)如何用α的三角函数与β的三角函数表示cos(α-β),cos(α+β)?
(2)两角和与差的余弦公式是如何推导的?
两角和与差的余弦公式
名称
公式
简记符号
两角和的余弦公式
cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β
Cα+β
两角差的余弦公式
cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β
Cα-β
[点睛] 公式的左边是和(差)角的余弦,右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)cos(60°-30°)=cos60°-cos30°.( )
(2)对于任意实数α,β,cos(α+β)=cosα+cosβ都不成立.( )
(3)对任意α,β∈R,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ都成立.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)√
2.cos78°cos18°+sin78°sin18°的值为( )
A. B.
C.D.
答案:
A
3.设α∈,若sinα=,则cos等于( )
A. B.
C.-D.-
答案:
B
4.cos15°=________.
答案:
给角求值问题
[典例] 求下列各式的值.
(1)cos75°cos15°-sin75°sin195°;
(2)sin163°sin223°+sin253°sin313°;
(3)cos15°+sin15°.
[解]
(1)cos75°cos15°-sin75°sin195°
=cos75°cos15°-sin75°sin(180°+15°)
=cos75°cos15°+sin75°sin15°
=cos(75°-15°)=cos60°=.
(2)原式=sin(180°-17°)sin(180°+43°)+sin(180°+73°)·sin(360°-47°)=-sin17°sin43°+sin73°sin47°=-sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=.
(3)∵=cos60°,=sin60°,
∴cos15°+sin15°
=cos60°cos15°+sin60°sin15°
=cos(60°-15°)=cos45°=.
利用公式C(α+β),C(α-β)求值的方法技巧
在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),正用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式求值.
[活学活用]
计算下列各式的值:
(1)cos55°cos20°-sin55°sin20°;
(2)coscosθ+sinsinθ.
解:
(1)cos55°cos20°-sin55°sin20°=cos75°
=cos(45°+30°)
=cos45°cos30°-sin45°sin30°
=×-×=.
(2)coscosθ+sinsinθ
=cos=cos=.
给值求值问题
[典例]
(1)已知α∈,β是第三象限角,sinα=,cosβ=-.求cos(α+β)的值.
(2)已知cosα=,cos(α+β)=,且α,β均为锐角,求cosβ的值.
[解]
(1)∵α∈,sinα=,
∴cosα=-=-=-.
∵β是第三象限角,cosβ=-,
∴sinβ=-=-=-,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=×-×=.
(2)∵α,β均为锐角,
∴0<α+β<π,∴sin(α+β)>0.
由cosα=,cos(α+β)=,
得sinα=,sin(α+β)=.
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=×+×=.
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:
①α=(α-β)+β;
②α=+;
③2α=(α+β)+(α-β);
④2β=(α+β)-(α-β).
[活学活用]
1.已知cosθ=-,θ∈,则cos的值为________.
解析:
∵cosθ=-,θ∈,
∴sinθ=-
=-
=-,
∴cos=coscosθ-sinsinθ
=×-×=-.
答案:
-
2.已知sin=-,且<α<,求cosα的值.
解:
∵<α<,∴<α+<2π,
∴cos>0,∴cos===,
∴cosα=cos=coscos+sinsin=×-×=-.
给值求角问题
[典例]
(1)已知α,β均为锐角,且sinα=,sinβ=,则α-β=________.
(2)已知cosα=,cos(α+β)=-,α,β∈,则β=________.
[解析]
(1)∵α,β均为锐角,
∴cosα=,cosβ=.
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=.
又∵sinα>sinβ,∴0<β<α<,∴0<α-β<.
故α-β=.
(2)∵α,β∈,∴α+β∈(0,π).
∵cosα=,cos(α+β)=-,
∴sinα=,sin(α+β)=,
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=.
∵0<β<,∴β=.
[答案]
(1)
(2)
[一题多变]
1.[变条件]若本例中
(1)中“sinα”变为“cosα”,“sinβ”变为“cosβ”,则α-β=________.
解析:
∵α,β均为锐角,∴sinα=,sinβ=,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=.
又∵sinα ∴-<α-β<0, 故α-β=-. 答案: - 2.[变条件]若本例 (2)变为: 已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值. 解: 由cosα=,0<α<, 得sinα===. 由0<β<α<,得0<α-β<. 又因为cos(α-β)=, 所以sin(α-β)===. 由β=α-(α-β)得 cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =×+×=, 所以β=. 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 层级一 学业水平达标 1.cos20°=( ) A.cos30°cos10°-sin30°sin10° B.cos30°cos10°+sin30°sin10° C.sin30°cos10°-sin10°cos30° D.cos30°cos10°-sin30°cos10° 解析: 选B cos20°=cos(30°-10°)=cos30°cos10°+sin30°sin10°. 2.sin15°-cos15°的值是( ) A. B.- C.D.- 解析: 选B 原式=sin30°sin15°-cos30°cos15° =-(cos30°cos15°-sin30°sin15°) =-cos(30°+15°)=-cos45°=-. 3.已知α为锐角,β为第三象限角,且cosα=,sinβ=-,则cos(α-β)的值为( ) A.-B.- C.D. 解析: 选A ∵α为锐角,且cosα=,∴sinα==.∵β为第三象限角,且sinβ=-,∴cosβ=-=-,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=-.故选A. 4.已知向量a=(cos75°,sin75°),b=(cos15°,sin15°),那么|a-b|等于( ) A.B. C.D.1 解析: 选D |a-b| = = ==1. 5.已知sinα=,α∈,则cos等于( ) A.B. C.-D.- 解析: 选B 由题意可知cosα=, cos=cos=cos=cosαcos+sinα·sin=×+×=. 6.化简: cos(α-55°)cos(α+5°)+sin(α-55°)sin(α+5°)=________. 解析: 原式=cos[(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=. 答案: 7.若cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tanαtanβ=________. 解析: ∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=, ① cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=, ② 由①②得cosαcosβ=,sinαsinβ=-, ∴tanαtanβ===-. 答案: - 8.已知sinα=,α∈,则cos的值为________. 解析: ∵sinα=,α∈, ∴cosα=-=-=-, ∴cos=coscosα+sinsinα=×+×=. 答案: 9.已知α,β为锐角,且cosα=,cos(α+β)=-,求cosβ的值. 解: 因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<π. 由cos(α+β)=-,得sin(α+β)=. 又因为cosα=,所以sinα=. 所以cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =×+×=. 10.若x∈,且sinx=,求2cos+2cosx的值. 解: ∵x∈,sinx=,∴cosx=-. ∴2cos+2cosx =2+2cosx =2+2cosx =sinx+cosx =-=. 层级二 应试能力达标 1.已知cos=-,则cosx+cos=( ) A.- B.± C.-1D.±1 解析: 选C cosx+cos=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx==cos=-1.故选C. 2.已知α为钝角,且sin=,则cos的值为( ) A.B. C.-D. 解析: 选C ∵α为钝角,且sin=, ∴cos=-, ∴cos=cos =coscos-sinsin =×-×=-. 3.已知锐角α,β满足cosα=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为( ) A.B.- C.D.- 解析: 选A ∵α,β为锐角,cosα=,cos(α+β)=-,∴sinα=,sin(α+β)=,∴cos(2π-β)=cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=. 4.设α,β为钝角,且sinα=,cosβ=-,则α+β的值为( ) A. B. C.D.或 解析: 选C 因为α,β为钝角,sinα=, 所以cosα=- =-=-. 由cosβ=-,得 sinβ===, 所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =×-× =. 又因为π<α+β<2π,所以α+β=. 5.已知cosα=,cos(α-β)=-,<α<2π,<α-β<π,则cosβ=________. 解析: 由条件知sinα=-,sin(α-β)=, ∴cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =--=-1. 答案: -1 6.已知sinα+sinβ+sinγ=0和cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(α-β)的值是________. 解析: 由已知得,-sinγ=sinα+sinβ,① -cosγ=cosα+cosβ,② ①2+②2得,1=1+1+2sinαsinβ+2cosαcosβ, 化简得cosαcosβ+sinαsinβ=-, 即cos(α-β)=-. 答案: - 7.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,α+β∈,求角β的值. 解: 由α-β∈,且cos(α-β)=-, 得sin(α-β)=. 由α+β∈,且cos(α+β)=, 得sin(α+β)=-, cos2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =×+×=-1. 又∵α-β∈,α+β∈, ∴2β∈,∴2β=π,则β=. 8.已知cosα=,sin(α-β)=,且α,β∈. 求: (1)cos(2α-β)的值; (2)β的值. 解: (1)因为α,β∈,所以α-β∈, 又sin(α-β)=>0, ∴0<α-β<. 所以sinα==, cos(α-β)==, cos(2α-β)=cos[α+(α-β)] =cosαcos(α-β)-sinαsin(α-β) =×-×=. (2)cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =×+×=, 又因为β∈,所以β=. 3.1.2 两角和与差的正弦 预习课本P136~138,思考并完成以下问题 (1)如何利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式? (2)两角和与差的正弦公式是什么? 两角和与差的正弦公式 名称 公式 简记符号 两角和的正弦 sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β Sα+β 两角差的正弦 sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β Sα-β [点睛] 两角和与差的正弦公式结构是“正余余正,加减相同”,两角和与差的余弦公式结构是“余余正正,加减相反”. 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( ) (2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sinα-sinβ成立.( ) (3)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sinα+sinβ都不成立.( ) 答案: (1)√ (2)√ (3)× 2.sin75°cos15°+cos75°sin15°的值等于( ) A. B.- C.0 D.1 答案: D 3.已知sinα=-,α是第四象限角,则sin=________. 答案: 给角求值问题 [典例] 求值: (1)sin(-15°); (2)(tan10°-). [解] (1)sin(-15°)=sin(30°-45°) =sin30°cos45°-cos30°sin45° =×-× =. (2)法一: 原式=(tan10°-tan60°) = =· =-2. 法二: 原式= =· = = =-2. 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式. [活学活用] 求值: (1)sin105°; (2). 解: (1)sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=×+×=. (2) = = = =sin30°=. 给值求值问题 [典例] (1)已知sinα=,cosβ=-,且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)和sin(α-β)的值; (2)求值: sin+cos; (3)已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值. [解] (1)[直接法] 因为α为第一象限角,β为第二象限角, sinα=,cosβ=-,所以cosα=,sinβ=, ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×+×=, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×-×=-. (2)[常值代换法] 原式=2 =2 =2sin=2sin=. (3)[角的代换法] ∵<β<α<,∴<α+β<,0<α-β<. 又∵cos(α-β)=,sin(α+β)=-,∴sin(α-β)=,cos(α+β)=-,∴sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=×+×=-. 给值求值的方法 (1)直接法: 当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)常值代换: 用某些三角函数代替某些常数,使之代换后能运用相关的公式,我们把这种代换称为常值代换,其中特别要注意的是“1”的代换,如1=sin2α+cos2α,1=tan45°,1=sin90°等.1,,,,等均可视为某个特殊角的三角函数值,从而将常数换为三角函数使用. (3)角的代换: 将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式,像这样的代换方法就是角的代换. 常见的有: α=(α+β)-β,α=β-(β-α), α=[(α+β)+(α-β)]=[(α+β)-(β-α)], =-, α+β=(2α+β)-α, 2α=(α+β)+(α-β), 2β=(α+β)-(α-β)等. [活学活用] 在△ABC中,A=,cosB=,则sinC=( ) A.- B. C.-D. 解析: 选D ∵A=,∴cosA=sinA=, 又cosB=,0<B<π,∴sinB=, ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =×+×=. 辅助角公式的应用 [典例] 求y=sinx-cosx的最小正周期、最值及单调递增区间. [解] y=2 =2=2sin. ∴此函数的最小正周期为2π,ymax=2,ymin=-2. 令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,得 2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z. ∴y=sinx-cosx的单调递增区间为 (k∈Z). 辅助角公式及其运用 (1)公式asinα+bcosα=sin(α+φ)(或asinα+bcosα=cos(α-φ))将形如asinα+bcosα(a,b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式. (2)化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质. [活学活用] 求函数f(x)=sin+2sin的最大值和最小值. 解: f(x)=sinxcos+cosxsin+2sinxcos-2cosxsin=sinx-cosx = =sin, ∴f(x)的最大值为, 此时x=+2kπ(k∈Z);f(x)的最小值为-, 此时x=-+2kπ(k∈Z). 层级一 学业水平达标 1.(全国卷Ⅰ)sin20°cos10°-cos160°sin10°=( ) A.- B. C.-D. 解析: 选D 原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=. 2.的值为( ) A.1B.2 C.3D.4 解析: 选A 原式= ==2sin30°=1. 3.若cosα=-,α是第三象限的角,则sin=( ) A.-B. C.-D. 解析: 选A 因为cosα=-,α是第三象限的角,所以sinα=-,由两角和的正弦公式可得sin=sinαcos+cosαsin=×+×=-. 4.已知sin=,则cosα+sinα的值为( ) A.-B. C.2D.-1 解析: 选B cosα+sinα=2=2sin=2×=. 5.函数y=sin+sin的最小值为( ) A.B.-2 C.-D. 解析: 选C 因为y=sin+sin=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos-cos2xsin=sin2x,所以所求函数的最小值为-. 6.化简sin50°cos38°+cos50°cos128°的结果为________. 解析: sin50°cos38°+cos50°cos128°=sin50°cos38°+cos50°(-sin38°)=sin50°cos38°-cos50°sin38°=sin(50°-38°)=sin12°. 答案: sin12° 7.已知<β<,sinβ=,则sin=________. 解析: ∵<β<,sinβ=, ∴cosβ=,∴sin=sinβ·cos+cosβ·sin=×+×=+=. 答案: 8.已知cos=sin,则tanα=________. 解析: cos=cosαcos-sinαsin=cosα-sinα,sin=sinαcos-cosαsin=sinα-cosα,∴sinα=cosα,故tanα=1. 答案: 1 9.已知cosα=(α为第一象限角),求cos,sin的值. 解: ∵cosα=,且α为第一象限角, ∴sinα===. ∴cos=coscosα-sinsinα =×-×=. 同理可求sin=. 10.化简下列各式: (1)sin+2sin-cos; (2)-2cos(α+β). 解: (1)原式=sinxcos+cosxsin+2sinxcos-2cosxsin-cos·cosx-sinsinx =sinx+cosx+sinx-cosx+cosx-sinx =sinx+cosx =0. (2)原式= = = =. 层级二 应试能力达标 1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=( ) A.±1 B.1 C.-1D.0 解析: 选D 原式=sin[60°+(θ+15°)]+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=-cos(θ+15°)+sin(θ+15°)+cos(θ+45°)
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