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高等数学电子版
第一节数列的极限
、数列极限的概念
按照某一法则,对于每一个
得到一个序列
Xi,X2,
Xn,
称为数列,简记为数列
1232,3,4
2,4,8,
1
2
1,
11
4,8
1,1,
214
J)JJ
23
般项分别为一二,
1
第一章极限与连续
nN,对应一个确定的实数Xn,将这些实数按下标n从小到大排列,
{Xn},Xn称为数列的一般项。
例如:
n
'n12n
JJJ
丄
2n,,
(1)n1
36
4,5
2n,
n
(1)n1
,(1卜,32
1
n
2n
数列{Xn}可看成自变量取正整数n的函数,即Xnf(n),
n1
n
(1)
设数列xn
,来说明数列
|Xn1|
以1为极限。
{Xn}
1
100
nn
(1)n1
100,即从101项以后各项都满足
,只需要n
为使|人
1
100
|Xn
1
为使
|Xn1|
1|
1|
n
(1)n1
100000
|Xn1|
各项都满足|Xn1|
1
为使
n1
n
(1)
n
。
令N[—],当nN时,n
当nN时的一切Xn都满足|Xn
,只需要n
100000
100000,即从100001项以后各项都满足
1|
11
(是任意给定的小正数),只需要n,即当n以后,
,因此有|Xn1|,即任意给定小正数,总存在正整数N[丄],
,则
定义:
设{Xn}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数
N,使得当nN时的一切Xn都满足不等式
|Xna|
则说常数a是数列{Xn}的极限,或者说数列{Xn}收敛于a,记为
limXna或Xna(n)
n
如果不存在这样的常数a,则说数列{Xn}没有极限,或者说数列{Xn}发散。
数列{Xn}以a为极限的几何意义:
任意给定的正数,总存在正整数N,当nN时的一切Xn,有
|Xna|
xna或Xn(a,a)
也就是当nN的一切Xn都落在a的邻域U(a,)内,在U(a,)的外边至多有N项(图)
XiXna
XniaXn2a
例1证明数列
123n
JJJJ
234n1
的极限为1。
证明:
①分析:
为使|xn
②证明:
任意给定小正数
a|
n1
n誇两
,只需
1
,或n1
n1
n1
,取N[—1],当nN时的一切Xn满足
-,即n
|Xn1|
因此,lim」1
nn1
例2已知Xn
分析:
故
需I
证明:
(1)n
(n1)2为使|Xna|
时,即n1
任意给定小正数
|Xn0|("
(n1)2例3设|q|1,
因此,lim
n
的极限是0。
(Dnn
口需要
1
由于
1
(n
1J2
1
)/'1IN
(n1)2
(n1)2
,证明数列
{Xn}的极限是0。
n
1
(n1)2
,取
1)n
(n1)
0
I
1
(n1)2
1],当n
1
n1
时的一切Xn满足
证明等比数列
d2
1,q,q
n1
q
|Xn0|
n1
|q
0|
n1
|q|
为使|Xn
0|
,只需
n1
|q
0|
|q|n1
N[1
ln
N时,
有
ln|q
1],当n
|Xn0
n1
||q
0
||q|n
证明:
任给0(设0),由于
,解得
(n1)ln|q|ln,或n1
ln
ln|q|
。
故取
因此,limqn10。
n
、收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性)如果数列
证明:
反证法:
如果xna,
{Xn}收敛,则它的极限是唯一的。
ba
。
2
由于Xna,存在N1,当n
又由于Xnb,存在N2
ba
|Xna|,|Xn
2
由IXna|--得Xn
2
例4证明数列
xn
,当n
bab|丁ab丁,
(1)n1(
Xnb,不妨设ab。
取
N1时,IX"a|F
bl宁
由|Xnb|
2,
宁得Xn
)是发散的。
。
取
maX[N^N?
},则当nN时,
宁,矛盾,故必须ab。
使得对于一切Xn,有|Xn|M,则说数列{Xn}是有界的;否则,
对于数列{xn},如果存在正数则说数列{xn}是无界的。
定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn}有极限,则数列{Xn}一定有界。
证明:
注意到|XnI|XnaaIIXnaI|aI,可证明定理2。
定理3(收敛数列的保号性)如果limXna,且a0(或a0),则存在正整数N,当nN时
n
的一切Xn,有Xn0(或Xn0)。
a
证明:
取一即可证明定理。
2
推论如果数列{Xn}从某项起有Xn0(或Xn0),且limx.a,则a0(或a0)。
n
对于数列{Xn},从中抽取
Xm,Xn2,,Xnk,
称为数列{xn}的一个子数列。
定理4如果数列{xn}收敛于a,则数列{Xn}的任何子数列都收敛,且收敛于a。
第二节函数的极限
、函数极限的定义1•自变量趋向于无穷大时函数的极限
数列是特殊的函数,如xnf(n),n1,2,,且n时,Xn1,考虑函数
xn1
yf(x),是否有x时,f(x)1?
x1x11
任意给定小正数,为使If(X)1||1|,只要I|,即|x1|。
由于
1X1X1
IX1I|x|1,即Ix|1即可。
1
任给0,存在正数X—1,当|x|X时,对应的函数值f(X)满足
X
If(x)1||1|
X1
即当X时,f(x)以1为极限。
定义1设函数f(x)当IxI大于某一正数时有定义。
如果存在常数A,对于任意给定的正数(不论
它多么小),总存在正数X,使得x满足不等式|x|X时,对应函数值f(x)满足
If(x)A|
则说常数A为函数f(x)当x
时的极限,记为
limf(x)A或f(x)A(当x)
lim
x
f(x)
|x|X
时,
If(x)
A|
例1证明
分析:
为使
证明:
3limxxI30|x
0,X
3
只要I313丄x—,当IxI
,即—
时,
Ix
x
0|
,或|x|
3
,因此
|x|
lim-
xx
limf(x)
x
A的几何解释:
|x|
时,
f(x)
If(x)
A|
f(x)
如果
0,
X
0,当
xX时,
If(x)AI
,则说x
lim
x
f(x)
A;
如果
0,
X
0,当
xX时,
If(x)AI
,则说x
lim
x
f(x)
A
显然,
limf(x)
A
lim
f(x)A,
limf(x)A
x
x
x
例如:
f(x)Ix
I
有lim
f(x)1,
limf(x)1o
如图所示:
xxx
2.自变量趋向于有限值时函数的极限
时,
f(x)
A,记为
时,
f(x)
A,
记为
Ix
例1,
f(x)
2x1,
x2时,f(x)
5;
例2:
f(x)
x21
定义域为x1,
但x1时,f(x)2;
x1,
任意给定小正数
为使If(x)
AII2x15II2x41
212即可。
任意给定小正数
只要2Ix2I
,为使
If(x)
只要Ix1I,即0
x21
x1
Ix1I
AII
2II(x1)(x1)x1
即可。
2I
定义2设函数f(x)在点X。
的某一去心邻域内有定义。
如果存在常数A,对于任意给定的正数
(不
论它多么小),总存在正数,使得x满足不等式0Ixx0I
时,对应函数值f(x)满足
则说常数A为函数f(x)当xx0时的极限,记为
O
3
对应函数
即
即
f(x)A或A
f(X)A
U(A,)
X
0
U(Xq,)时,
f(x)
如图所示:
如果
0,
0,当x
Xo
时,|f(x)A|
则说
x从
Xo的右侧趋向于
Xq(记为
X
Xo)时,
f(x)
A,记为lim
xXq
f(X)
A,或f(Xo)
A;
如果
0,
o,当Xo
X
时,|f(x)A|
则说
x从
Xq的左侧趋向于
Xq(记为
X
Xo)时,
f(x)
A,记为lim
xXq
f(X)
A,或f(Xo)
A;
显然,limf(x)
XXq
Alimf(x)A,limf(x)A
XXqXXq
|f(x)
A|
例3设函数
X
1,X
0
f(x)
0,
x0
寸,
f(X)
的极限不存在。
0
证明
limc
c
XXc
1
证明
lim
X
Xo
XXc
12
证明
lim
X
44
x2x
2
证明
lim
X
sinxo
例
4
例
5
例
6
例
7
二、函数极限的性质
证明:
|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A||A|
定理3(函数极限的局部保号性)如果limf(x)A,且A0(或A0),则存在常数0,
xXo
使得当0〔XXo1时,有f(x)0(或f(x)0)。
0
推论如果在X。
的某去心邻域U(X0,)内,f(x)0(或f(x)0),且limf(x)A,则A0(或
xX0
A0)。
定理4(函数极限与数列极限的关系)如果极限limf(x)A,{xn}为函数f(x)定义域内一收敛x0
Xx
的数列,且xn
x。
(nN),则对应的函数值数列
{f(xn)}也收敛,且lim
n
f(Xn)limf(x)
XX0
A。
证明:
由于
lim
XX0
f(x)A,则
0,
0,当0|xx0|
时,
有If(x)A|
;
又由于
lim
Xn
x0,故对于上面的
0,N,
当nN时,有|xn
X01
,当然有0|xn
X01;
因此,0,N,当nN时,有0IxnX0|,故|f(Xn)A|,即limf(Xn)A。
第三节无穷小与无穷大
、无穷小
X)时的无穷小。
例如:
lim(x
1)0,因此(x
1
1)为X1时的无穷小;lim-
1
0,因此一为x
时的无穷小。
n1
nX
X
f(x)为X
X0时的无穷小
limf(x)00,
nx
0,当
勺0Ix
X0I时,
If(x)|;
f(x)为x
时的无穷小
limf(x)00,X
0,当IxI
X时,
If(x)I;
定理1在自变量的同一变化过程xX0(或X
)中,函数f(x)以A为极限的充分必要条件是
f(x)A,其中是无穷小。
证明:
必要性
:
设
lim
nX)
f(x)A,贝U0,
0,当0丨XX0I时,
If(x)AI。
令
f(x)
A,
则
是XX0时的无穷小,且
f(x)A。
充分性
:
设
f(x)
A
,其中A为常数,是
xX0时的无穷小。
于是,
0,0,
0Ix
X0I
时,
I
I,即If(x)AI,
因此,A为f(x)当x
X0时的极限,或
limf(x)A。
nx
二、无穷大
如果当XX0(或X
(或X)时的无穷大。
)时,对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大,则称函数f(x)为XX0
定义2设函数f(X)在X。
的某一去心邻域内有定义(或IXI大于某一正数时有定义)如果对于任意给定的正数M(不论它多么大),总存在正数(或正数X),当x满足0|xx0|(或|x|X)时,对应函数值f(x)满足
If(x)|M
limf(x)(或limf(x))
nxgn
1
例如:
为x1时的无穷大;2x1为x时的无穷大。
x1
limf(x):
M0,0,当0|xx0|时,f(x)M;
nx
limf(x):
M0,X0,当|x|X时,f(x)M。
如果limf(x),则直线xX。
是函数yf(x)的图形的铅直渐近线;
nx0
yf(x)的图形的水平渐近线。
如果limf(x)A,则直线yA是函数
n
定理1有限个无穷小的和也是无穷小。
证明:
以两个无穷小的和为例:
由于
是x
X°时无穷小:
0,10,当0Ixx°I1时,II
2
又由于
是
xX0时无穷小:
对于0,20,当0IXX0I2时,II?
;
取
min{
1,2},则当0
Ixx0I时,0Ixx°I1与0Ixx°I2都成立,故I
与丨
|-
同时满足,因此
2
II
IIIII
I
22
即
为
x
X°时的无穷小。
设及是xx0时的两个无穷小,令
|
定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论1常数与无穷小的乘积是无穷小。
推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小。
定理3如果limf(x)A,limg(x)B,则
(1)lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB
⑵lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB
f(x)limf(x)A__
⑶lim(B0)
g(x)limg(x)B
为无穷小;又由于limg(x)B,得
证明:
以⑵为例,由于limf(x)A,得f(x)A
f(x)g(x)(A)(B)ABAB
由定理与推论,得AB
为无穷小,故AB为f(x)g(x)的极限。
定理3中的⑴和⑵可推广到有限个的情况,即
lim[f(x)g(x)h(x)]limf(x)limg(x)limh(x)
lim[f(x)g(x)h(x)]limf(x)limg(x)limh(x)
推论1如果limf(x)存在,c为常数,则
lim[cf(x)]climf(x)
推论2如果limf(x)存在,n为正整数,则
lim[f(x)]n[limf(x)]n
将定理3应用于数列的情况,得
成,f[g(x)]在点xo的某去心邻域内有定义,若
limg(x)uo,
limf(u)
A,且存在o0,
0
XXo
uuo
XU(Xo,o),有g(x)uo,则
limf[g(x)]lim
f(u)
A
XXouuo
证明:
按照极限定义,需要证明
o,
o,使得当o
1xXo1
时,有
If[g(x)]A|
由于limf(u)A,故o,
o,
使得当o|uuo
1时,有
定理6(复合函数的极限运算法则)设函数y
f[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而
uUo
If(u)A|
又由于limg(x)
Xxo
u0,故对于上面的
|g(x)uo|
0,
10,使得当0IXXoI1时,有
取min{0,
1},当0|x
Xo|
时,
oIg(x)uoI,故
If[g(x)]
A|
即limf[g(x)]A。
xXo
由定理6可得,当
彳limg(x)
,lim
f(u)
A,有
limf[g(x)]limf(u)A
XX。
u
或当|img(x),limf(u)A,有
limf[g(x)]limf(u)A
xu
第五节极限存在准则,两个重要极限
准则I如果数列{冷}、{yn}与{Zn}满足下列条件:
(1)ynXnZn(n1,2,),
(2)limyna,limzna,
nn
则数列{xn}的极限存在,且limxna。
n
准则I如果
0
(1)当XU(Xo,r)(或Ix|M)时
则lim
XXo(X
吧g(x)
(X)
g(x)f(x)h(x),
f(x)存在,切limf(x)
limh(x)A,
Xx0
(x)
xX。
(x)
)
利用准则1证明重要极限
由图6-1可以看出:
AOB的面积
所以
由于
lim轮
x0x
圆扇形AOB的面积AOD的面积
1.sinx
2
sinxx
1x1tanx
22
tanx
由于
cosxsinx’cosx1
X
sinX为偶函数,故在(,0)内,也有cosx
x2
sinx
x
由于当0|x|
0|cosx
由夹逼准则,得
时
2
2X
111cosx2sin—
2
limcosx1,由夹逼准则,
x0
sinx
1
x2
准则
求
lim
x0
求
lim
x0
求
lim
x0
例
1
例
2
例
3
xarcsinx
x
1cosx
lim
x0x
sinx”
1
n单调有界数列必有极限。
如果数列{xn}满足x1
Xn
Xn1
,数列{xn}称为单调增加数列;
如果数列{xn}满足X1x2
xn
xn1
,数列{Xn}称为单调减少数列。
单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。
1
-)
x
^Xn…(仆匕)",可证明数列{Xn}单调有界。
由于
Xn11(12-^U)n(n1)1n(n1(n2)1
“nn12!
11新命
利用准则n,来证明另一个重要极限lim(1
1X
搭n、,(1―)1-
x存在。
丨1
~2n
■1…1—3i^-)n1n3!
n12
、一)(1—)'
(n1)!
nxn1xnn1
3!
1(11衿
n
(1£1
n1
3
n
2第
n1和1
1)(1』
n
)
1
—类似
n
(1n一1)由此看
n1
「11
又由于心11「勺
丄1n!
1
2n
1
即数列{xn}也是有界的,由准则12厂知道数列
21、n
lim
(1)e
nn
对于任何x1,存在正整数n使得n
1x-)xx
IT(1
1
由于
lim(1
n
1
lim(1-)
xx
(t1),可证明
....1x
lim(1
n
(1
e
lim(1丄广
x
lim(1
x
lim(1
x
1
{Xn}有极限,即lim(1—)n存在,设
nn
丄)n
n
因此有
因此
x
S
x1
X)'
lim(1
x0
lim(1
x
x)2x
x1
2n
第六节无穷小的比较
例4证明limn(
n
1
n22
定义
0时,x2,3x,
2
xlim0,limx03xx
设,为无穷小
sinx及x都是无穷小,但是
3x
如果
lim—0,则说
是比
高阶的无穷小,记作
0();
如果
lim—,则说
是比
低阶的无穷小;
如果
lim—c0,则说与
是同阶无穷小;
如果
lim—1,则说与是等价无穷小,记作
如果
衍匚c0,k0,则说是关于的k阶无穷小。
因此,
当x0时,x
222
是比3x高阶的无穷小xo(3x);3x是比x低阶的无穷小;
sinx与x是等
价无穷小,
sinx~x。
x29r
lim6,
x3x3
1cosx
由于
又由于lim
x0
故当x3时,x29与x3是同阶无穷小;
1
,故当x0时,1cosx是关于x的二阶无穷小;
又由于
lim
n
11
故当n,1是比:
低阶的无穷小。
n
1
nn2
定理2
设
~,且lim一存在,则
lim
—lim—
证明:
lim
lim-
———lim—
tan2x
例1求lim
x0sin5x
sinx
例2求lim厂
x0x3x
tanxsinx
例3求lim3
x0sinx
第七节函数的连续与间断点
函数的连续性
设变量U从初值Ui变化到终值U2,则uU
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