直线的倾斜角与斜率经典例题有答案精品.docx
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直线的倾斜角与斜率经典例题有答案精品
直线的倾斜角与斜率(20131125)讲义
类型一:
倾斜角与斜率的关系
1.已知直线的倾斜角的变化范围为,求该直线斜率的变化范围;
类型二:
斜率定义
D.
类型三:
斜率公式的应用
3.求经过点,直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角.
变式1】过两点,的直线的倾斜角为,求的值.
变式2】为何值时,经过两点
(-,6),(1,)的直线的斜率是12.
值.
变式1】已知,,三点,这三点是否在同一条直线上,为什么?
变式2】已知直线的斜率,,,是这条直线上的三个点,求和的
类型四:
两直线平行与垂直
的形状.
【变式1】已知四边形的顶点为,,,,求证:
四边形
为矩形.
变式2】已知,,三点,求点,使直线,且.
变式3】若直线与直线互相垂直,则实数=
姓名
直线的倾斜角与斜率(20131125)作业
成绩
题组一
直线的倾斜角
1.已知直线l过点(m,1),(m+1,tanα+1),则()
题组二
直线的斜率及应用
3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且k1 确的是() 5.已知两点A(-1,-5),B(3,-2),若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半,则l的斜率是 题组三 两条直线的平行与垂直 6已知两条直线l1: ax+by+c=0,直线l2: mx+ny+p=0,则an=bm是直线l1∥l2的() 7.已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为() A.5B.4C.2D.1 a 8.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则为()b 9.设直线l1的方程为x+2y-2=0,将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2,则l2的方 程是 题组四 直线的倾斜角和斜率的综合问题 10.若关于x的方程|x-1|-kx=0有且只有一个正实数根,则实数k的取值范围是 11.已知点A(2,3),B(-5,2),若直线l过点P(-1,6),且与线段AB相交,则该直线倾斜角的取值范围是. 12.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的P点坐标. (1)∠MOP=∠OPN(O是坐标原点). (2)∠MPN是直角. 直线的倾斜角与斜率(20131125)讲义答案 类型一: 倾斜角与斜率的关系 1.已知直线的倾斜角的变化范围为,求该直线斜率的变化范围; 思路点拨: 已知角的范围,通过正切函数的图像,可以求得斜率的范围,反之,已知斜率的范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围 解析: 总结升华: 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围,或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时,可利用 当时,;当不存在时,.反之,亦成立 举一反三: 【变式】 答案】B 解析: 由直线 所以直线的斜率为 类型二: 斜率定义 2.已知△ABC为正三角形,顶点A在x轴上,A在边BC的右侧,∠BAC的平分线在x轴上,求边AB与AC所在直线的斜率. 思路点拨: 本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角,利用斜率的定义求出斜率. 解析: 如右图,由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°,直线AC的倾斜角为30 ②轴正向③小于的角,只有这样才能正确的求出倾斜角 举一反三: 【变式1】 B. 答案】 由题意,,则 本题选题意图: 对倾斜角变化时,如何变化的定性分析理解.∴选B. 类型三: 斜率公式的应用 3.求经过点,直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角. 思路点拨: 已知两点坐标求斜率,直接利用斜率公式即可. 解析: 且, 经过两点的直线的斜率, 即. 即当时,为锐角,当时,为钝角. 总结升华: 本题求出,但的符号不能确定,我们通过确定的符号来确定的符号.当时, ,为锐角;当时,,为钝角. 举一反三: 【变式1】 过两点,的直线的倾斜角为,求的值.【答案】 由题意得: 直线的斜率, 故由斜率公式, 解得或. 经检验不适合,舍去. 故. 【变式2】 为何值时,经过两点(-,6),(1,)的直线的斜率是12. 答案】 . 即当时,,两点的直线的斜率是12. 4.已知三点A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值.思路点拨: 如果过点AB,BC的斜率相等,那么A,B,C三点共线. 解析: ∵A、B、C三点在一条直线上, ∴kAB=kAC. 总结升华: 斜率公式可以证明三点共线,前提是他们有一个公共点且斜率相等.举一反三: 【变式1】 已知,,三点,这三点是否在同一条直线上,为什么? 【答案】 经过,两点直线的斜率. 经过,两点的直线的斜率. 所以,,三点在同一条直线上. 【变式2】 已知直线的斜率,,,是这条直线上的三个点,求和的值. 【答案】 由已知,得 因为,,三点都在斜率为2的直线上, 解得,. 类型四: 两直线平行与垂直 的形状. 思路点拨: 证明一个四边形为矩形,我们往往先证明这个四边形为平行四边形,然后再证明平行四边形的一个角为直角. 解析: 边所在直线的斜率, 边所在直线的斜率 边所在直线的斜率 ,,,,即四边形为平行四边形. -1. 总结升华: 证明不重和的的两直线平行,只需要他们的斜率相等,证明垂直,只需要他们斜率的乘积为举一反三: 【变式1】 已知四边形的顶点为,,,,求证: 四边形为矩形. 【答案】 由题意得边所在直线的斜率. 边所在直线的斜率, 边所在直线的斜率,则;. 所以四边形为平行四边形,又因为, 即平行四边形为矩形. 【变式2】 已知,,三点,求点,使直线,且. 【答案】 设点的坐标为,由已知得直线的斜率; 由,且得解得,. 所以,点的坐标是 变式3】 2011浙江12)若直线与直线互相垂直,则实数= 答案】 因为直线与直线互相垂直,所以,所以. 直线的倾斜角与斜率(20131125)作业答案 姓名成绩 题组一 直线的倾斜角 1.已知直线l过点(m,1),(m+1,tanα+1),则A.α一定是直线l的倾斜角B.α一定不是直线l的倾斜角 C.α不一定是直线l的倾斜角 D.180°-α一定是直线l的倾斜角 解析: 设θ为直线l的倾斜角, 则tanθ= tanα+1-1 =tan m+1-m ∴α=kπ+θ,k∈Z,当k≠0时,θ≠α. 答案: C 2.如图,直线l经过二、三、四象限,为k,则 A.ksinα>0 C.ksinα≤0 π 解析: 显然k<0,2<α<π, ∴cosα<0,∴kcosα>0. 答案: B 题组二 直线的斜率及应用 3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且k1 确的是() A.k1k2=-1B.k2k3=-1C.k1<0D.k2≥0 解析: 结合图形知,k1<0. 答案: C 4.(2008·浙江高考)已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a= 解析: ∵A、B、C三点共线, 232 a+aa-a ∴kAB=kBC,即2-1=3-2,又a>0,∴a=1+2. 答案: 1+2 5.已知两点A(-1,-5),B(3,-2),若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半,则l的斜率是 解析: 设直线AB的倾斜角为2α,则直线l的倾斜角为α,由于0°≤2α<180°,∴0°≤α<90°-2-(-5)311 由tan2α==,得tanα=,即直线l的斜率为. 3-(-1)433 1 答案: 13 题组三 两条直线的平行与垂直 6.(2009·陕西八校模拟)已知两条直线l1: ax+by+c=0,直线l2: mx+ny+p=0,则an=bm是 直线l1∥l2的解析: ∵l1∥l2? an-bm=0,且an-bm=0? /l1∥l2,故an=bm是直线l1∥l2的必要不充分条件. A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案: B 7.(2009·福建质检)已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为() A.5B.4C.2D.1 解析: 由题意知,a2b-(a2+1)=0且a≠0, 22a2+11 ∴a2b=a2+1,∴ab==a+, aa 11 ∴|ab|=|a+|=|a|+≥2.(当且仅当a=±1时取“=”). a|a| 答案: C 8.(2010·合肥模拟)已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则a为 () 2211 A.3B.-3C.3D.-3 解析: 曲线y=x3在点P(1,1)处的切线斜率为3, a 所以ab= 答案: D 9.(2009·泰兴模拟)设直线l1的方程为x+2y-2=0,将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到 直线l2,则l2的方程是. 1 解析: ∵l1⊥l2,k1=-2,∴k2=2, 又点(0,1)在直线l1上,故点(-1,0)在直线l2上,∴直线l2的方程为y=2(x+1),即2x-y+2=0.答案: 2x-y+2=0 题组四 直线的倾斜角和斜率的综合问题 10.若关于x的方程|x-1|-kx=0有且只有一个正实数根,则实数k的取值范围是 解析: 数形结合.在同一坐标系内画出函数y=kx,y=|x-1|的图象如图所示,显然k≥1或k= 0时满足题意 答案: k≥1或k=0 11.(2009·青岛模拟)已知点A(2,3),B(-5,2),若直线l过点P(-1,6),且与线段AB相交,则该直线倾斜角的取值范围是. 解析: 如图所示, 6-2 kPB==1, PB-1-(-5) π ∴直线PB的倾斜角为4π, π3π 从而直线l的倾斜角的范围是[4,34]. π3π答案: [4,4] 12.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的P点坐标. (1)∠MOP=∠OPN(O是坐标原点). (2)∠MPN是直角. 解: 设P(x,0), (1)∵∠MOP=∠OPN,∴OM∥NP. ∴kOM=kNP. 即P点坐标为(7,0). (2)∵∠MPN=90°,∴MP⊥NP,∴kMP·kNP=-1. 22 又kMP=2-x(x≠2),kNP=x-5(x≠5), 2-x× x-5 =-1,解得x=1或x=6, 即P点坐标为(1,0)或(6,0).
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