数列专题整合.docx
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数列专题整合
例1
(1)在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a9=5,S7=21,那么S12等于
( )
(A)55. (B)48. (C)35. (D)70.
(2)已知{an}为等差数列,若 <-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取
得最小正值时,n等于 ( )
(A)11. (B)20. (C)19. (D)21
同类拓展1
(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若 = ,则 等于
( )
(A)
. (B)
. (C)
(D)
(2)等差数列 前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=
例2
(1)已知单调函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的
实数x,y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)成立.若数列{an}中,a1=f(0),f(an+1)=
(n∈N+),则a2012的值为 ( )
(A)4020. (B)4021. (C)4022. (D)4023.
(2)若数列{an}是正项数列,且
=n2+3n(n∈N+),则
同类拓展2
(1)设a1=2,an+1= ,bn=| |,n∈N+,则数列{bn}的通项公式bn= .
(2)(2011年·四川)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6等于
( )
(A)3×44. (B)3×44+1.(C)44. (D)44+1.
例3 设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项和,数列{bn}为
等比数列,且a1=b1=2,S2=5b2,S4=25b3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式an及bn;
(2)设数列{cn}满足cn=Sn×bn,问当n为何值时,cn取得最大值?
同类拓展3 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,数列{an+Sn}是公差为2
的等差数列.
(1)求a2,a3;
(2)证明:
数列{an-2}为等比数列;
(3)求数列{nan}的前n项和Tn.
例4 2010年,中国浙江吉利控股集团有限公司以18亿美元收购沃尔沃
汽车公司,并计划投资20亿美元来发展该品牌.据专家预测,从2010年起,
沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆(2010年的销售量为2000
0辆),销售利润按照每年每辆比上一年减少10%(2010年销售利润为2万美
元/辆)计算.求
(1)第n年的销售利润为多少?
(2)到2014年年底,中国浙江吉利控股集团有限公司能否通过沃尔沃汽车
实现盈利?
(即销售利润超过总投资,0.95≈0.59).
同类拓展4 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位:
m2),
其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面
积的10%建设新住房,同时也拆除面积为b(单位:
m2)的旧住房.
(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式;
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30
%,则每年拆除的旧住房面积b是多少?
(计算时取1.15=1.6).
例5 数列{an}满足a1=1,且n≥2时,an=n2( + +…+ ).
(1)证明:
当n≥2时,
-
=
(2)试比较(1+ )·(1+ )·(1+ )·…·(1+ )与4的大小关系.
同类拓展5 (2011年·湖南)已知函数f(x)=x3,g(x)=x+ .
(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由;
(2)设数列{an}(n∈N+)满足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:
存在常数M,使得对
于任意的n∈N+,都有an≤M.
例6 (2011年·北京)若数列An:
a1,a2,…,an(n≥2)满足 =1(k=1,2,…,n-1),则称An为E数列,记S(An)=a1+a2+…+an.
(1)写出一个满足a1=a5=0,且S(A5)>0的E数列A5;
(2)若a1=12,n=2000,证明:
E数列An是递增数列的充要条件是an=2011;
(3)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列An,使得S =0?
如果存在,写出一个满足条件的E数列An;如果不存在,说明理由.
同类拓展6 对于各项均为整数的数列,如果ai+i(i=1,2,3,…)为完全平方数,则称数列 具有“P性质”.
不论数列 是否具有“P性质”,如果存在与 不是同一数列
且 同时满足下面两个条件:
①b1,b2,b3,…,bn是a1,a2,a3,…,an的一个排列;
②数列 具有“P性质”,则称数列 具有“变换P性质”.
(1)设数列 的前n项和Sn=
(n2-1),证明数列 具有“P性质”;
(2)试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,…,11是否具有“变换P性质”,
具有此性质的数列请写出相应的数列 ,不具此性质的说明理由;
(3)对于有限项数列A:
1,2,3,…,n,某人已经验证当n∈[12,m2](m≥5)时,数列A具有“变换P性质”,试证明:
当n∈[m2+1,(m+1)2]时,数列A也具有“变换
P性质”.
回归课本
等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1, =9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前n项和.
课本试题对比:
等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10= ( )
(A)12. (B)10. (C)8. (D)2+log35
1.对正整数n,设抛物线y2=2(2n+1)x,过P(2n,0)任作直线l交抛物线于An,Bn两
点,则数列{ }的前n项和公式是 ( )
(A)-n(n+1). (B)n(n+1).
(C)(D)
一、选择题
1.各项均为正数的等比数列{an}中,a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5等于 ( )
(A)16. (B)36. (C)27. (D)-27.
2.Sn是数列{an}的前n项和,则“数列{Sn}为等差数列”是“数列{an}为常
数列”的 ( )
(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.
(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.
3.数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2Sn+1+ ,a2=-1,则数列{an}的首项为 ( )
(A)1或-2. (B)±1.(C)±2. (D)-1或2.
4.已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn表示{an}的前n项的和.若a1=3,a2a4
=144,则S10的值是 ( )
(A)511. (B)1023. (C)1533. (D)3069.
5.(2011年·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足:
Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10等于 ( )
(A)1. (B)9. (C)10. (D)55.
6.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若{ }为等差数列,则a11等于 ( )
(A)1. (B) . (C) . (D)2.
7.已知数列{an}的通项公式an=log2 (n∈N+),设{an}的前n项和为Sn,则
使Sn<-5成立的自然数n ( )
(A)有最大值63. (B)有最小值63.
(C)有最大值31. (D)有最小值31.
8.在等比数列 中,a1=2,前n项和为Sn,若数列 也是等比数列,则Sn
等于 ( )
(A)2n+1-2. (B)3n(C)3n-1. (D)2n.
9.已知整数按如下规律排成一列:
(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是 ( )
(A)(10,1). (B)(2,10).(C)(5,7). (D)(7,5).
二、填空题
11.已知各项均为正数的等比数列 中,a1+a3+a5=1,a4+a6+a8=8,则a5+a7+a9= .
12.等差数列 前9项的和等于前4项的和,若a1=1,ak+a4=0,则k= .
13.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4= .
14.已知数列{an}和{bn}均为正项等比数列,其前n项积分别为Pn、Qn,且 =( ,则 的值为 .
15.已知数列 是一个递增的等比数列,数列的前n项和为Sn,且a2=4,S3=1
4.
(1)求 的通项公式;
(2)若cn=log2an,求数列 的前n项之和Tn.
16.(2011年·山东)等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:
bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前n项和Sn.
17.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:
a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N+,r∈R,r≠-1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若存在k∈N+,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差数列,试判断:
对于任意的m∈N+,且m≥2,am+1,am,am+2是否成等差数列,并证明你的结论.
18.数列{an}各项均为正数,Sn为其前n项的和,对于n∈N+,总有an,Sn, 成等差数列.
(1)数列{an}的通项公式;
(2)设数列{ }的前n项的和为Tn,数列{Tn}的前n项的和为Rn,求证:
当n≥2时,Rn-1=n(Tn-1);
(3)设An为数列{ }的前n项之积,是否存在实数a,使得不等式An 若存在,求出a的取值范围,若不存在, 请说明理由. 19.有n个首项都是1的等差数列,设第m个数列的第k项为amk(m,k=1,2,3,…,n,n≥3),公差为dm,并且a1n,a2n,a3n,…,ann成等差数列. (1)证明dm=p1d1+p2d2(3≤m≤n,p1,p2是m的多项式),并求p1+p2的值; (2)当d1=1,d2=3时,将数列{dm}分组如下: (d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),…(每组数的个数构成等差数列).设前m组中所有数之和为(cm)4(cm>0),求数列{ dm}的前n项和Sn.
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