圆的内接四边形 人教义务版.docx
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圆的内接四边形人教义务版
圆的内接四边形
【学习目标】
掌握圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角的性质,并能运用性质计算和证明.
【主体知识归纳】
1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
2.圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.
【基础知识讲解】
过不在一条直线上的三点有且只有一个圆,而过不在一直线上的四点却不一定能画一个圆,即任意四边形不一定内接于圆.因此,能够内接于圆的四边形是一种特殊的四边形.它具有一般四边形不具有的特殊性质:
对角互补,任何一个外角都等于它的内对角.它是在圆中探求角的相等或互补关系时常用的定理.使用这个定理时要注意观察图形,不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置.
【例题精讲】
例1:
如图7—93,圆的直径AB⊥CD,在弦CD的延长线上任取一点E,连结AE交圆于F.
求证:
AC·EF=DE·CF.
剖析:
欲证AC·EF=DE·CF,可转化为证比例式AC:
DE=CF:
EF,再利用△ACF∽△DEF,寻找相似的条件时需连结DF,则得圆内接四边形AFDC,可得∠1=∠2,∠3=∠4,但∠4不是△ACF的内角,再转化成证∠4=∠5即可.
证明:
连结DF,得圆内接四边形AFDC
又∵∠1=∠2,∴△EDF∽△CAF.
∴DE:
AC=EF:
CF,∴AC·EF=DE·CF.
说明:
证明等积式的问题,常常转化为证明比例式,从而又可转化为证明两个三角形相似,进一步又可以转化为证明对应角相等.即在圆中转化为与圆有关的角相等的问题.从而使问题得证.这种方法在以后也常常用到.
例2:
如图7—94,AB是⊙O的直径,弦(非直径)CD⊥AB,P是⊙O上不同于C、D的任一点.
(1)当点P在劣弧CD上运动时,∠APC与∠APD的关系如何?
请证明你的结论;
(2)当点P在优弧CD上运动时,∠APC与∠APD的关系如何?
请证明你的结论(不要求讨论P点与A点重合的情形).
剖析:
(1)由条件结合图形,易想到垂径定理,可知
=
.虽然点P在劣弧CD上运动,但∠APC与∠APD所对的弧却不变,由圆周角定理的推论可知∠APC=∠APD.
先由题设画图7—95.观察图形,猜测∠APC+∠APD=180°,为了证明这个猜测,联想圆内接四边形的性质.为此连结AD,则∠APC+∠ADC=180°.考虑∠APD与∠ADC,显然相等,从而证实了猜测.
解:
(1)当点P在劣弧CD上运动时,∠APC=∠APD,
证明如下:
∵直径AB⊥CD,∴
=
∴∠APC=∠APD.
(2)当点P在优弧CD上运动时,∠APC+∠APD=180°.证明如下:
如图7—95,连结AD.由
(1)知,
=
∴∠APD=∠ADC.
∵四边形APCD内接于圆,∴∠APC+∠ADC=180°,∴∠APD+∠APC=180°.
说明:
(1)解决运动变化的问题,要善于发现变中的不变.如本例中,不论点P在劣弧CD上怎样运动,∠APC与∠APD所对弧是不变的.这是解决运动变化问题的常用方法.
(2)利用图形的直觉进行猜测,是常用的手段,这种手段体现了探索未知世界的最基本的方法.
例3:
如图7—96,四边形ABCD内接于⊙O,AB与DC的延长线交于点E,BC与AD的延长线交于点F,EG平分∠AED,FH平分∠AFB.
求证:
FH⊥EG.
剖析:
要证明EG⊥FH,首先想到能否证明它们的交角为90°,因为题目所给的条件中,没有给关于角的度数及垂直关系,通过观察图形知,若能证明△GNF是等腰三角形,利用等腰三角形三线合一的性质来证明较为容易.
证明:
∵GE平分∠AED,FH平分∠AFB,
∴∠AEG=∠GEC,∠AFM=∠MFC.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠A=∠BCE.
又∵∠A+∠AEG=∠NGF,∠GEC+∠BCE=∠GNF,∴∠FGN=∠GNF,∴FG=FN.∴FH⊥GE.
说明:
(1)此例是圆内接四边形、角平分线、三角形外角、等腰三角形的三线合一等知识综合应用的问题.此例是证明两直线垂直,直接去证不好证,从而转化为证三角形为等腰三角形,用等腰三角形的三线合一性质证明.在证两个角相等时,主要是用已知角的关系代换或计算来完成的.
(2)本题中,若把结论FH⊥EG与条件FH平分∠AFB互换,命题是否成立呢?
请你证明一下.
例4:
如图7—97,Rt△ABC中,∠ACB=90°,在AB上截取AP=AC,以PC为直径作圆,交AB、BC、CA于D、E、F.求证:
PA·PD=PB·DA.
剖析:
要证PA·PD=PB·DA
需证PA:
PB=DA:
DP,由于这几条线段在同一直线上,所以需转移比,因为∠ACB=90°,PC为直径,想到连结PF,可知PF∥BC,
∴
.
故证FA:
FC=DA:
DP,需证DF∥PC.
证明:
连结PF.
说明:
解题中应用数学思想方法就等于占领了数学学习的制高点.本例应用了转化思想.
例5:
如图7—98,已知⊙O是等边△ABC的外接圆,D是
上一点,BD的延长线交AC的延长线于点E.
求证:
AC2=BD·BE.
证明:
连结CD.
∵四边形ABDC是圆内接四边形,
∴∠BDC+∠A=180°
又△ABC是等边三角形
∴∠A=60°,∠ACB=60°,AC=BC.
∴∠BDC=180°-∠A=120°.
∵∠BCE=180°-∠ACB=120°.
∴∠ECB=∠CDB∵∠CBD=∠EBC
∴△BCD∽△BEC.
∴
即BC2=BD·BE.∵BC=AC.∴AC2=BD·BE.
说明:
(1)此例是圆内接四边形性质、等边三角形性质和相似三角形等性质综合应用的问题,圆内接四边形内角和外角在证明过程中的“桥梁”作用要特别注意.
(2)本例题的结论是证比例线段,而线段AC、BD、DE不在一个三角形中,通过AC=BC代换后转化为利用两个三角形相似去证.等线段代换是证线段成比例的常用的方法.
例6:
如图7—99,四边形ABCD内接于直径为3的⊙O,AB=BD,对角线AC是直径,AC与BD交于点P,并且PC=0.6,求四边形ABCD的周长.
剖析:
求四边形ABCD的周长,应先计算四边的长度.由于已知PC=0.6与圆的直径.因此若△PCD∽△BOP,则可由OP、OB与PC的长度求出CD,然后在Rt△ACD中就可求出AD.因此求CD是关键、是突出口.
解:
作OM⊥AB于M,ON⊥BD于N,连结BO,并延长交AD于H.
∵AB=BD,∴OM=ON,∠1=∠2,∴BH⊥AD.
∵AC是直径,∴∠ADC=90°,即CD⊥AD.
∴BH∥CD,∴△BOP∽△DCP.
∴
∴DC=1.
在Rt△ADC中,由勾股定理,得AD=
=2
.
∵∠1=∠2,BH⊥AD,∴AH=HD=
.
又AO=OC,∴OH是△ADC的中位线.
OH=
CD=0.5.∴BH=OB+OH=2.
在Rt△ABH中,由勾股定理,得AB=
.
∵AC是直径,∴∠ABC=90°.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=
.
∴四边形ABCD的周长为:
1+2
.
说明:
本题主要考查学生综合运用相似形、勾股定理、三角形中位线定理以及垂径定理进行几何量计算的能力.解答本题,不仅要有牢固的基础知识,还要有一定的综合运用知识的能力.本题解法的关键是作弦的弦心距,使直线知识与圆的知识有机地结合起来.
【思路拓展题】
等分圆周
人们在研究尺规作图三大难题中,还发现了许多类似的难题.求等圆周的线段的问题,就是一个与化圆为方密切相关的难题.这个问题又叫做按尺规作图,作圆内接正多边形问题,或者正多形作圆问题.
古希腊人按尺规作图法,作出了正三角形、正方形、正五边形、正六边形,以及边数为它们2n倍(n为正整数)的正多边形.他们还想继续作出其他的正多边形,可是正七边形作不出来.于是,什么样的正多边形能作得出来,成了一个作图难题.因为这个问题与三等分角问题的性质相同,关系密切,所以人们常常把它们放在一块研究.类似的,还有许多作图难题也不断地涌现出来,比如五等分、七等分任意角问题.
在漫长的年代里,难以数计的人参加了研究这些问题的行列,可是谁也提不出解决的办法.慢慢地,人们开始产生了这样一个:
有些作图难题之所以难,是不是按尺规作图方法,本来就办不到,而不是有可能办到,只不过人们还没有找到这样的方法呢?
这个想法,不是哪一个聪明人的头脑里一开始就有的.它是在一代人接一代人,延续研究了2000多年,总是找不到解决的方法之后,有些人才生了“异心”!
他们想:
圆规和直尺不过是一种工具,世界上本就没有什么事情都能干的万能工具.特别是尺规作图法,由于对尺规的使用作了种种禁令,限制它们的作用,所以有些图可以作出来,有些就可能作不出来.
数学是一门非常精确的科学.数学问题是不能根据想象或者看法就能作出结论的,它必须有严格的证明.假设有些图形是尺规作图法不能作出来的.那么,标准是什么?
界限在哪里?
也就成为一个难题了.
这些难题,直到解析几何出现以后,人们学会了应用代数的方法来研究几何问题,才找到了解决的途径.
【同步达纲练习】
1.选择题
(1)下列命题中,正确的有
①圆内接平行四边形是矩形②圆内接菱形是正方形③圆内接梯形是等腰梯形
④圆内接矩形是正方形
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(2)若圆内接四边形一组对边平行,另一组对边相等,则这个四边形是
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.矩形或等腰梯形
(3)若ABCD内接于圆,则∠A:
∠B:
∠C:
∠D可能为
A.2:
3:
4:
5
B.3:
4:
5:
2
C.4:
5:
3:
2
D.5:
4:
3:
2
(4)如图7—100,已知⊙O内接梯形ABCD,AB∥CD,对角线AC、BD将四个内角分成的八个角中,相等的角的对数是
A.4
B.6
C.8
D.10
(5)如图7—101,四边形ABCD的顶点都在⊙O上,AC、BD交于点E,D为
中点,则图中共有多少对相似的三角形
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
(6)如图7—102,圆内接四边形ABDC的边BA、DC的延长线交于P,下列各式中成立的是
A.PA:
PC=PB:
PD
B.PA:
PB=AC:
BD
C.PA:
PC=PD:
PB
D.PB:
PD=AD:
BC
(7)如图7—103,已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且AB=CD=5,AC=7,BE=3,下列命题正确的是
A.△ABE≌△DCEB.∠BDA=45°
C.S四边形ABCD=24.5D.图中全等的三角形共有2对
(8)已知AB、CD是⊙O的两条直径,则四边形ADBC一定是
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.等腰梯形
(9)圆内接四边形ABCD中,AB=39,BC=25,CD=60,DA=52,则圆的直径为
A.62
B.63
C.65
D.66
(10)如图7—104,四边形ABCD为圆内接四边形,AC为BD的垂直平分线,∠ACB=60°,AB=a,则CD等于
A.
B.
a
C.
a
D.
a
(11)如图7—105,四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD=110°,那么∠BCD的度数为
A.125°
B.110°
C.55°
D.70°
(12)在圆内接四边形中,如果没有相等的角,则最多可以有
A.一个钝角
B.两个钝角
C.三个钝角
D.以上答案都不对
2.填空题
(1)如图7—106,四边形ABCD为圆内接四边形,E为BC延长线上的一点,若∠A:
∠B:
∠D=1:
2:
3,则∠DCE=________度;
(2)如图7—107,⊙O与⊙O′相交于A、B,
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- 圆的内接四边形 人教义务版 四边形 教义