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MATLAB相关函数
第6章MATLAB数据分析与多项式计算
6.1数据统计处理
6.1.1最大值和最小值
MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和
min,两个函数的调用格式和操作过程类似。
1.求向量的最大值和最小值
求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式,分别是:
(1)y=max(X):
返回向量X的最大值存入y,如果X中包含复数元素,则按模取最大值。
(2)[y,I]=max(X):
返回向量X的最大值存入y,最大值的序号存入
I,如果X中包含复数元素,则按模取最大值。
求向量X的最小值的函数是min(X),用法和max(X)完全相同。
例6-1求向量x的最大值。
命令如下:
x=[-43,72,9,16,23,47];
y=max(x)
%
求向量
x中的最大值
[y,l]=max(x)
%
求向量
x中的最大值及其该元素的位置
2.求矩阵的最大值和最小值
求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式,分别是:
(1)max(A):
返回一个行向量,向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。
(2)[Y,U]=max(A):
返回行向量Y和U,Y向量记录A的每列的最大值,U向量记录每列最大值的行号。
(3)max(A,[],dim):
dim取1或2。
dim取1时,该函数和max(A)
完全相同;dim取2时,该函数返回一个列向量,其第i个元素是
矩阵的第i行上的最大值。
求最小值的函数是min,其用法和max完全相同。
A
例6-2分别求3×4矩阵x中各列和各行元素中的最大值,并求整个矩阵的最大值和最小值。
3.两个向量或矩阵对应元素的比较
函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较,调用格式为:
(1)U=max(A,B):
A,B是两个同型的向量或矩阵,结果U是与A,B同
型的向量或矩阵,U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。
(2)U=max(A,n):
n是一个标量,结果U是与A同型的向量或矩阵,
min函数的用法和max完全相同。
例6-3求两个2×3矩阵x,y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。
6.1.2求和与求积
数据序列求和与求积的函数是sum和prod,其使用方法类似。
设X
是一个向量,A是一个矩阵,函数的调用格式为:
sum(X):
返回向量X各元素的和。
prod(X):
返回向量X各元素的乘积。
sum(A):
返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的元素和。
prod(A):
返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的元素乘积。
sum(A,dim):
当dim为1时,该函数等同于sum(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的各元素之和。
prod(A,dim):
当dim为1时,该函数等同于prod(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。
例6-4求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。
6.1.3平均值和中值
求数据序列平均值的函数是mean,求数据序列中值的函数是median。
两个函数的调用格式为:
mean(X):
返回向量X的算术平均值。
median(X):
返回向量X的中值。
mean(A):
返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的算术平均
值。
median(A):
返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的中值。
mean(A,dim):
当dim为1时,该函数等同于mean(A);当dim为2
时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的算术平均值。
median(A,dim):
当dim为1时,该函数等同于median(A);当dim
为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的中值。
例6-5分别求向量x与y的平均值和中值。
6.1.4累加和与累乘积
在MATLAB中,使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量,函数的调用格式为:
cumsum(X):
返回向量X累加和向量。
cumprod(X):
返回向量X累乘积向量。
cumsum(A):
返回一个矩阵,其第i列是A的第i列的累加和向量。
cumprod(A):
返回一个矩阵,其第i列是A的第i列的累乘积向量。
cumsum(A,dim):
当dim为1时,该函数等同于cumsum(A);当dim为2时,返回一个矩阵,其第i行是A的第i行的累加和向量。
cumprod(A,dim):
当dim为1时,该函数等同于cumprod(A);当dim
为2时,返回一个向量,其第i行是A的第i行的累乘积向量。
例6-6求s的值。
6.1.5标准方差与相关系数
1.求标准方差
在MATLAB中,提供了计算数据序列的标准方差的函数std。
对于向
量X,std(X)返回一个标准方差。
对于矩阵A,std(A)返回一个行向量,它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。
std函数的一
般调用格式为:
Y=std(A,flag,dim)
其中dim取1或2。
当dim=1时,求各列元素的标准方差;当dim=2时,则求各行元素的标准方差。
flag取0或1,当flag=0时,按σ1所列公式计算标准方差,当flag=1时,按σ2所列公式计算标准方差。
缺省flag=0,dim=1。
例6-7对二维矩阵x,从不同维方向求出其标准方差。
2.相关系数
MATLAB提供了corrcoef函数,可以求出数据的相关系数矩阵。
corrcoef函数的调用格式为:
corrcoef(X):
返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。
此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。
它把矩阵X的每列作为一个变量,然后求它们的相关系数。
corrcoef(X,Y):
在这里,X,Y是向量,它们与corrcoef([X,Y])的作
用一样。
例6-8生成满足正态分布的10000×5随机矩阵,然后求各列元素的均值和标准方差,再求这5列随机数据的相关系数矩阵。
命令如下:
X=randn(10000,5);
M=mean(X)
D=std(X)
R=corrcoef(X)
6.1.6排序
MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X),函数返回一个对X中的元
素按升序排列的新向量。
sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序,其调用格式为:
[Y,I]=sort(A,dim)
其中dim指明对A的列还是行进行排序。
若dim=1,则按列排;若dim=2,则按行排。
Y是排序后的矩阵,而I记录Y中的元素在A中位置。
例6-9对二维矩阵做各种排序。
6.2数据插值
6.2.1一维数据插值
在MATLAB中,实现这些插值的函数是interp1,其调用格式为:
Y1=interp1(X,Y,X1,'method')
函数根据X,Y的值,计算函数在X1处的值。
X,Y是两个等长的已知
向量,分别描述采样点和样本值,X1是一个向量或标量,描述欲插
值的点,Y1是一个与X1等长的插值结果。
method是插值方法,允许
的取值有‘linear’、‘nearest’、‘cubic’、‘spline’。
注意:
X1的取值范围不能超出X的给定范围,否则,会给出“NaN”
错误。
例6-10用不同的插值方法计算在π/2点的值。
MATLAB中有一个专门的3次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1),其功
能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline’)完全相同。
例6-11某观测站测得某日6:
00时至18:
00时之间每隔2小时的室内外温度(℃),用3次样条插值分别求得该日室内外6:
30至17:
30时之间每隔2小时各点的近似温度(℃)。
设时间变量h为一行向量,温度变量t为一个两列矩阵,其中第一列存放室内温度,第二列储存室外温度。
命令如下:
h=6:
2:
18;
t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]';
XI=6.5:
2:
17.5
YI=interp1(h,t,XI,‘spline’)%用3次样条插值计算
6.2.2二维数据插值
在MATLAB中,提供了解决二维插值问题的函数interp2,其调用格式为:
Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')
其中X,Y是两个向量,分别描述两个参数的采样点,Z是与参数采样点对应的函数值,X1,Y1是两个向量或标量,描述欲插值的点。
Z1是
根据相应的插值方法得到的插值结果。
数相同。
X,Y,Z也可以是矩阵形式。
同样,X1,Y1的取值范围不能超出X,Y
“NaN”错误。
method的取值与一维插值函
的给定范围,否则,会给出
例6-12设z=x2+y2,对z函数在[0,1]×[0,2]区域内进行插值。
例6-13某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。
用
x表示测量点0:
2.5:
10(米),用h表示测量时间0:
30:
60(秒),用T
表示测试所得各点的温度(℃)。
试用线性插值求出在一分钟内每隔
20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。
命令如下:
x=0:
2.5:
10;
h=[0:
30:
60]';
T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];
xi=[0:
10];
hi=[0:
20:
60]';
TI=interp2(x,h,T,xi,hi)
6.3曲线拟合
在MATLAB中,用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数,再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。
polyfit函数的调用格式为:
[P,S]=polyfit(X,Y,m)
函数根据采样点X和采样点函数值Y,产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。
其中X,Y是两个等长的向量,P是一个长度为m+1的向量,P的元素为多项式系数。
polyval函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值,将在
6.5.3节中详细介绍。
例6-14已知数据表[t,y],试求2次拟合多项式p(t),然后求
ti=1,1.5,2,2.5,,,9.5,10各点的函数近似值。
6.4离散傅立叶变换
6.4.1离散傅立叶变换算法简要
6.4.2离散傅立叶变换的实现
一维离散傅立叶变换函数,其调用格式与功能为:
(1)fft(X):
返回向量X的离散傅立叶变换。
设X的长度(即元素个数)为N,若N为2的幂次,则为以2为基数的快速傅立叶变换,否则为运算速度很慢的非2幂次的算法。
对于矩阵X,fft(X)应用于矩阵的每一列。
(2)fft(X,N):
计算N点离散傅立叶变换。
它限定向量的长度为N,
若X的长度小于N,则不足部分补上零;若大于N,则删去超出N的那些元素。
对于矩阵X,它同样应用于矩阵的每一列,只是限定了向
量的长度为N。
(3)fft(X,[],dim)或fft(X,N,dim):
这是对于矩阵而言的函数调用
格式,前者的功能与FFT(X)基本相同,而后者则与FFT(X,N)基本相同。
只是当参数dim=1时,该函数作用于X的每一列;当dim=2时,则作用于X的每一行。
值得一提的是,当已知给出的样本数N0不是2的幂次时,可以取一
个N使它大于N0且是2的幂次,然后利用函数格式fft(X,N)或
fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。
这样,计算速度将大大加快。
相应地,一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。
ifft(F)返回F的一维
离散傅立叶逆变换;ifft(F,N)为N点逆变换;ifft(F,[],dim)则由N或dim确定逆变换的点数或操作方向。
ifft(F,N,dim)
或
例6-15给定数学函数
x(t)=12sin(2π×10t+π/4)+5cos(2π×40t)
取N=128,试对t从0~1秒采样,用fft作快速傅立叶变换,绘制相应的振幅-频率图。
在0~1秒时间范围内采样128点,从而可以确定采样周期和采样频率。
由于离散傅立叶变换时的下标应是从0到N-1,故在实际应用时下标
应该前移
1。
又考虑到对离散傅立叶变换来说,其振幅
|F(k)|
是关
于
N/2
对称的,故只须使
k从
0到
N/2
即可。
程序如下:
N=128;
%
采样点数
T=1;
%
采样时间终点
t=linspace(0,T,N);
%给出
N个采样时间
ti(I=1:
N)
x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t);%求各采样点样
本值x
dt=t
(2)-t
(1);
%
采样周期
f=1/dt;
%
采样频率(Hz)
X=fft(x);
%
计算x的快速傅立叶变换X
F=X(1:
N/2+1);
%F(k)=X(k)(k=1:
N/2+1)
f=f*(0:
N/2)/N;
%
使频率轴f从零开始
plot(f,abs(F),'-*')
%
绘制振幅-频率图
xlabel('Frequency');
ylabel('|F(k)|')
6.5多项式计算
6.5.1多项式的四则运算
1.多项式的加减运算
2.多项式乘法运算
函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。
这里,P1、P2是两
个多项式系数向量。
例6-16求多项式x4+8x3-10与多项式2x2-x+3的乘积。
3.多项式除法
函数[Q,r]=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。
其中Q返回多项式P1除以P2的商式,r返回P1除以P2的余式。
这里,Q和r仍是多项式系数向量。
deconv是conv的逆函数,即有P1=conv(P2,Q)+r。
例6-17求多项式x4+8x3-10除以多项式2x2-x+3的结果。
6.5.2多项式的导函数
对多项式求导数的函数是:
p=polyder(P)
:
求多项式
P的导函数
p=polyder(P,Q):
求
[p,q]=polyder(P,Q)
P·Q的导函数
:
求P/Q的导函数,导函数的分子存入
p,分母
存入q。
上述函数中,参数P,Q是多项式的向量表示,结果p,q也是多项式的向量表示。
例6-18求有理分式的导数。
命令如下:
P=[1];
Q=[1,0,5];
[p,q]=polyder(P,Q)
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