Poisson过程.docx

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Poisson过程

第三章Poisson过程

教学目的：

（1）了解计数过程的概念；

（2）掌握泊松过程两种定义的等价性；

（3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条

件分布；

（4）了解泊松过程的三种推广。

教学重点：

（1）泊松过程两种定义的等价性；

（2）泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分

布；

（3）泊松过程的三种推广。

教学难点：

（1）泊松过程两种定义的等价性的证明；

（2）泊松过程来到时刻的条件分布；

（3）泊松过程的推广。

3.1Poisson过程

教学目的：

掌握Poisson过程的定义及等价定义；会进行Poisson过程相关的概

率的计算。

教学重点：

Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明；Poisson过程相关

的概率的计算。

教学难点：

Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明。

Poisson过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义

定义3.1：

随机过程{N（t）,t0}称为计数过程，如果N（t）表示从0到t时刻

某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：

（1）N（t）取值为整数；

（2）st时，N（s）N（t）且N（t）-N（s）表示（s,t］时间内事件A发生的次数。

计数过程有着广泛的应用，如：

某商店一段时间内购物的顾客数；某段时

间内电话转换台呼叫的次数；加油站一段时间内等候加油的人数等。

如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称该计数过程

有独立增量。

即当t1t2t3,有X（t2）-X（t1）与X（t3）-X（t2）是独立的。

若在任一时间区间中的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度,则计数

过程有平稳增量。

即对一切t1t2及s0，在（t1s,t2s]中事件个数

N（t2s）N（t1s）与区间（t1,t2]中事件的个数N（t2）N（t1）有相同的分布。

Poission过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它

最早于1837年由法国数学家Poission引入。

独立增量和平稳增量是某些级数过程的主要性质.Poisson过程是具有独立

增量和平稳增量的计数过程.

定义3.2：

计数过程{N（t）,t0}称为参数为（0）Poisson过程，如果

（1）N（0）0；

（2）过程具有独立增量；

（3）对任意的s,t0,

P（N（ts）-N（s）n）e（tt）

n!

例3.1：

设顾客到达商店依次3人/h的平均速度到达，且服从Poisson分布，

已知商店上午9:

00开门,试求

（1）从9:

00到10:

00这一小时内最多有5名顾客的概率？

（2）到9:

30时仅到一位顾客，而到11:

30时总计已达到5位顾客的概率？

（解：

见板书。

）

注：

（1）Poisson过程具有平稳增量。

（2）随机变量N（t）服从参数为t的Poisson分布，故E[N（t）]t（显然，

可以认为是单位时间内事件发生的平均次数，称是Poisson过程的强度或速

率或发生率。

）

3）limP（N（ts）-N（s）0）limet1to（t）

limP（N（ts）-N（s）1）limtetto（t）

limP（N（ts）-N（s）2）o（t）t0

适当引导学生结合实际

并应用二项分布与Poisson分布之间的关系来解释这3个极限。

）

根据稀有事件原理,在概率论中我们已经学到：

Bernoulli试验中，每次试验成功的概率很小,而实验的次数很多时,二项

分布会逼近Poisson分布.这一现象也体现在随机过程中.首先，将（0,t］划分为

n个相等的时间小区间，则由条件（4）'可知，当n时，在每个小区间内事件

发生2次或2次以上的概率0.事件发生一次的概率pt（h）,显然p很小,

n

这恰好是1次Bernoulli试验.其中发生1次为成功,不发生的为失败,再由

（2）'给出

N（t）就相当于n次独立Bernoulli试验中试验成功的总次数。

由

Poisson分布的二项逼近可知，N（t）将服从参数为t的Poisson分布。

（让学生讨论如何判断一个计数过程是不是Poisson过程，则必须验证是否满足

（1）——（3），条件

（1）说明计数过程从0开始，条件

（2）通常可以从我么

对过程的实际情况去直接验证，然而条件（3）一般完全不清楚，如何去判断？

是否可以从我们所得到的Poisson过程的这三条性质来判断定义中的条件（3）是

否成立？

接下来就证明计数过程满足Poisson过程定义中的条件

（1）和

（2）及

这里的性质的时候，该计数过程是一个Poisson过程。

于是得到Poisson过程的

等价定义）

定义3.2’:

一计数过程{N（t）,t0}称为参数为的Poisson过程，若满足：

（1）'N（0）0；

（2）'是独立增量及平稳增量过程，即任取0t1t2tn,nN,

N（t1）N（0）,N（t2）N（t1）,,N（tn）N（tn1）相互独立；

且s,t0,n0,P{N（st）N（t）n}P{N（t）n}

（3）'对任意t0,和充分小的h0,有

P{N（th）N（t）1}h（h）

（4）'对任意t0,和充分小的h0,有

P{N（th）N（t）2}（h）

定理3.1:

定义3.2与定义3.2'是等价的。

证明：

定义3.2'定义3.2

Pn（t）P{N（t）n}P{N（st）N（s）n}

I）n0情形：

因为

{N（th）0}{N（t）0,N（th）N（t）0},h0

我们有：

P0（th）P{N（t）0,N（th）N（t）0}

=P{N（t）0}P{N（th）N（t）0}P0（t）P0（h）

另一方面

P0（h）P{N（th）N（t）0}1（h（h））

代入上式，我们有：

令h0我们有：

PP00（（t0））P{PN0（（0t））0}1P0（t）et

II）n0情形：

因为：

{N（th）n}{N（t）n,N（th）N（t）0}

故有：

Pn（th）Pn（t）（1h（h））Pn1（t）（h（h））（h）

化简并令h0得：

Pn（t）Pn（t）Pn1（t）两边同乘以et，移项后有：

detPn（t）etPn1（t）

dt

Pn（0）P{N（0）n}0

当n1时，有：

dtt

etP1（t）,P1（0）0P1（t）（t）et

dt

由归纳法可得：

（t）nt

Pn（t）et,nN0

n!

注意：

E{N（t）}tE{N（t）},因此代表单位时间内事件A出现的

平均次数。

定义3.2定义3.2'

h（h）1

P{N（th）N（t）1}P{N（h）N（0）1}eh1!

（h）n

hh（1ho（h））ho（h）——（3）'成立。

n0n!

h（h）n

P{N（th）N（t）2}P{N（h）N（0）2}eh

n2n!

h（h）h（h）hh

ee[1h]e[e1h]

n2n!

n0n!

1ehheh（h）——（4）'成立。

例3.2：

设{N（t），t0}服从强度为的Poisson过程,求

（1）P{N（5）4};

（2）P{N（5）4,N（7.5）6,N（12）9};

（3）P{N

（2）9|N（5）4}.

例3.3：

事件A的发生形成强度为的Poisson过程{N（t）,t0},如果每次事件

发生时以概率P能够被记录下来，并以M（t）表示t时刻记录下来的事件总数，则

{M（t）,t0}是一个强度为P的Poisson过程。

例3.4：

某商场为调查顾客到来的客源情况,考察了男女顾客来商场的人数

假设男女顾客到达商场的人数分别是独立服从每分钟1人与每分钟2人的Poisson

过程。

（1）到达商场顾客的总人数应该服从什么分布？

（2）已知t时刻已有50人到达的条件下,问其中有30位是女性顾客的概率有多大？

平均有多少女性顾客？

作业1：

设通过某十字路口的车流可以看做Poisson过程，如果1分钟内没有车

辆通过的概率为0.2.

12分钟内有多于1辆车通过的概率。

22）在5分钟内平均通过的车辆数。

3）在5分钟内平均通过的车辆数方差。

4）在5分钟内至少有一辆车通过的概率。

3.2Poisson过程相联系的若干分布

教学目的：

掌握Xn和Tn的分布；理解事件发生时刻的条件分布。

教学重点：

Xn，Tn的分布；事件发生时刻的条件分布。

教学难点：

事件发生时刻的条件分布。

Poisson过程{N（t）,t0}的一条样本路径一般是跳跃度为1的阶梯型函数。

Tn:

n1,2,是n次事件发生的时刻，也称为第n次事件的等待时间，规

定：

T00.

Xn:

n1,2,是n次与n1次事件发生的时间间隔，序列{Xn,n1}也称

为时间间隔序列.

n

显然TnXi，XnTnTn1。

i1

接下来讨论Xn:

n1,2,及Tn:

n1,2,分布，先讨论X1的分布，让学生根

据Poisson过程的两个等价定义中的条件来分析猜想X1的分布，引导学生用

Poisson过程的平稳独立增量性和无记忆性之间的联系。

复习：

1.指数分布

exx0

f（x）0x0

2.无记忆性

若随机变量满足P（Xst|Xt）P{Xs}则称随机变量X是无记忆

性的。

（指数分布无记忆性）.如果将X看做某仪器的寿命,则X的无记忆性表示为：

在仪器已工作了t小时的条件下,它至少工作st小时的概率与它原来至少工作

s小时的概率是相同的。

结论：

若X~E（）,则对任意的s0,t0,恒有：

P（Xst|Xt）P{Xs}

一、Xn和Tn的分布

定理3.2：

Xn,n1,2,服从参数为的指数分布,且相互独立.

注：

定理3.2的结果应该是在预料之中的,因Poisson过程有平稳独立增量,因此

过程在任何时刻都"重新开始",即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切

（由独立增量）,且有与过程完全一样的分布（由平稳增量）.换言之,过程"无记忆

性",与指数分布的"无记忆性"相对应.

定理3.2给出了Poisson过程的又一种定义方法：

定义3.3：

如果每次事件发生的时间间隔X1,X2,相互独立且服从同一参

数的指数分布，这该计数过程{N（t）,t0}是一个强度为的Poisson过程.

注：

如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立，且服从同一

参数为的指数分布，则质点流构成强度为的Poisson过程.

定理3.2告诉我们,要确定一个计数过程是不是Poisson过程,只要用统计方法

检验点间间距是否独立,且服从同一指数分布。

例3.5:

设从早上8：

00开始有无穷多个人排队等候服务,只有一名服务员,

且每个人接受服务的时间是独立的并服从均值为20min的指数分布，则到中午

12:

00为止平均有多少人已经离去，已有9个人接受服务的概率是多少？

例3.6:

甲、乙两路公共汽车都通过某一站,两路汽车的达到分别服从10分

钟1辆（甲，）15分钟一辆（乙）的Poisson分布假定车总不会满员，试问可乘坐甲或.

乙两路公共汽车的乘客在此车站所需要等待时间的概率分布及其期望。

定理3.3：

Tn,n1,2,服从参数为n和的的分布.

证明：

见板书。

讨论在给定N（t）n的条件下，T1,T2,,Tn的条件分布相关性质及其应用。

引理：

假设{N（t）,t0}是Poisson过程,则0st,有

P（T1s|N（t）1）s

即在已知[0,t]内A只发生一次的前提下,A发生的时刻在[0,t]上是均匀分布.因为

Poisson过程具有平稳独立增量,事件在[0,1]的任何相等长度的子区间内发生的

概率是等可能的,即它的条件分布是[0,t]上的均匀分布.

自然我们要问：

（1）这个性质能否推广到N（t）n,n1的情况？

2）这个性质是否是Poisson过程特有的？

本定理的逆命题是否成立？

首先讨论顺序统计量的性质：

设Y1,Y2,,Yn是n个随机变量，如果Y（k）是

Y1,Y2,,Yn中第k个最小值，k0,1,,n，则称Y

（1）,Y

（2）,,Y（n）是对应于

Y1,Y2,,Yn的顺序统计量。

若Y1,Y2,,Yn是独立同分布的连续型随机变量且

具有概率密度f（yi）,则顺序统计量Y

（1）,Y

（2）,,Y（n）的联合密度为:

n

f（y1,y2,,yn）n!

f（yi）（y1y2,yn）

i1

原因：

（1）（Y

（1）,Y

（2）,,Y（n））将等于（y1,y2,,yn），而（Y1,Y2,,Yn）等于

（y1,y2,,yn）的n!

个排列中的任一个；

2）当（yi1,yi2,,yin）是（y1,y2,,yn）的一个排列时，（Y1,Y2,,Yn）等于（yi1,yi2,,yin）

的概率密度

n

f（yi1,yi2,,yin）f（yi1）f（yi2）f（yin）f（yi）

i1

1

注：

若Yi,i1,2,n都在（0,t）上独立同均匀分布，（即f（yi）1t）则其顺序统计

量（Y

（1）,Y

（2）,,Y（n））的联合密度函数是

n!

f（y1,y2,,yn）tn（0y1y2,ynt）

定理3.4：

设{N（t）,t0}为Poisson过程,则在已知N（t）n的条件下，事件发

生的n个时刻T1,T2,,Tn的联合分布密度是：

n!

f（t1,t2,,tn）tn（0t1t2,tnt）

注:

上式恰好是[0,t]区间上服从均匀分布的n个相互独立的随机变量Y1,Y2,,Yn

的顺序统计量Y

（1）,Y

（2）,,Y（n）的联合分布。

直观上理解：

在已知[0,t]内发生了n次事件的前提下，各次事件发生的时刻

T1,T2,,Tn（不排序）可看做相互独立的随机变量，且服从[0,t]上的均匀分布。

例3.7:

（见书）

乘客按照强度为的Poisson过程来到某火车站,火车在时刻t启程，计算

N（t）

在（0,t]内达到的乘客等待时间的总和的期望值，即要求E[（tTi）],其中Ti

i1

是第i个乘客来到的时刻。

例3.8:

（见书例3.6）

考虑例3.3中每次事件发生时被记录到的概率随时间发生变化的情况，设

事件A在s时刻发生被记录到的概率P（s），若以M（t）表示t时刻被记录的事件数，

那么它还是Poisson过程吗？

试给出M（t）的分布。

3.3Poisson过程的推广

教学目的：

掌握非齐次Poisson过程的定义；了解非齐次Poisson过程与Poisson

过程之间的联系；理解复合Poisson过程的定义；掌握复合Poisson过程的性质；

了解条件Poisson过程的定义；掌握条件Poisson过程的性质。

教学重点：

非齐次Poisson过程与Poisson过程之间的联系；复合Poisson过程

的性质；条件Poisson过程的性质。

教学难点：

非齐次Poisson过程与Poisson过程之间的联系。

一、非齐次Poisson过程

Poisson过程的强度不再是常数,而与时间t有关系时,Poisson过程被推广

为非齐次Poisson过程。

一般来说,非齐次Poisson过程是不具备平稳增量的（例如书例3.6）.在实际中,

非齐次Poisson过程也是比较常用的.例如在考虑设备的故障率时,由于设备使

用年限的变化,出故障的可能性会随之变化;放射性物质的衰变速度,会因各种外

部条件的变化而随之变化;昆虫产卵的平均数量随着年龄和季节而变化等在这.

样的情况下,再用齐次Poisson过程来描述就不合适了,于是改用非齐次Poisson过

程来处理。

定义3.4:

计数过程{N（t）,t0}称为参数为（t）,t0的非齐次Poisson过程，

若满足：

（1）N（0）0；

（2）过程有独立增量；

（3）对任意t0,和充分小的h0,有

P{N（th）N（t）1}（t）h（h）

（4）对任意t0,和充分小的h0,有

P{N（th）N（t）2}（h）

t在非齐次poisson过程中，均值m（t）（s）ds.

非齐次Poisson过程有如下等价定义：

定义3.5：

计数过程{N（t）,t0}称为参数为（t）,t0的非齐次Poisson过程，若满足：

（1）N（0）0；

（2）过程具有独立增量；

ts

（3）对任意实数t0,s0,N（ts）N（t）具有参数为m（ts）m（t）t（u）du

Poisson分布。

[m（ts）m（t）]

可证：

P（N（ts）-N（t）n）exp{（m（ts）m（t））}n!

注1:

我们称m（t）为非齐次poisson过程的均值或强度。

注2:

定义3.4与定义3.5是等价的。

定理3.5：

设{N（t）,t0}是一个强度为（t）,t0的非齐次Poisson过程，对任

意实数t0,令N*（t）N（m1（t））,则{N*（t）}是一个强度为1的齐次Poisson过程。

注3:

用此定理可以简化非齐次Poisson过程的问题到齐次Poisson过程中

进行讨论。

另一方面也可以进行反方向的操作，即从一个参数为的Poisson

构造一个强度函数为的非齐次Poisson过程。

定理3.5’：

设{M（u）,u0}是齐次Poisson过程,且1.若强度函数

t

（s）,s0,令m（t）（s）ds,N（t）M（m（t））,则{N（t）}是具有强度为（s）的

非齐次Poisson过程。

（一般了解）

例3.9:

（见书）设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需

要维修一次，后5年平均2年需要维修一次。

试求它在使用期内维修过一次

概率。

二、复合Poisson过程

定义3.6:

称{X（t）,t0}为复合Poisson过程,如果对于t0,X（t）可以表示

N（t）

为：

X（t）Yi，其中{N（t）,t0}是一个Poisson过程，Yi,i1,2是一族独立同

i1

分布的随机变量,并且与{N（t）,t0}也是独立的。

容易看出：

复合Poisson过程不一定是计数过程，但当Yic,i1,2,c为常

数时，可化为Poisson过程。

物理意义:

如{N（t）,t0}表示粒子流，N（t）表示[0,t]内到达的粒

子数Yi表示第i个粒子的能量，则X（t）表示[0,t]内到达的粒子的总能量。

例3.10:

（见书例3.8）保险公司接到的索赔次数服从一个Poisson过程

{N（t）}，每次要求赔付的金额Yi都相互独立,且有同分布F，每次的索赔

数额与它发生的时刻无关，则[0,t]时间内保险公司需要赔付的总金额{X（t）}

就是一个复合Poisson过程，其中

N（t）

X（t）Yi

i1

例3.11:

（见书例3.9顾客成批到达的排队系统）

设顾客到达某系统的时间S1,S2,形成一强度为的Poisson过程,在每个时刻

Sn,n1,2可以同时有多名顾客到达.Yn表示在时刻Sn到达的顾客数,假定

Yn,n1,2相互独立,并且与{Sn}也独立,则在[0,t]时间内到达服务系统的顾

客总人数也可用以复合Poisson过程来描述。

N（t）

定理3.6：

设{X（t）Yi,t0}是一复合Poisson过程,Poisson过程

i1

{N（t）,t0}的强度为,则

（1）X（t）有独立增量；

（2）若E（Yi2）,则

E[X（t）]tE（Y1）,Var[X（t）]tE（Y12）.

例3.12:

（见书例3.10）在保险中的索赔模型中,设保险公司接到的索赔要

求是强度为每月2次的Poisson过程，每次赔付服从均值为10000元的正态分布，则一年中保险公司平均的赔付额是多少？

作业1:

设{N（t）,t0}是一强度函数为（t）et的非齐次Poisson过程,若

{N*（t）,t0}是一强度为1的齐次Poisson过程,求N*（t）.

作业2:

一份杂志通过零售来销售。

其销售量为每天平均为6份的Poisson

过程。

零售商每售出一份，可得1元的手续费，求零售商一年内所得总手续费

期望值。