最新全国高中数学联赛试题及答案优秀名师资料.docx

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最新全国高中数学联赛试题及答案优秀名师资料

2001年全国高中数学联赛试题及答案

二?

?

一年全国高中数学联合竞赛题

（10月4日上午8:

00—9:

40）

三题号一二合计加试总成绩131415

得分

评卷人

复核人学生注意:

1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。

2、用圆珠笔或钢笔作答。

3、解题书写不要超过装订线。

4、不能使用计算器。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分;不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

221、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x-3x-a+2=0,x?

R}的子集的个数为

（A）1（B）2（C）4（D）不确定2、命题1:

长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;

命题2:

长方体中，必存在到各棱距离相等的点;

命题3:

长方体中，必存在到各面距离相等的点;

以上三个命题中正确的有

（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

3、在四个函数y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以,为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是2

（A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|4、如果满足?

ABC=60?

，AC=12，BC=k的?

ABC恰有一个，那么k的取值范围是

（A）k=83（B）0

12（C）2（D）0,,?

12或k,83

2100020005（若（1，,，,）的展开式为,，,,，,,，…，,,，,,,,2000

则,，,，,，,，…，,的值为（）（,36919983336669992001（A）3（B）3（C）3（D）3

6（已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）（

（A）2枝玫瑰价格高（B）3枝康乃馨价格高

（C）价格相同（D）不确定

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7（椭圆ρ,1,（2,;,,θ）的短轴长等于______________（

38、若复数z,z满足|z|=2,|z|=3,3z-2z=-I,则zz=。

121212122

9、正方体ABCD—ABCD的棱长为1，则直线AC与BD的距离是。

1111111

13，,210、不等式的解集为。

logx21

2

第1页共13页

211、函数的值域为。

y,x，x,3x，2

A12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，FB

相邻的两块种不同的植物。

现有4种不同的植物可供选择，则有种CE栽种方案。

D二、解答题（本题满分60分，每小题20分）

22213、设{a}为等差数列，{b}为等比数列，且，，（a

，试求{a}的首项与公差。

lim（b，b，？

，b）,2，1n12nn,，,

2x2214、设曲线C:

（a为正常数）与C:

y=2（x+m）在x轴上方公有一个公共点P。

，y,1122a

（1）求实数m的取值范围（用a表示）;

1

（2）O为原点，若C与x轴的负半轴交于点A，当0

OAP的面积的最大值（用a表示）。

12

15、用电阻值分别为a、a、a、a、a、a、（a>a>a>a>a>a）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中123456123456

应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小,证明你的结论。

第2页共13页

二?

?

一年全国高中数学联合竞赛加试试题

（10月4日上午10:

00—12:

00）

学生注意:

1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。

2、用圆珠笔或钢笔作答。

3、解题书写不要超过装订线。

4、不能使用计算器。

一、（本题满分50分）

如图:

?

ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。

求证:

（1）OB?

DF，OC?

DE;

（2）OH?

MN。

二、（本题满分50分）

nnk2x设x?

0（I=1,2,3,…,n）且，求的最大值与最小值。

x，2xx,1i,i,,ikjji,1i,11,k,j,n

三、（本题满分50分）

将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，

试求这些正方形边长之和的最小值。

第3页共13页

2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

一（选择题:

CBDDCA

,1.已知a为给定的实数，那么集合,,,,,,,3,,,，2,0，,?

,的子集的个数为（）（

（1,（2,（4,（不确定

,,讲解:

M表示方程,,3,,,，2,0在实数范围内的解集（由于Δ,1，4,,0，所以,含有2个

元素（故集合,有2,4个子集，选,（

2（命题1:

长方体中，必存在到各顶点距高相等的点（

命题2:

长方体中，必存在到各条棱距离相等的点;

命题3:

长方体中，必存在到各个面距离相等的点（

以上三个命题中正确的有（）（

（0个,（1个,（2个,（3个

讲解:

由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确（对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点（因此，本题只有命题1正确，选,（

3（在四个函数,,,,,,,,、,,;,,,,,、,,,;,,,,、,,,,,,,,,,中，以π为周期、在（0，π,2）上单调递增的偶函数是（）（

（,,,,,,,,,（,,;,,,,,

（,,,;,,,,,（,,,,,,,,,,

讲解:

可考虑用排除法（,,,,,,,,不是周期函数（可通过作图判断），排除,;,,;,,,,,的最小正周期为2π，且在（0，π,2）上是减函数，排除,;,,,;,,,,在（0，π,2）上是减函数，排除,（故应选,（

4（如果满足?

,,,60?

，,,,12，,,,,的?

,,恰有一个，那么,的取值范围是（）（

（k,83,（0,,?

12

（,?

12,（0,,?

12或k,83

讲解:

这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论,（

说明:

本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除,、,、,（

2100020005（若（1，,，,）的展开式为,，,,，,,，…，,,，,,,,2000

则,，,，,，,，…，,的值为（）（,36919983336669992001,（3,（3,（3,（3

讲解:

由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法（

,取ω,,（1,2），（,2）,，则ω,1，ω，ω，1,0（

令,,1，得

10003,,，,，,，,，…，,;,,,,2000

令,,ω，得

20000,,，,ω，,ω，…，,ω;,122000,令,,ω，得

,,40000,,，,ω，,ω，,ω，…，,ω（,,,,2000

三个式子相加得

10003,3（,，,，,，…，,）（,,,1998999,，,，,，…，,,3，选,（,,,1998

第4页共13页

6（已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）（

（2枝玫瑰价格高,（3枝康乃馨价格高

（价格相同,（不确定

讲解:

这是一个大小比较问题（可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为,元、,元，则由题设得，

6X，3Y,24,

4X，5Y,22

问题转化为在条件?

、?

的约束下，比较2,与3,的大小（有以下两种解法:

解法1:

为了整体地使用条件?

、?

，令6,，3,,,，4,，5,,,，联立解得,,（5,,3,）,18，,,（3,,2,）,9（

,3,,…,（11,,12,）,9（

,24，,,22，

,12,,11×24,12×22,0（

,3,，选,（

图1

解法2:

由不等式?

、?

及,,0、,,0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）（令2,,3,,2;，则;表示直线,:

2,,3,,2;在,轴上的截距（显然，当,过点（3，2）时，2;有最小值为0（故2,,3,,0，即2,,3у，选,（

说明:

（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题:

已知函数,,,（,）,,,,;满足:

4?

（1）?

1，,1?

（2）?

5，那么,（3）应满足（）（

（,7?

（3）?

26,（,4?

（3）?

15

（,1?

（3）?

20,（,28,3?

（3）?

35,3

（2）如果由条件?

、?

先分别求出,、,的范围，再由2,,,的范围得结论，容易出错（上面的解法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见文,1,（

二（填空题

6233072,，i7（8（9（361313

23710（11（12（732（0,1）:

（1,2）:

（4,，,）[1,）:

[2,，,）2

第5页共13页

7（椭圆ρ,1,（2,;,,θ）的短轴长等于______________（

讲解:

若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法;若注意到离心率,和焦参数,（焦点到相应准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长（

（0）,a，c,1,解法1:

由得,（,）,a,c,1/3

323,,2,3，从而,,，故2,,33

2222解法2:

由,,;,,,1,2，,,,,;,1及,,,,;，得

323,,（从而2,,（33

说明:

这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题（

（若复数,、,满足,,,,2，,,,,3，3,,2,,（3,2）,,，则,?

,,,,,,,,______________（,

讲解:

参考答案给出的解法技巧性较强，根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点，而且也不繁（

令,,2（;,,α，,,,,α），,,3（;,,β，,,,,β），则由3,,,,,2,,（3,2）,,及复数相等的充要条件，得,

6（cos,,cos,）,3/2

6（sin,,sin,,,1

即

12sin（（,，,）/2）sin（（,,,）/2）,3/2

12cos（（，）/2）sin（（,）/2）,,1,,,,二式相除，得,,（α，β）,2）,3,2（由万能公式，得

,,（α，β）,12,13，;,,（α，β）,,5,13（故,?

,6,;,,（α，β），,,,,（α，β）,,,

,（30,13），（72,13）,（

说明:

本题也可以利用复数的几何意义解（

（正方体,,,,,,,,1的棱长为1，则直线,,与,,的距离是,,,,,,______________（

讲解:

这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法（

第6页共13页

图2

为了保证所作出的表示距离的线段与,,和,,都垂直，不妨先将其中一条直线置于,,,

另一条直线的垂面内（为此，作正方体的对角面,,,,，则,,?

面,,,,，且,,,,,,,,面,,,,（设,,?

,,0，在面,,,,内作,,?

,，垂足为,，,,,,,,,,,,则线段,,的长为异面直线,,与,,的距离（在,,?

,,中，,,等于斜边,,,,,,,

上高的一半，即,,,,6（,

（不等式,（1,,,,,），2,,3,2的解集为______________（1,2

讲解:

从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得,,,,,,2，或,2,7,,,1,2

,,0，或,,,,,0（1,21,22,7从而,,4，或1,,,2，或0,,,1（

（函数,,,，的值域为______________（

讲解:

先平方去掉根号（,,,由题设得（,,,）,,,3,，2，则,,（,,2）,（2,,3）（,由,?

，得,?

（,,2）,（2,,3）（解得1?

,3,2，或,?

2（由于能达到下界0，所以函数的值域为,1，3,2）?

2，，?

）（

说明:

（1）参考答案在求得1?

,3,2或,?

2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要（

（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试（

图3

（在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物（现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案（

讲解:

为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母,、,、,、,、,、,（按间隔三块,、,、,种植植物的种数，分以下三类（

（1）若,、,、,种同一种植物，有4种种法（当,、,、,种植后，,、,、,可从剩余的三种植物中各选一种植物（允许重复），各有3种方法（此时共有4×3×3×3,108种方法（

2

（2）若,、,、,种二种植物，有,种种法（当,、,、,种好后，若,、,种同一种，则,有3,,种方法，,、,各有2种方法;若,、,或,、,种同一种，相同（只是次序不同）（此时共有,×3（3×2×2）,,432种方法（

,（3）若,、,、,种三种植物，有,种种法（这时,、,、,各有2种种方法（此时共有,×2×2×2,,,192种方法（

第7页共13页

根据加法原理，总共有,,108，432，192,732种栽种方案（

说明:

本题是一个环形排列问题（

三（解答题

13（设所求公差为d，?

a,a，?

d,0（由此得12

22422化简得:

a（a，2d）,（a，d）2a，4ad，d,011111

解得:

………………………………………………………5分d,（,2,2）a1

而，故a,0,2,2,01

2a22若，则d,（,2,2）aq,,（2，1）12a1

2a22若，则………………………………10分d,（,2，2）aq,,（2,1）12a1

2但存在，故|q|,1，于是q,（2，1）不可能（lim（b，b，？

，b）,2，1n12n,，,

2a21从而,2，1,a,（22,2）（2，1）,2121,（2,1）

所以a,,2,d,（,2，2）a,22,2………………………………20分11

2,x2，y,1,2222214（解:

（1）由消去y得:

?

x，2ax，2am,a,0a,

2y,2（x，m）,

2222f（x）,x，2ax，2am,a设，问题

（1）化为方程?

在x?

（,a，a）上有唯一解或等根（

只需讨论以下三种情况:

21a，221?

?

0得:

，此时x,,a，当且仅当,a,,a,a，即0,a,1时适合;m,p2

2?

f（a）f（,a）,0，当且仅当,a,m,a;

223?

f（,a）,0得m,a，此时x,a,2a，当且仅当,a,a,2a,a，即0,a,1时适合（p22f（a）,0得m,,a，此时x,,a,2a，由于,a,2a,,a，从而m?

a（p

21a，综上可知，当0,a,1时，或,a,m?

a;m,2

当a?

1时，,a,m,a（………………………………………………10分

1

（2）?

OAP的面积S,ayp2

122?

0,a,，故,a,m?

a时，0,,a，,a，aa，1,2m2

第8页共13页

22由唯一性得x,,a，aa，1,2mp

2xp2y,2a,a显然当m,a时，x取值最小（由于x,0，从而y,取值最大，此时，1,pppp2a

2?

（S,aa,a

211a，222当时，x,,a，y,，此时（S,a1,am,1,app22

122下面比较与的大小:

a1,aaa,a2

1122令，得a,aa,a,a1,a32

111222故当0,a?

时，?

，此时（a1,aS,a1,aaa,amax322

111222当时，，此时S,aa,a（………20分,a,aa,a,a1,amax322

15（解:

设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为R，当R,a，i,3，4，5，6，R、R是a、a的FGii1212

任意排列时，R最小……………………………………………………5分FG

证明如下:

1111（设当两个电阻R、R并联时，所得组件阻值为R，则（故交换二电阻的位置，不改,，12RRR12变R值，且当R或R变小时，R也减小，因此不妨取R,R（1212

2（设3个电阻的组件（如图1）的总电阻为RAB

RR，RR，RRRR12132312R,，R,3ABR，RR，R1212

显然R，R越大，R越小，所以为使R最12ABAB

小必须取R为所取三个电阻中阻值最小的—个（3

3（设4个电阻的组件（如图2）的总电阻为RCD

第9页共13页

S,RRR2123若记，则S、S为定值，于是S,RR,S,RRRR,12,,1ij2ijkCDS,RR1,i,j,41,i,j,k,4134

只有当RR最小，RRR最大时，R最小，故应取R,R，R,R，R,R，即得总电阻的阻值最34123CD43323l小…………………………………………………………………………15分

4?

对于图3把由R、R、R组成的组件用等效电阻R代替（要使R最小，由3?

必需使R,R;123ABFG65且由1?

应使R最小（由2?

知要使R最小，必需使R,R，且应使R最小（CECE54CD

而由3?

，要使R最小，应使R,R,R且R,R,R，CD432431

这就说明，要证结论成立………………………………………………………………20分

2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准

一（证明:

（1）?

A、C、D、F四点共圆

?

?

BDF,?

BAC

1又?

OBC,（180?

?

BOC）,90?

?

BAC2

?

OB?

DF（

（2）?

CF?

MA

2222?

MC,MH,AC,AH?

?

BE?

NA

2222?

NB,NH,AB,AH?

?

DA?

BC

2222?

BD,CD,BA,AC?

?

OB?

DF

2222?

BN,BD,ON,OD?

?

OC?

DE

2222?

CM,CD,OM,OD?

……………………………………30分

?

?

，?

，?

?

，得

22222222NH,MH,ON,OMMO,MH,NO,NH

?

OH?

MN……………………………………………………………………50分

另证:

以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，

aakk设A（0，a），B（b，0），C（c，0），则,,,,,ACABcb

ca?

直线AC的方程为，直线BE的方程为y,,（x,c）y,（x,b）ca

第10页共13页

c,y,（x,b）222,ac，bcac,abc,a由得E点坐标为E（）,,2222aa，ca，c,y,,（x,c）,c,

222ab，bcab,abc同理可得F（）,2222a，ba，b

acc直线AC的垂直平分线方程为y,,（x,）2a2

b，c直线BC的垂直平分线方程为x,2

acc,y,,（x,）2,bcbca，，,2a2由得O（）,,b，c22a,x,,2,

2bc，a22bc，aab,abcab,aca2k,,,k,,OBDF222b，cac,abab，bca，bc,b2

?

kk,,1?

OB?

DFOBDF

同理可证OC?

DE（

bcc在直线BE的方程中令x,0得H（0，）y,（x,b）,aa

2bc，abc，2a，3bc2aa?

k,,OHb，cab，ac

2

ab,ac直线DF的方程为y,x2a，bc

ab,ac,yx,2222,ac，bcabc,ac,a，bc,由得N（）,2222aa，2bc,ca，2bc,c,yxc,,（,）,c,

222ab，bcabc,ab,同理可得M（）2222a，2bc,ba，2bc,b

222a（b,c）（a，bc）ab，ack,,,?

MN222（c,b）（a，bc）（a，3bc）a，3bc

?

k?

k,,1，?

OH?

MN（OHMN

nnnk22（x）,x，2xx,1,x二（解:

先求最小值，因为?

1iikji,,,,j,1,11,,,,1iikjni

第11页共13页

等号成立当且仅当存在i使得x,1，x,0，j,iij

n

x?

最小值为1（……………………………………………………………10分i,i,1

再求最大值，令x,kykk

n2?

?

ky，2kyy,1kkj,,,,11,,knkj

y，y，？

，y,a,12n1,nny，？

，y,a,2n2M,x,ky设，令,kk,,？

？

,11kk,

y,ann,

222则?

?

……………………………………………………30分a，a，？

，a,1n12

n

M,k（a,a）令a,0，则，1kkn,1,,1k

nnnnn

ka,ka,ka,k,1a,（k,k,1）a，1kkkkk,,,,,,,,,,11111kkkkk

由柯西不等式得:

nnn111222222M,[（k,k,1）]（a）,[（k,k,1）]k,,,,1,1,1kkk

222aaa1kn等号成立?

,,,？

？

221（k,k,1）（n,n,1）

2222a，a，？

，aa12nk,,2221，（2,1），？

，（n,n,1）（k,k,1）

k,k,1,a,（k=1，2，…，n）kn122[（k,k,1）],,1k

kkk2,（，1，,1）yaa,,,,0由于a?

a?

…?

a，从而，即x?

012nkkkk，1n122kk[（,,1）],k,1

n122[（k,k,1）]所求最大值为……………………………………………50分,,1k

三（解:

记所求最小值为f（m，n），可义证明f（m，n）,rn，n,（m，n）（*）

其中（m，n）表示m和n的最大公约数……………………………………………10分

第12页共13页

事实上，不妨没m?

n

（1）关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn，n,（m，n）

当用m,1时，命题显然成立（

假设当，m?

k时，结论成立（k?

1）（当m,k，1时，若n,k，1，则命题显然成立（若n,k，1，从矩形ABCD中切去正方形AADD（如图），由归纳假设矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和恰1111

为m—n，n—（m,n，n）,m,（m，n），于是原矩形ABCD有DDC1一种分法使得所得正方形边长之和为rn，