数学建模考试题开卷及答案.docx

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数学建模考试题开卷及答案

2010年上学期2008级数学与应用数学，信息与计算科学专业

《数学建模》课程考试供选试题

第1题

4万亿投资与劳动力就业：

2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。

沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。

据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。

部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。

但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。

中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。

为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。

在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。

但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。

问题如下：

1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？

如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？

2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？

如果不够，还需要投资多少？

3、不同的产业（或行业）吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。

请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业（或行业）里？

4、请你给出相关的政策与建议。

第2题

深洞的估算：

假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。

1、不计空气阻力；

2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05；

3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025；

4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。

第3题

优秀论文评选：

在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150篇参赛论文中选择4篇论文作为特等奖论文。

评审小组由10名评委组成，包括一名小组组长（出题人），4名专业评委（专门从事与题目相关问题研究的评委），5名普通评委（从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审）。

组委会原先制定的评审步骤如下：

step1:

首先由普通评委阅读所有150篇论文，筛选出20篇作为候选论文。

Step2:

然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4篇作为推荐的论文。

Step3:

接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的4篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。

Step4:

在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文（从20篇候选论文中除去已经入选的论文）重复step2至step4步的评审工作。

如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。

如果有超过4篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。

问题:

1、请建立数学模型定量地讨论上面的评审规则的公平性。

2、假设小组组长、专业评委、普通评委受超过半数人的观点影响的概率分别为0.3，0.4，0.6。

组委会希望给每个评委的投票设置一定的权重，应该如何设置才最合理，用数学模型支持你的观点。

第4题

送货问题：

某地区有8个公司（如图一编号①至⑧），某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口（编号⑨）分别运往各个公司。

路线是唯一的双向道路（如图１）。

货运公司现有一种载重6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次（车辆每出动一次为一车次）。

每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时（不考虑塞车现象），每日工作不超过8小时。

运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。

一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。

卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量（见表１）。

问题：

1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发（不定方向）后运输途中不允许掉头，应如何调度（每辆车的运载方案，运输成本）使得运费最小。

2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？

应如何调度？

3、

（1）如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？

（2）当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法（可结合实际情况深入分析）。

图１　唯一的运输路线图和里程数

公司

材料

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

A

4

1

2

3

1

0

2

5

B

1

5

0

1

2

4

2

3

C

5

2

4

2

4

3

5

1

表１　　各公司所需要的货物量

第5题

生产与存贮问题：

一个生产项目，在一定时期内,增大生产量可以降低成本费,但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。

相反,如果减少生产量,虽然可以降低存贮费,但又会增加生产的成本费,同样会造成损失。

因此,如何正确地制定生产计划,使得在一定时期内,生产的成本费与库存费之和最小,这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮问题。

假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。

但由于生产条件的变化,该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同,每月的生产量除供本月需要外,剩余部分可存入仓库备用。

今已知半年内,各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下所示:

月份（k）：

　1　　2　　3　　4　　5　　6

月需求量（bk）：

8　　5　　3　　2　　7　　4

单位工时（ak）：

11　1813172010

设库存容量H=9,开始时库存量为2,期终库存量为0。

要求制定一个半年逐月生产计划,使得既满足需求和库存容量的限制,又使得总耗费工时数最少。

解：

S：

总耗费工时。

a（n）:

月耗工时。

H（n）：

月库存量。

Y（n）:

月生产量。

B（n）：

月需求量。

Q：

总成本费。

W：

总存贮费。

M:

总费用。

由保证需求量及库存容量的约束条件下，我们可以得到以下的约束条件，转换成数学模型。

H1=Y1+2-80<=H1<=9

H2=Y2+H1-50<=H2<=9

H3=Y3+H2-30<=H1<=9

H4=Y4+H3-20<=H1<=9

H5=Y5+H4-70<=H1<=9

H6=Y6+H5-4H6=0

由此可以得到以下的式子：

0<=Y1+2-8<=96<=Y1<=15

0<=Y2+H1-5<=911-Y1<=Y2<=20-Y1

0<=Y3+H2-3<=914-（Y1+Y2）<=Y3<=23-（Y1+Y2）

0<=Y4+H3-2<=916-（Y1+Y2+Y3）<=Y4<=25-（Y1+Y2+Y3）

0<=Y5+H4-7<=923-（Y1+..Y4）<=Y5<=32-（Y1+...Y4）

Y6+H5-4=0Y1+Y2+.....Y6-27=0

我们是从一月份开始逐月的确定生产量，又要考虑耗费工时的最小。

a1=Y

（1）11/8a2=Y

（2）18/5a3=Y（3）13/3

a4=Y（4）17/2a5=Y（5）20/7a6=Y（6）10/4

11/8=1.3（最小）18/5=3.6

13/3=4.317/2=8.5（最大）

20/7=310/4=2.5（第二小）

所以：

总工时

S=a1+a2+...............a6

总费用

M=Q+W

经分析要使得S取最小值，库存量H1，H2必须取最大值，H4，H5取最小值。

所以得到的逐月生产计划是：

月份123456

生产量1550034

第6题

碎石运输方案设计：

在一平原地区要进行一项道路改造项目，在A，B之间建一条长200km，宽15m，平均铺设厚度为0.5m的直线形公路。

为了铺设这条道路，需要从S1，S2两个采石点运碎石。

1立方米碎石的成本都为60元。

（S1，S2运出的碎石已满足工程需要，不必再进一步进行粉碎。

）S1，S2与公路之间原来没有道路可以利用，需铺设临时道路。

临时道路宽为4m，平均铺设厚度为0.1m。

而在A，B之间有原来的道路可以利用。

假设运输1立方米碎石1km运费为20元。

此地区有一条河，故也可以利用水路运输：

顺流时，平均运输1立方米碎石1km运费为6元；逆流时，平均运输1立方米碎石1km运费为10元。

如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。

建一个临时码头需要用10万元。

建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：

A（0,100），B（200,100），s1（20,120），s2（180,157）。

河与AB的交点为m4（50,100）（m4处原来有桥可以利用）。

河流的流向为m1→m7，m4的上游近似为一抛物线，其上另外几点为m1（0,120），m2（18,116），m3（42,108）；m4的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5（74,80），m6（104,70），m7（200,50）。

桥的造价很高，故不宜为运输石料而造临时桥。

此地区没有其它可以借用的道路。

为了使总费用最少，如何铺设临时道路（要具体路线图）；是否需要建临时码头，都在何处建；从s1，s2所取的碎石量各是多少；指出你的方案的总费用。

第7题

人民币的汇率问题：

人民币汇率对经济的影响近年来成为人们议论的热点，有不少经济学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展的影响。

一些学者希望提高人民币对一些主要货币的汇率，另一些学者则希望稳定人民币的汇率。

试建立数学模型解决下列问题：

1、以英镑汇率或日元汇率为例研究其变化对该国经济的影响；

2、人民币汇率与主要货币（如英镑、日元、欧元等）的汇率关系；

3、人民币汇率变化对我国及世界经济的影响。

第8题

列车售餐问题：

长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。

提供一天三餐是主要的服务。

由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。

以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。

由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。

列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。

如一般售价3元的方便面卖5元。

当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。

但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。

假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。

请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。

解：

4问题假设：

1.盒饭价格每增加1元，就会有20个人选择放弃购买,即b1=20;

2.方便面价格每增加1元，就会有36个人选择放弃购买,即b2=36;

3.因为500人有在车上买饭的要求，假设早餐能提供500份；

4.早餐的价格每增加1元，就会有30个人选择放弃购买,即b3=30;

5.各餐饮市场上的价格作为这里的成本价,即q1=10元（盒饭），q2=3元（方便面），q3=5元（早餐）；

6.销量x依赖于价格p,x（p）是减函数

7.进一步设:

x（p）=a–bp,a,b>0；

5符号说明：

q：

以各餐饮市场上的价格作为这里的成本价，即食物的成本价；

p：

食物所卖的价格；

a：

绝对需求（p很小时的需求），即价格最低时的购买人数；

b：

价格上升1元时购买人数的下降幅度（需求对价格的敏感度）；

I：

收入；U：

利润；C：

支出；

x：

需要购买某食物的人数；

相应的下标1，2，3分别表示早餐，盒饭，方便面;例如：

x1,x2,x3分别表示购买盒饭，方便面，早餐的人数；

6模型建立与求解：

采用先统一再分开的算法；

收入I（p）=px;支出C（p）=qx;利润U（p）=I（p）–C（p）;求p使U（p）最大；

使利润U（p）最大的最优价格p*满足

U（p）=I（p）–C（p）

=（p–q）（a–bp）

=-bpp+（a+bq）p-aq

因为

q/2~成本的一半；

b~价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）bp*

a~绝对需求（p很小时的需求）ap*

7对于盒饭：

由假设可知：

q1=10,b1=20；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；所以：

a1=500;购买人数x1=500–20p1;

由p*=q/2+a/2*b可得：

p*=q1/2+a1/2*b1=10/2+500/2*20=17.5;

由500–20*17.5=150<200;此时不能直接用公式；

由500–20p1>=200得到p1<=15;

所以取得最大利润时p1=15;

8同理可得方便面：

q2=3,b2=36；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人，此时还剩下300人需求方便面；所以，a2=300,购买人数x=300–36p2;

由p*=q/2+a/2*b可得：

p*=q2/2+a2/2*b2=3/2+300/2*36=6.3;

由300–36*6.3=73<100;此时也不能直接用公式

由300–36*p2>=100;得到p2<=5.5由U（p）=-bpp+（a+bq）p–aq可知：

当U（p）取最大值时，p2=5.5;

9同理可得早餐：

q3=5,b3=30；因为500人有在车上买饭的要求，以：

a1=500;购买人数x1=500–30p3;

因为供应量不受约束，所以可以直接用公式：

由p*=q/2+a/2*b可得：

p*=q3/2+a3/2*b3=5/2+500/2*30=11.5;

所以取得最大利润时p1=11.5;盒饭、方便面、早餐的价格分别为15元、5.5元、11.5元；

第9题

居民区供水问题：

某居民区的民用自来水是由圆柱形水塔提供,水塔高12.2米,直径17.4米.水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水,一般每天水泵工作两次.现在需要了解居民区用水规律与水泵的工作功率.按照设计,当水塔的水位降至最低水位,约8.2米,水泵自动启动加水;当水位升高到一个最高水位,约10.8米,水泵停止工作.

可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律,并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率,表1是某一天的测量记录数据,测量了28个时刻,但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水,而无水位记录（表1中用//表示）.

试建立合适的数学模型,推算任意时刻的用水率,一天的总用水量和水泵工作功率.

表1原始数据（单位:

时刻（小时）,水塔中水位（米））

时刻t

0

0.921

1.843

2.949

3.871

4.978

5.900

水位

9.677

9.479

9.308

9.125

8.982

8.814

8.686

时刻t

7.006

7.928

8.967

9.9811

10.925

10.954

12.032

水位

8.525

8.388

8.220

//

//

10.820

10.500

时刻t

12.954

13.875

14.982

15.903

16.826

17.931

19.037

水位

10.210

9.936

9.653

9.409

9.180

8.921

8.662

时刻t

19.959

20.839

22.015

22.958

23.880

24.986

25.908

水位

8.433

8.220

//

10.820

10.597

10.354

10.180

第10题

导弹攻击：

某军一导弹基地发现正北方向120千米处海上有一艘敌艇以90千米/小时的速度向正东方向行驶.该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇,导弹速度为450千米/小时,自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。

试问导弹在何时何地击中敌艇?

如果当基地发射导弹的同时,敌艇立即仪器发现.假定敌艇即刻以135千米/小时的速度向与导弹方向垂直方向逃逸,问导弹何时何地击中敌艇?

敌艇与导弹方向成何夹角逃逸最好?

结论中有何启示?

解：

当t=0时,导弹位于原点O,敌艇位于（0,120）点；当时刻t,导弹位于L（x（t）,y（t）），敌艇位于（90t,120）点。

导弹速度可由水平分速度与垂直分速度合成：

（dx/dt）^2+（dy/dt）^2=450^2______【1】导弹方向指向敌艇,导弹轨迹的导数就是其切线，所以dy/dx=（120-y）/（90t-x）__________【2】而dy/dx＝（dy/dt）/（dx/dt）解以上微分方程组，初始条件为：

x（0）=0,y（0）=0数值解法，用差分方程法。

dx=x（k+1）-x（k）;dy=y（k+1）-y（k）;dt=t（k+1）-t（k）=h

第11题

产销问题：

某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示。

表1.产品需求预测估计值（件）

月份

1月

2月

3月

4月

5月

6月

预计需求量

1000

1100

1150

1300

1400

1300

1月初工人数为10人，工人每月工作21天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过10个小时。

1月初的库存量为200台。

产品的销售价格为240元/件。

该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。

6月末的库存为0（不允许缺货）。

各种成本费用如表2所示。

表2.产品各项成本费用

原材料成本

库存成本

缺货损失

外包成本

培训费用

100元/件

10元/件/月

20元/件/月

200元/件

50元/人

解聘费用

产品加工时间

工人正常工资

工人加班工资

100元/人

1.6小时/件

12元/小时/人

18元/小时/人

（1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；

（2）公司销售部门预测：

在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。

试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案

（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规划方案。

解：

问题一：

㈠目标函数及其子函数的建立⑴目标函数为：

Max=7250×240－m即最大利润减去最小成本，由于每月的预计值已经固定不变，并且题目要求六月份

的缺货量为零，故6个月销售的产品个数总和是固定的7250件，售价不变，其销售总金额也不变，所以该问题转化为求解成本最小的问题。

⑵又有m=f0+r0

?

6个月非人力成本等于各个月非人力成本之和

?

6个月人力成本等于各个月人力成本之和

⑶根据变量之间的关系分析人力成本故可列出算式：

人力成本=正常工人工资＋当月招聘人员的培训费＋当月解雇人员的遣散费＋加班费

第12题

订购问题：

假如你负责一个中等面粉加工厂的原料采购。

该工厂每星期面粉的消耗量为80包，每包面粉的价格是250元。

在每次采购中发生的运输费用为500元，该费用与采购数量的大小无关，每次采购需要花费1小时的时间，工厂要为这1小时支付80元。

订购的面粉可以即时送达。

工厂财务成本的利率以每年15%计算，保存每包面粉的库存成本为每星期1.10元。

（1）目前的方案是每次采购够用两个星期的面粉，计算这种方案下的平均成本。

（2）试建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。

（3）若面粉供应商为推出促销价格：

当面粉的一次购买量大于500包时，为220元/包。

建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。

解

所以库存费：

符号说明补充：

第13题

肥皂液薄膜曲面问题：

如果你把一根铜丝弯成一条封闭的空间曲线（留出一个把手）,将这个框架浸入配制好的肥皂液,然后将它轻轻地提取出来,那么肥皂液就会在铜丝框架上张成一个处于平衡状态的绚丽多彩的薄膜.试分析这个薄膜是怎样的曲面?

如图1建立空间直角坐标系,若框架曲线满足方程

请画出薄膜曲面的图像.

图1框架曲线

第14题．

讨价还价中的数学：

在当前市场经济条件下，在商店，尤其是私营个体商店中的商品，所标价格a与其实际价值b之间，存在着相当大的差距。

对购物的消费者来说，从希望这个差距越小越好，即希望比值λ接近于1，而商家则希望λ>1。

这样，就存在两个问题：

第一，商家应如何根据商品的实际价值（或保本价）b来确定其价格a才较为合理？

第二，购物者根据商品定价，应如何与商家"讨价还价"？

第一个问题，国家关于零售商品定价有相关规定，但在个体商家实际定价中，常用"黄金数"方法，即按实际价b定出的价格a，使b:

a≈0.618。

虽然商品价值b位于商品价格a的黄金分割点上，考虑到消费者讨价还价，应该说，这样定价还是较为合理的。

对消费者来说，如何"讨价还价"才算合理呢？

一种常见的方法是"对半还价法"：

消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价则加上二者差价的一半；消费者第二次还价要减去二者差价的一半；如此等等。

直至达到双方都能接受的价格为止。

有人以为，这样讨价还价的结果其理想的最终价格将是原定价的黄金分割点。

是这样的吗？

试进行定量分析，并给出结果。

第15题．

铅球运动员成绩：

众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg（16磅）重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。

以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。

而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。

影响铅球投掷远度的因素有哪些？

建立一个数学模型，将预