等腰三角形分类讨论思想.docx
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等腰三角形分类讨论思想.docx
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等腰三角形分类讨论思想
等腰三角形分类讨论思想(总12页)
等腰三角形有关角度问题
?
等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形,就是因为这种特殊性,在具体处理问题时往往又会出现错误,因此,同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。
例1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为()
A.30°B.75°C.105°D.30°或75°
简析:
75°角可能是顶角,也可能是底角。
当75°是底角时,则顶角的度数为
180°-75°×2=30°;当75°角是顶角时,则顶角的度数就等于75°。
所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。
故应选D。
说明:
对于一个等腰三角形,若条件中并没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,先确定这个已知角是顶角还是底角,再运用三角形内角和定理求解。
?
变式1:
已知等腰三角形的一个外角为100°,则其顶角为______。
简析:
(1)若外角与顶角相邻,则其顶角为80°;
(2)若外角与底角相邻,则其顶角为20°。
变式2:
如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍,那么它的底角是__________度
简析:
(1)若底角是顶角的2倍,则其底角为72°;
(2)若顶角是底角的2倍,则其底角为45°。
例2.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,求这个等腰三角形的顶角的度数。
简析:
依题意可画出图1和图2两种情形。
图1中顶角为45°,图2中顶角为135°。
等腰三角形有关边的计算问题
例题:
已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_________。
简析:
已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长,因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。
当5是等腰三角形的腰长时,这个等腰三角形的底边长就是6,则此时等腰三角形的周长等于16;当6是腰长时,这个三角形的底边长就是5,则此时周长等于17。
故这个等腰三角形的周长等于16或17。
说明:
对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪条是底哪条是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。
变式1:
等腰三角形的一边长为6,周长为14,那么它的腰长为______。
简析:
当底边为6时,则腰长为4;
当腰长为6时,则底边为2;
变式2:
等腰三角形的一边长为2,周长为8,那么它的腰长为______。
简析:
当底边为2时,则腰长为3;
当腰长为2时,则底边为4,但此时不能构成三角形,所以腰长只为3.
说明:
求出来的解应满足三角形三边关系
例2.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分,求这个等腰三角形的底和腰的长。
简析:
已知条件并没有指明哪一部分是9cm,哪一部分是12cm,因此,应有两种情形。
若
设这个等腰三角形的腰长是
cm,底边长为
cm,可得或
解得或
即当腰长是6cm时,底边长是9cm;当腰长是8cm时,底边长是5cm。
说明:
这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。
?
平面直角坐标系中的等腰三角形问题
例1.在平面直角坐标系中,已知A(2,-2),在y轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,求点P的坐标.
【解析】
由于题目中没有明确等腰三角形的顶角顶点,所以需要对此进行分类讨论(如图)。
点A、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。
若点A为顶点,则点P坐标为(0,-4);
若点O为顶点,则点P坐标为(0,
),或(0,
);
若点P为顶点,此时,OA为底边,点P在线段OA的中垂线上,
则点P坐标为(0,-2).
所以,点P的坐标为(0,-4),(0,
),(0,
),(0,-2)。
例2.如图,在平面直角坐标系中,OABC是矩形,点A、C坐标分别为A(10,0),C(0,4),D是OA的中点,P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为多少
?
【解析】
由于题目只是给出△ODP是腰长为5的等腰三角形,所以需要对等腰三角形的腰进行分类讨论。
由题意,OD=5,当OD为腰时,点O和点D均有可能为等腰三角形顶角的顶点,所以若点O为顶点时,则OP=5,故点P坐标为(3,4),若点D为顶点时,则DP=5,故点P坐标为(2,4)或(8,4);当OD为底边时,点P就在OD的中垂线上,则此时点P坐标为(4),显然此时两腰长不为5,不合题意。
【答案】点P坐标为(2,4)或(8,4)或(3,4)
?
拓展提升
在平面直角坐标系中,已知点P(-2,1),关于y轴的对称点为Q,点B(x,0)是横轴上的一个动点,当三角形QBO是等腰三角形时,求x的值。
因为P与Q关于y轴对称,P(-2,1)
所以Q(2,1),OP`=根号5
当△P`TO是等腰三角形时,分以下几种情况进行讨论:
1.当点T在x轴的正半轴时:
(1)若TP`=OP`,因为OP`=根号5,TP`2=OP`2,所以(t-2)2+12=5.
t(t-4)=0.因为P`TO要构成三角形,所以T点不可能与O点重合
所以t=4
(2)若OT=TP`,则(t-0)2+(0-0)2=(t-2)2+(1-0)2
所以t=5/4
(3)若OP`=OT,则有OP`2=OT2,即(2-0)2+(1-0)2=(t-0)2+(0-0)2
所以t2=5,因为T点在x轴的正半轴,所以t=根号5.
2.当点T在x轴的负半轴时,角TOP`一定是一个钝角三角形,所以当且仅当OT`与OP`作三角形的腰时,才可构成等腰三角形.
所以OT2=OP`2,则t2=5,因为T点在x轴的负半轴,所以t=-根号5
在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,2),点Q在y轴上,△PQO是等腰三角形,则满足条件的点Q共有具体点的坐标
在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,2),点Q在y轴上,△PQO是等腰三角形,则满足条件的点Q共有————
具体点的坐标
(0,2倍根号2)(0,负2倍根号2)(0,4)(0,2)
例5.为美化环境,计划在某小区内用
的草皮铺设一块一边长为10
的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
简析:
在等腰ΔABC中,设AB=10
,作CD⊥AB于D,由
,可得CD=6
。
如下图,当AB为底边时,AD=DB=5
,所以
。
如下图,当AB为腰且ΔABC为锐角三角形时,
,所以
,
。
?
如下图,当AB为腰且ΔABC为钝角三角形时,
,
,
所以
。
说明:
三角形的高是由三角形的形状决定的,对于等腰三角形,当顶角是锐角时,腰上的高在三角形内;当顶角是钝角时,腰上的高在三角形外。
?
五.遇中垂线需讨论
例6.在ΔABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=____________。
简析:
按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。
如图1,当交点在腰AC上时,ΔABC是锐角三角形,此时可求得∠A=40°,所以
∠B=∠C=
(180°-40°)=70°。
如图2,当交点在腰CA的延长线上时,ΔABC为钝角三有形,此时可求得
∠BAC=140°,所以∠B=∠C=
(180°-140°)=20°
故这个等腰三角形的底角为70°或20°。
说明:
这里的图2最容易漏掉,求解时一定要认真分析题意,画出所有可能的图形,这样才能正确解题。
?
六.和方程问题的综合讨论
例7.已知ΔABC的两边AB,AC的长是关于
的一元二次方程
的两个实数根,第三边BC长为5。
(1)
为何值时,ΔABC是以BC为斜边的直角三角形
(2)
为何值时,ΔABC是等腰三角形,并求ΔABC的周长。
简析:
(1)略。
(2)若ΔABC是等腰三角形,则有AB=AC,AB=BC,AC=BC这三种情形。
方程
可化为
,即
,
,显然
,即
。
当AB=BC或AC=BC时,5是方程
的根。
当
时,代入原方程可得
,解得
,
。
当
时,原方程的解为
,等腰ΔABC的三边长分别为5,5,4,周长为14。
当
时,原方程的解为
,等腰ΔABC的三边长分别为5,5,6,周长为16。
所以当
或
时,ΔABC是等腰三角形,周长分别为14或16。
分类讨论思想
1、等腰三角形的底边长为3,腰长为5,那么它的周长是______。
2、等腰三角形的一边长为3,一边长为5,那么它的周长是______。
3、等腰三角形的一边长为2,周长为8,那么它的腰长为______。
分类讨论题:
一个等腰三角形的一个外角等于110°,则这个三角形的三个内角应该为----------------------如上,一定要分类讨论噢
分类讨论题:
一个等腰三角形的一个外角等于110°,则这个三角形的三个内角应该为----------------------
如上,一定要分类讨论噢
1)若顶角为180°-110°=70°,由于两底角相等,三角形内角和为180°,则三个内角为70,55,552)若底角为70,同理可得,三个内角为70,70,40
1、如图,在△ABC中,AB=AC,
外角∠ACD=100°,则∠B=______
80°
(2)等腰三角形的一个底角是70°,
则其顶角是__________
40°
(3)如果等腰三角形的一个内角等于70°
那么它的底角度数____________.
70°或55o
(4)如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍,
那么它的底角是__________度
72或45°
小结:
当等腰三角形中遇“角”的计算问题时,需对各种可能的情况分类讨论
当顶角或底角不能确定时,必须进行分类讨论
分类讨论思想是中学数学解题中常用的一种思想方法,它就是将要研究的数学对象按照一定的标准进行分类,划分为若干种不同的情形,然后再逐类进行研究,最后综合各类结果,并得到整个问题的解答和求解的一种数学解题策略。
解题时,要注意在分类时,必须按同一标准分类,做到“不重不漏”,并保证解答的完整准确。
在解决与等腰三角形有关的题目时,分类讨论思想无事不在。
本文就“等腰三角形”问题中分类讨论思想的应用,结合例题加以分析,供同学们参考。
分类讨论思想在等腰三角形中的应用
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