知识点057完全平方公式几何背景选择复习课程.docx
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知识点057完全平方公式几何背景选择复习课程
知识点057完全平方公式几何背景(选择)
1、(2010•乌鲁木齐)有若干张面积分别为纸片,阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片,4张面积为ab的长方形纸片,若他想拼成一个大正方形,则还需要抽取面积为b2的正方形纸片( )
A、2张B、4张
C、6张D、8张
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
由题意知拼成一个大正方形长为a+2b,宽也为a+2b,面积应该等于所有小卡片的面积.
解答:
解:
∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab,
∴它的边长为a,b,b.
∴它的边长为(a+2b)的正方形的面积为:
(a+2b)(a+2b)=a2+4ab+4b2,
∴还需面积为b2的正方形纸片4张.
故选B.
点评:
此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题,考法较新颖.
2、(2010•丹东)图①是一个边长为(m+n)的正方形,小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状,由图①和图②能验证的式子是( )
A、(m+n)2﹣(m﹣n)2=4mnB、(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn
C、(m﹣n)2+2mn=m2+n2D、(m+n)(m﹣n)=m2﹣n2
考点:
完全平方公式的几何背景。
专题:
计算题。
分析:
根据图示可知,阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2,即为对角线分别是2m,2n的菱形的面积.据此即可解答.
解答:
解:
(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn.
故选B.
点评:
本题是利用几何图形的面积来验证(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn,解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式.
3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如,根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是( )
A、(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C、a(a+b)=a2+abD、a(a﹣b)=a2﹣ab
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
根据图形,左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积,然后加上多减去的右下角的小正方形的面积.
解答:
解:
大正方形的面积=(a﹣b)2,
还可以表示为a2﹣2ab+b2,
∴(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2.
故选B.
点评:
正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键,也考查了对完全平方公式的理解能力.
4、已知如图,图中最大的正方形的面积是( )
A、a2B、a2+b2
C、a2+2ab+b2D、a2+ab+b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
要求面积就要先求出边长,从图中即可看出边长.然后利用完全平方公式计算即可.
解答:
解:
图中的正方形的边长为a+b,
∴最大的正方形的面积等于=(a+b)2=a2+2ab+b2.
故选C.
点评:
本题利用了完全平方公式求解.
5、如图,将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形,则可得出一个等式为( )
A、(a+b)2=a2+2ab+b2B、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C、a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)D、(a+b)2=(a﹣b)2+4ab
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积,从而得出结论.
解答:
解:
(a+b)2=(a﹣b)2+4ab.
故选D.
点评:
认真观察,熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计算方法是正确解题的关键.
6、请你观察图形,依据图形面积之间的关系,不需要连其他的线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是( )
A、(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B、(a+b)2=a2+2ab+b2
C、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D、(a+b)2=a2+ab+b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
此题观察一个正方形被分为四部分,把这四部分的面积相加就是边长为a+b的正方形的面积,从而得到一个公式.
解答:
解:
由图知,大正方形的边长为a+b,
∴大正方形的面积为,(a+b)2,
根据图知,大正方形分为:
一个边长为a的小正方形,一个边长为b的小正方形,
两个长为b,宽为a的长方形,
∵大正方形的面积等于这四部分面积的和,
∴(a+b)2=a2+2ab+b2,
故选B.
点评:
此题比较新颖,用面积分割法来证明完全平方式,主要考查完全平方式的展开式.
7、我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图(3)可以用来解释(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab.那么通过图(4)面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是( )
A、a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C、(a+b)2=a2+2ab+b2D、(a﹣b)(a+2b)=a2+ab﹣b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
图(3)求的是阴影部分的面积,同样,图(4)正方形的面积用代数式表示即可.
解答:
解:
图(4)中,
∵S正方形=a2﹣2b(a﹣b)﹣b2=a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2,
∴(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2.
故选B.
点评:
关键是找出阴影部分面积的两种表达式,化简即可.
8、如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式,那么m的值是( )
A、8或﹣8B、8
C、﹣8D、无法确定
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
根据两平方项确定出这两个数,再根据乘积二倍项列式求解即可.
解答:
解:
∵x2﹣mx+16是一个完全平方式,
∴﹣mx=±2×4•x,
解得m=±8.
故选A.
点评:
本题是完全平方公式的考查,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
9、如图是一个正方形,分成四部分,其面积分别是a2,ab,b2,则原正方形的边长是( )
A、a2+b2B、a+b
C、a﹣bD、a2﹣b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
四部分的面积和正好是大正方形的面积,根据面积公式可求得边长.
解答:
解:
∵a2+2ab+b2=(a+b)2,
∴边长为a+b.
故选B.
点评:
本题考查了完全平方公式的几何意义,通过图形验证了完全平方公式,难易程度适中.
10、若长方形的周长为6,面积为1,以此长方形的长与宽为边分别作两个正方形,则此两个正方形的面积之和是( )
A、7B、9
C、5D、11
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
设长方形的长是a,宽是b,根据题意,得a+b=3,ab=1.再进一步运用完全平方公式的变形求得a2+b2的值.
解答:
解:
设长方形的长是a,宽是b.
根据题意,得a+b=3,ab=1.
∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=9﹣2=7.
故选A.
点评:
此题考查了完全平方公式在几何题目中的运用,渗透数形结合的思想.
11、某班同学学习整式乘除这一章后,要带领本组的成员共同研究课题学习,现在全组同学有4个能够完全重合的长方形,长、宽分别为a、b.在研究的过程中,一位同学用这4个长方形摆成了一个大
的正方形.如图所示,由左图至右图,利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是( )
A、a2+2ab+b2=(a+b)2B、4ab=(a+b)2﹣(a﹣b)2
C、a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2D、(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式,知:
大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积.
解答:
解:
∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积,
∴(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab,即4ab=(a+b)2﹣(a﹣b)2.
故选B.
点评:
考查了完全平方公式的几何背景,能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点.解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系.
12、如图,由四个相同的直角三角板拼成的图形,设三角板的直角边分别为a、b(a>b),则这两个图形能验证的式子是( )
A、(a+b)2﹣(a﹣b)2=4abB、(a2+b2)﹣(a﹣b)2=2ab
C、(a+b)2﹣2ab=a2+b2D、(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
本题从图形的阴影面积着手算起,结果选项B符合.
解答:
解:
前一个图阴影部分的面积:
(a2+b2)﹣(a﹣b)2=2ab
后一个图形面积:
=2ab
故选B.
点评:
本题考查了完全平方公式,从图形的阴影面积得到.很简单.
13、如右图:
由大正方形面积的两种算法,可得下列等式成立的是( )
A、a2+ab+b2=(a+b)2B、a2+b2=(a+b)2+2ab
C、a2+2ab+b2=(a+b)2D、a2+2ab=(a+b)2+b2
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
求出大正方形的边长可得出面积,求出四个分割出来的部分的面积可得出大正方形的面积,从而可得出答案.
解答:
解:
由题意得:
大正方形的面积=(a+b)2;
大正方形的面积=a2+2ab+b2,
∴可得:
a2+2ab+b2=(a+b)2.
故选C.
点评:
本题考查完全平方公式的集合背景,难度不大,通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是关键.
14、现有纸片:
1张边长为a的正方形,2张边长为b的正方形,3张宽为a、长为b的长方形,用这6张纸片重新拼出一个长方形,那么该长方形的长为( )
A、a+bB、a+2b
C、2a+bD、无法确定
考点:
完全平方公式的几何背景。
分析:
此题需先根据题意表示出重新拼出的长方形的面积是a2+3ab+2b2,再把a2+3ab+2b2因式分解,即可求出该长方形的长.
解答:
解:
根据题意得:
a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b),
所以可以拼成(a+2b)(a+b)的长方形,
该长方形的长为a+2b.
故选B.
点评:
本题考查对完全平方公式几何意义的理解,应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义,要与因式分解相结合.
15、有三种卡片,其中边长为a的正方形卡片1张,边长为a、b的长方形卡片6张,边长为b的正方形卡片9张.用这16张卡片拼成一个正方形,则这个正方形的边长为( )
A、a+3bB、3a+b
C、a+2bD、2a+b
考点:
完全平方公式的几何背景。
专题:
计算题。
分析:
1张边长为a的正方形卡片的面积为a2,6张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为6ab,9张边长为b的正方形卡片面积为9b2,∴16张卡片拼成一个正方形的总面积=a2+6ab+9b2=(a+3b)2,∴大正方形的边长为:
a+3b.
解答:
解:
由题可知,16张卡片总面积为a2+6ab+9b2,
∵a2+6ab+9b2=(a+3b)2,
∴新正方形边长为a+3b.
故选A.
点评:
本题考查了完全平方公式几何意义的理解,利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长.
16、如图是用四个相同的矩形和一个正方形拼成的图案,已知此图案的总面积是49,小正方形的面积是4,x,y分别表示矩形的长和宽,那么下面式子中不正确的是( )
A、x+y=7B、x﹣y=2
C、4xy+4=49D、x2+y2=25
考点:
完全平方公式的几何背景。
专题:
常规题型。
分析:
根据大正方形的面积与小正方形的面积的表示,四个矩形的面积的和的两种不同的表示方法列式,然后整理,对各选项分析判断后利用排除法.
解答:
解:
A、∵此图案的总面积是49,
∴(x+y)2=49,
∴x+y=7,故本选项正确,不符合题意;
B、∵小正方形的面积是4,
∴(x﹣y)2=4,
∴x﹣y=2,故本选项正确,不符合题意;
C、根据题得,四个矩形的面积=4xy,
四个矩形的面积=(x+y)2﹣(x﹣y)2=49﹣4,
∴4xy=49﹣4,
即4xy+4=49,故本选项正确,不符合题意;
D、∵(x+y)2+(x﹣y)2=49+4,
∴2(x2+y2)=53,
解得x2+y2=26.5,故本选项错误,符合题意.
故选D.
点评:
本题考查了完全平方公式的几何背景,根据同一个图形的面积的不同表示方法列出算式是解题的关键.
17、(2011•玉溪)若x2+6x+k是完全平方式,则k=( )
A、9B、﹣9
C、±9D、±3
考点:
完全平方式。
专题:
方程思想。
分析:
若x2+6x+k是完全平方式,则k是一次项系数6的一半的平方.
解答:
解:
∵x2+6x+k是完全平方式,
∴(x+3)2=x2+6x+k,即x2+6x+9=x2+6x+k
∴k=9.
故选A.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.
18、(2011•连云港)计算(x+2)2的结果为x2+□x+4,则“□”中的数为( )
A、﹣2B、2
C、﹣4D、4
考点:
完全平方式。
分析:
由(x+2)2=x2+4x+4与计算(x+2)2的结果为x2+□x+4,根据多项式相等的知识,即可求得答案.
解答:
解:
∵(x+2)2=x2+4x+4,
∴“□”中的数为4.
故选D.
点评:
此题考查了完全平方公式的应用.解题的关键是熟记公式,注意解题要细心.
19、(2010•南宁)下列二次三项式是完全平方式的是( )
A、x2﹣8x﹣16B、x2+8x+16
C、x2﹣4x﹣16D、x2+4x+16
考点:
完全平方式。
分析:
根据完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2,对各选项分析判断后利用排除法求解.
解答:
解:
A、应为x2﹣8x+16,故A错误;
B、x2+8x+16,正确;
C、应为x2﹣4x+4,故C错误;
D、应为x2+4x+4,故D错误.
故选B.
点评:
本题主要考查完全平方公式的结构特点,需要熟练掌握并灵活运用.
20、(2008•广东)下列式子中是完全平方式的是( )
A、a2+ab+b2B、a2+2a+2
C、a2﹣2b+b2D、a2+2a+1
考点:
完全平方式。
分析:
完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2.看哪个式子整理后符合即可.
解答:
解:
符合的只有a2+2a+1.
故选D.
点评:
本题主要考的是完全平方公式结构特点,有两项是两个数的平方,另一项是加或减去这两个数的积的2倍.
21、(2007•益阳)已知4x2+4mx+36是完全平方式,则m的值为( )
A、2B、±2
C、﹣6D、±6
考点:
完全平方式。
专题:
计算题。
分析:
这里首末两项是2x和6这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去2x和6积的2倍.
解答:
解:
∵(2x±6)2=4x2±24x+36,
∴4mx=±24x,
即4m=±24,
∴m=±6.
故选D.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
22、已知x2+kxy+64y2是一个完全式,则k的值是( )
A、8B、±8
C、16D、±16
考点:
完全平方式。
分析:
根据完全平方公式的特点求解.
解答:
解:
∵64y2=(±8y)2,
∴kxy=2×(±8y)=±16y,
∴k=±16.
故选D.
点评:
本题利用了完全平方公式求解:
(a±b)2=a2±2ab+b2.注意k的值有两个,并且互为相反数.
23、如果x2+mx+16是一个完全平方式,那么m的值为( )
A、8B、﹣8
C、±8D、不能确定
考点:
完全平方式。
分析:
完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2,这里首末两项是x和4这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍,故m=±8.
解答:
解:
由于(x±4)2=x2±8x+16=x2+mx+16,
∴m=±8.
故选C.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
24、若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式,则m的值为( )
A、24B、﹣12
C、±12D、±24
考点:
完全平方式。
分析:
这里首末两项是3x和4y这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去3x和4y积的2倍,故m=±24.
解答:
解:
由于(3x±4)2=9x2±24x+16=9x2+mx+16,
∴m=±24.
故选D.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.要求掌握完全平方公式,并熟悉其特点.
25、若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式,则m=( )
A、6B、12
C、±6D、±12
考点:
完全平方式。
分析:
这里首末两项是2x和3y这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去2x和3y积的2倍,故m=±12.
解答:
解:
加上或减去2x和3y积的2倍,
故m=±12.
故选D.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
26、如果x2+mx+9是一个完全平方式,则m的值为( )
A、3B、6
C、±3D、±6
考点:
完全平方式。
专题:
计算题。
分析:
这里首末两项是x和3这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍,故m=±6.
解答:
解:
∵(x±3)2=x2±6x+9,
∴在x2+mx+9中,m=±6.
故选D.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
27、若x2+2(m﹣3)x+16是完全平方式,则m的值是( )
A、﹣1B、7
C、7或﹣1D、5或1
考点:
完全平方式。
专题:
计算题。
分析:
完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2这里首末两项是x和4这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍,故2(m﹣3)=±8,∴m=7或﹣1.
解答:
解:
∵(x±4)2=x2±8x+16,
∴在x2+2(m﹣3)x+16中,2(m﹣3)=±8,
解得:
m=7或﹣1.
故选C.
点评:
本题考查了完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
28、下列多项式中是完全平方式的是( )
A、2x2+4x﹣4B、16x2﹣8y2+1
C、9a2﹣12a+4D、x2y2+2xy+y2
考点:
完全平方式。
分析:
完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2,形如a2±2ab+b2的式子要符合完全平方公式的形式a2±2ab+b2=(a±b)2才成立.
解答:
解:
符合完全平方公式的只有9a2﹣12a+4.
故选C.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.要求熟练掌握完全平方公式.
29、下列各式是完全平方式的是( )
A、x2﹣x+
B、1+x2
C、x+xy+1D、x2+2a﹣1
考点:
完全平方式。
分析:
完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2.最后一项为乘积项除以2,除以第一个底数的结果的平方.
解答:
解:
A、x2﹣x+
是完全平方式;
B、缺少中间项±2x,不是完全平方式;
C、不符合完全平方式的特点,不是完全平方式;
D、不符合完全平方式的特点,不是完全平方式.
故选A.
点评:
本题是完全平方公式的应用,熟记公式结构:
两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,是解题的关键.
30、如果x2+kx+25是一个完全平方式,那么k的值是( )
A、5B、±5
C、10D、±10
考点:
完全平方式。
分析:
这里首末两项是x和5这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和5的积的2倍,故k=±2×5=±10.
解答:
解:
由于(x±5)2=x2±10x+25=x2+kx+25,
∴k=±10.
故选D.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
31、小明计算一个二项式的平方时,得到正确结果a2﹣10ab+■,但最后一项不慎被污染了,这一项应是( )
A、5bB、5b2
C、25b2D、100b2
考点:
完全平方式。
分析:
根据乘积二倍项找出另一个数,再根据完全平方公式即可确定.
解答:
解:
∵﹣10ab=2×(﹣5)×b,
∴最后一项为(﹣5b)2=25b2.
故选C.
点评:
利用了完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2,熟记公式结构特点是求解的关键.
32、小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果4x2+20xy+□,但最后一项不慎被污染了,这一项应是( )
A、5y2B、10y2
C、25y2D、100y2
考点:
完全平方式。
专题:
应用题。
分析:
根据完全平方式的定义和展开式来求解.
解答:
解:
由题意知,4x2+20xy+□,为完全平方式,
∴4x2+20xy+□=(2x+5y)2,
∴□=25y2.
故选C.
点评:
此题主要考查完全平方式的定义及其应用,比较简单.
33、若x2﹣mx+9是完全平方式,则m的值是( )
A、3B、±3
C、6D、±6
考点:
完全平方式。
分析:
这里首末两项是x和3这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍,故﹣m=±6,∴m=±6.
解答:
解:
根据完全平方公式得:
加上或减去x和3的积的2倍,
故﹣m=±6,
∴m=±6.
故选D.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
34、多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式不可以是( )
A、4xB、﹣4x
C、4x4D、﹣4x4
考点:
完全平方式。
分析:
完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2,此题为开放性题目.
解答:
解:
设这个单项式为Q,
如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍,故Q=±4;
如果这里首末两项是Q和1,则乘积项是4x2=2•2x2,所以Q=4x4;
如果该式只有4x2项,它也是完全平方式,所以Q=﹣1;
如果加上单项式﹣4x4,它不是完全平方式.
故选D.
点评:
此题为开放性题目,只要符合完全平方公式即可,要求非常熟悉公式特点.
35、如果9x2+kx+25是一个完全平方式,那么k的值是( )
A、15B、±5
C、30D、±30
考点:
完全平方式。
专题:
计算题。
分析:
本题考查的是完全平方公式的理解应用,式中首尾两项分别是3x和5的平方,所以中间项应为加上或减去3x和5的乘积的2倍,所以kx=±2×3x×5=±30x,故k=±30.
解答:
解:
∵(3x±5)2=9x2±30x+25
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