最新三角函数在生活中的应用论文.docx

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最新三角函数在生活中的应用论文

三角函数在生活中的应用论文

三角函数在生活中的应用论文

　　下文是关于三角函数在生活中的应用论文相关内容，希望对你有一定的帮助：

　　三角函数在生活中的应用论文

（一）

三角函数的应用论文

　　三角函数的广泛应用

　　摘要：

　　三角函数在历史长河的沉淀中，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，更是我们实际生活中不可缺少的元素。

我从三角函数的发展以及生活实际应用举例两方面来研究三角函数与实际生活的紧密联系，突出三角函数应用的广泛性。

　　关键词：

三角函数三角函数的应用

　　经过数学历史的长河的沉淀，科学研究的进步，实际生活的操作。

三角函数的实际应用在生活中有着不可取代的地位。

三角函数可以计算三角形（通常为直角三角形）中未知长度的边和未知的角度，在导航系统，工程学以及物理学方面都有广泛的用途；有许多周期现象可以用三角函数来模拟如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。

　　一、三角函数的形成与发展

　　三角学由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久的发展，现今使用的三角函数发展于欧洲的中世纪时期。

在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学。

随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。

就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。

如果斜边变为两倍长，其他边也要变为两倍长。

三角函数表达的就是这些比率。

三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。

它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。

欧拉的《无穷微量解析入门》（IntroductioninAnalysisInfinite）（1748年）对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。

　　二、三角函数与生活

　　通讯电缆铺设问题　　

　　如图，一条河宽km，两岸各有一座城市

　　A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电A

　　缆连A与B，已知地下电缆的修建费是2万元

　　/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸

　　是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可

　　使总施工费用达到最少？

　　分析：

设电缆为ADDB时费用最少，因为

　　河宽AC为定值，为了表示AD和BD的长，不妨

　　设CAD.CDB

　　（0900）解：

设CAD，则ADsec,CB,BD－tan,　　

　　∴总费用为

　　4

　　2sincosy4sec－2tan=

　　问题转化为求u42sin的最小值及相应的θ值，cos

　　sin2（0，2）（cos,sin）而u－2表示点P与点Qcos

　　（0900）斜率的－2倍，有图可得Q在

　　切于点Q时，u

　　取到最小值。

此时KPQ

　　电缆应从距B城（－

　　23+2（万元）。

1单位圆周上运动，当直线PQ与圆弧4，∴

　　umin。

即水下63）km处向A城铺设，图三因此此时总费用达最小值3

　　注：

本题在求u的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。

　　测量问题

　　情景一：

　　如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量

　　者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C测出A、C的距离是

　　55m,∠BAC=51°∠ACB=75°，球A、B两点的距离。

　　分析：

这是关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间

　　的距离的情景问题，情景中条件告诉了边AB的对角AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

　　解：

根据正弦定理，得

　　ABACsinACBsinABC

　　ACsinACB55sinACBsinABCsinABC

　　55sin7555sin75（m）sin（1805175）sin54

　　AB

　　所以A,B两点间的距离为米。

　　情景二：

　　某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹，同时对文宣塔的高度进行了测量，如图2，他们先在A处测得塔顶C的仰角为30°；再向塔的方向直行80步到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，请用以上数据计算塔高。

（学生的身高忽略不计，1步=，结果精确到1m）

　　C

　　DB

　　图2

　　分析：

要求塔高CD，在Rt△BDC中求，∠CBD=60°，需求BD或BC，因为∠DBC=∠A+∠BCA,所以∠BCA=30°，所以BC=AB=80

　　解：

过C作CD⊥AB于点D

　　则∠CDA=90°，∠A=30°，∠CBD=60°

　　∵∠CBD=∠A+∠ACB

　　∴∠A=∠ACB=30°

　　∵AB=80步，1步=

　　∴BC=AB=80步=64m

　　在Rt△BCD中，CD=BC×sin∠CBD=64×

　　所以，文宣塔高约为54m。

A≈54（m）2

　　航海危险区域预测问题【三角函数在生活中的应用论文】

　　一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？

　　分析：

此情景如图例3可先找出小岛C与航向（直线AB）的距离，再与10海里进行比较得出结论．北北解：

过C作AB的垂线CD交AB的延长线于点D

　　ADBC　　∵cot300，cot600CDCD

　　0600　　∴ADCDcot30，BDCDcot600

　　西　　∴ADBDCD（cot300cot600）20A

　　南南20　　∴CD例3图333　　∵10＞10

　　∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域．CD东

　　足球射门问题

　　在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线GC的直线EF助攻到前场（如图，设球门宽ABa米，球门柱B到FE的距离BFb米），那么你推进到距底线CD多少米时，为射门的最佳位置？

（即射门角APB最大时为射门的最佳位置）？

请你帮助左前锋回答上述问题。

分析：

情景中要求射门的最佳位置，即只要当射门角最大时为最佳位置。

所以设角后“求解角”的过程是本题的关键。

　　若直接在非特殊APB中利用边来求APB的FG

　　最值，显得比较繁琐，注意到APBAPF－BPF，而后两者都在Rt中，故可应用直角三角形的性质求解。

　　解：

如图，设FPx，APB，BPF（、为锐角），则APF，tg（）tgtg[（）－]abx,tgbx,tg（）tg=1tg（）tg（ab）ba。

若令yx，（ab）bxxx

　　则y2x（ab）b（ab）b=2（ab）b，当

　　x,即x时，y取到xx

　　最小值2（ab）b

　　，从而可知x

　　时，tg取得最大值，即tg时，有最大值。

故当P点距底线CD为（ab）b米时，为射门的最佳位置。

　　依图像知，在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行

　　冲浪运动。

　　通过生活中的例子我们可以体会到三角函数在生活中应用之大。

历经历史长河的沉淀，三角函数不仅是科学研究的重要组成部分，还是实际生活应用中不可缺少的。

通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，也可以体会到三角函数在生活中应用之大。

在设“角”求解的生活情景中一般涉及到角与边之间的相互关系，对这类问题，一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。

　　参考文献：

　　[1].陈上太.三角函数最小正周期的求法.数学教学研究[J],1999,

（1）:

26-28.

　　[2].董志立.三角函数求最值问题类型解法透析.希望月报

　　[J],2021,（8）:

110-111.

　　[3].刘丽英.三角形中一类极值问题的解题基本思路及方法.中国科教创新导刊

　　[J],2021,（15）:

80-85.

　　[4].曾广述.三角形中的三角函数问题求解策略.中等职业教育

　　[J],2021,（35）:

56-58.

　　[5].祝全力.三角函数的最值问题探索.中国科教创新导刊[J],2021,（3）:

72-77.

　　[6].李尚志．从数学中享受快乐．数学通报，2004，12

　　[7].张顺燕．数学教育与数学文化．数学通报，2021，2三角函数在生活中的应用论文

（二）

三角函数在实际生活中的运用23

　　三角函数在实际生活中的运用

　　邮政编码：

444303湖北省巴东县第三高级中学

　　联系人：

许贤永电话：

136********

　　三角函数是高中数学中的重要知识，也是高考必考内容之一。

三角函数作为一个工具解决一些生活实际问题时，充分显示了它的优越性，特别在近几年的高考试卷中，这类题型的出现率逐年上升，这也体现了新课标下“学有用数学”的理念，现特选几例与大家共赏。

　　一、选准模型，化难为易

　　例1有一块半径为1米，中心角为

　　3

　　的扇形铁皮材料，为了获得面积最大的

　　矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形。

试问工人师傅是怎样选择矩形的四点的？

并求出最大面积值。

解析:

设COB（0＜＜

　　3

　　）

　　,

　　则BCsinAD,OBcos,

　　又OAADcot

　　33

　　3

　　∴

　　ABcos

　　sin

　　3

　　∴

　　S矩形

　　ABCDsin（cos

　　12

　　6

　　sin）

　　sin2cos2

　　6

　　3

　　6

　　）

　　6

　　6

　　∴当sin（2

　　6

　　）1即

　　6

　　2

　　工人师傅是这样选点的，记扇形EOB，以扇形一半径OB

　　为一边，在扇形

　　上作BOC且使BOC

　　6

　　，C为边与扇形弧的交点，自C作CBOB于B，CD

　　∥OB交OE于O,并作ADOA于A，则矩形ABCD为面积最大的矩形，面积的

　　最大值为

　　6m

　　2

　　【点评】：

题中信息已告诉我们：

欲解答所提出的问题，须建立S矩形ABCD的函数关系式，而是选取符合条件的“角”为自变量（利用正弦、余弦的有界性求解），还是选取某条“边”的长为自变量（利用“常规”函数来求解），是决定本题易解、难解的关键。

　　二、巧用“最值”，妙获“最优”

　　例2、如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B,C落在半圆的圆周上。

已知半圆的半径为a,如何选择关于点O的对称点A，D的位置，使矩形ABCD的面积最大？

　　解：

设AOB,（0三角函数在生活中的应用论文（三）

浅谈三角函数在的应用

　　论文

　　目录

　　浅谈三角函数公式的应用............................................................................................1

　　公式的应用....................................................................................................................1

　　一、引言........................................................................................................................1

　　二、三角函数的发展史（参考资料-------------张红《数学简史》）........................2

（一）、三角学的产生.........................................................................................2

（二）、三角学的独立与发展.............................................................................2

　　1、三角学的独立.............................................................................................................2

　　2、三角学的发展.............................................................................................................3

　　三、浅谈三角函数在三角函数的应用........................................................................3

（一）三角函数的基本知识.................................................................................3

（二）、三角函数在三角函数中的应用.............................................................6

　　1、化简求值.....................................................................................................................6

　　2、角的变换...................................................................................................................10

　　3、函数名称的变换.......................................................................................................11

　　4公式的变形和逆用......................................................................................................12

　　5变换结构（降次升幂）...................................................................................................13

　　致谢词...................................................................................................................14

　　独撰声明...............................................................................................................14三角函数公式的应用

　　摘要：

简述三件函数的发展史，三角函数在在三角函数的正用、逆用、变形、升降幂、引入辅助角等的应用。

）

　　关键字：

三角函数计算应用

　　Abstract:

Describesthedevelopmenthistoryofthethreefunctions,trigonometricfunctionsintheinversetrigonometricfunctionsareused,withintroducingauxiliaryAngle,deformation,liftingpower,etc.

　　KeyWords：

Trigonometricfunctioncomputingapplications一、引言

　　三角函数是高中学习的一类基本的、重要的函数，他是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型。

三角函数是高中数学重要的基础知识之一，有着广泛的实际背景和应用空间．三角函数包括三角函数的概念及关系、诱导公式、三角函数的图象和性质、正弦型函数Y=Asin（x）的图象及应用、三角恒等变换、解三角形．它不但在生活中的很多方面都有很广的应用，如：

潮汐和港口水深、气象方面有气温的变化，天文学方面有白昼时间的变化，地理学方面有潮汐变化，物理方面有各种振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力等．测量山高测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性等。

　　在数学的很多问题研究方面都有着广泛的应用。

三角函数是对函数概念的深化，也是沟通代数，几何，与平面向量等的一种工具。

其中三角函数在导数的应用也颇为广泛。

　　二、三角函数的发展史（参考资料-------------张红《数学简史》）

（一）、三角学的产生

　　三角函数包含于最早被称为三角学，“三角学”一词来自拉丁文

　　Trigonometry，原意是三角形。

与其他科学一样，三角学也是解决实际问题中发展起来的。

　　早期的三角学依附于天文学，是天文学观测结果推算的一种方法，因此最先发展前来的是球面三角学。

古希腊梅内劳斯著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念；50年后的托勒密著《天文学大成》，初步发展三角学。

在公园499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；气候的瓦拉哈米西拉最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的阿拉伯学者进一步探讨了三角学。

当然，所有这些工作都是天文研究的组成部分，还谈不上作为数学的独立分支的三角学，甚至连三角学这名称还未出现。

约定名早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。

现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。

（二）、三角学的独立与发展

　　1、三角学的独立

　　从前面可知，古埃及、古希腊通商航海、天文观测等的需要产生了

　　三角学知识。

到了13世纪，阿波罗的纳西尔丁著《论完全四边形》中第一次吧三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论述了正弦定理，由球面三角形的三个角可求得它的三条边，反之成立。

这是区别球面三角形和平面三角形的重要标志。

至此，三角学开始脱离了天文学，走上路独立发展之路。

　　2、三角学的发展

　　①三角学在西方的发展

　　文艺复兴的欧洲，德国数学家雷格蒙格努斯出版的《论各种三角形》

　　对平面三角学和球面三角学都进行了全面阐述，还编制了精密的正弦

　　表，并且应用了三角学解决了一些几何问题。

　　17世纪初对数的发明后大大简化了三角函数的计算，人们的注意力

　　转向了三角函数的理论研究。

　　于1595年德国数学家皮蒂斯楚斯不仅首次创用“三角学”一名词，

　　而且于1613年艰苦修订并出版了三角函数表。

至此一个敬你的三角函数表正式完成。

　　文艺复兴后期，法国数学家韦达首次把代数变换引进了三角学，补

　　充了正切定律，把斜三角形问题转化为直角三角形的问题来解决。

对球面三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则。

　　近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的。

欧拉用小写的拉

　　丁字母a、b、c表示三角形的三边，进一步简化了三角公式。

欧拉还引

　　用sinz、cosz、tanz等表示z角的三角函数的简写符号，这是三角函数的现代形式。

　　由于上述数学家及19世纪许多数学家的女里，形成了现代的三角函

　　数符号与手拿教学的完整理论。

　　②三角学在中国的发展

　　我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。

据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。

明崇祯四年西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启（p20）合编的《大测》为代表。

清同治十二年华蘅芳和英国傅兰雅合译，书名《三角数理》。

　　三、浅谈三角函数在三角函数的应用

（一）三角函数的基本知识

　　1、如图1y叫做α的正弦，记作sinα；x叫做α的余弦，记作cosα；y/x（x≠0）叫正切记作tanα，tanα=ysinxcos。

　　图1

　　2、下列是关于三角函数的诱导公式

　　①终边相同的角的同一三角函数的值相等。

由此可得到下列公式：

公式一：

　　sin（2k）sin,

　　cos（2k）cos,

　　tan（2k.）tan.其中kZ.

　　②如图2P（x，y），直线OP的反向延长线OE交圆O于F点，则F点的坐标为F（－x,－y）由此可得到下列公式：

　　公式二：

　　sin（）sin,

　　cos（）cos,

　　tan（）tan.　　

　　图2

　　③同理可得到：

　　公式三：

　　sin（）sin,

　　cos（）cos,

　　tan（）tan.

　　④公式四：

　　sin（）sin,

　　cos（）cos,

　　tan（）tan.

　　我们可以用下面的话来概括公式一~四：

　　a2kkz,,的三角函数，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。

　　,射线OL、射线OE关于直2

　　线BC对称，若L（x，y）则E（y，x），由此可以得到：

　　公式五：

⑤如图3所示xOL=yOE=,xOE=

　　sin（）cos,2

　　cos（）sin.2（），由公式四及公式五可得：

22

　　公式六：

⑥由于　　三角函数在生活中的应用论文（四）

试谈数学建模在现实生活中的应用　　【摘要】一般来说，数学模型