全国硕士研究生入学统一考试数一试题及答案.docx
- 文档编号:29873604
- 上传时间:2023-08-03
- 格式:DOCX
- 页数:40
- 大小:56.65KB
全国硕士研究生入学统一考试数一试题及答案.docx
《全国硕士研究生入学统一考试数一试题及答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全国硕士研究生入学统一考试数一试题及答案.docx(40页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
全国硕士研究生入学统一考试数一试题及答案
2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学
(一)试卷
、填空题(此题共6小题,每题4分,总分值24分•把答案填在题中横线上)
(1)曲线y
2
x
2x
1的斜渐近线方程为
⑵微分方程xy2yxlnx满足y
(1)
⑶设函数u(x,y,z)1
2
y
12
2
z
18
单位向量n
1
,心
u_
n(1,2,3)..
⑷设是由锥面z
x2y2与半球面z
:
.R2x2y2围成的空间区域
的整个边界的外侧,那么
xdydzydzdxzdxdy
⑸设a,a2,a均为3维列向量,记矩阵
A(a,a,久3),B(a
%2%3,a2a?
4a3,a3a?
9a3),
如果A1,那么B
(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,2,,X中任取一个数,记为Y,那么
P{Y2}=
二、选择题(此题共8小题,每题4分,总分值32分•每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
⑺设函数f(x)limV1x'n,那么f(x)在(,)内
n■
(A)处处可导
(B)恰有一个不可导点
(C)恰有两个不可导点
(D)至少有三个不可导点
(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,"M
N"表示"M的充分必要条件是
N",那么必有
(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数
(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数
调函数
xy
(9)设函数
u(x,y)
(xy)(xy)(t)dt
xy
其中函数具有二阶导数
具有一阶导数
,那么必有
2
2
22
u
u
uu
(A)2
2
(B)-
22
x
y
xy
2
2
22
u
u
uu
(C)-
2
(D)-
2
xy
y
xyx
(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数
(D)F(x)是单调函数f(x)是单
xz
(10)设有三元方程xyzlnye1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域
在此邻域内该方程
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数
zz(x,y)
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数
x
x(y,z)禾口z
z(x,y)
(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数
y
y(x,z)和z
z(x,y)
(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数
x
x(y,z)和y
y(x,z)
(11)设1,2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a,a2,那么a,A(aa)线性无关的充分必要条件是
(A)10
(C)10
(12)设A为n(n
的伴随矩阵,那么
(A)交换A*的第1列与第2列得B*
(C)交换A*的第1列与第2列得B*
(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
2)阶可逆矩阵,交换A的第
(B)20
(D)20
1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B
(B)交换A*的第1行与第2行得B*
(D)交换A*的第1行与第2行得B*
0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
随机事件{X0}与{XY1}相互独立那么
(B)a0.4,b0.1
(D)a0.1,b0.4
(A)a0.2,b0.3
(C)a0.3,b0.2
(14)设Xi,X2,,Xn(n2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S2为
样本方差贝U
(A)nX~N(0,1)(B)nS2~2(n)
(C)
(n1)X
S
~t(n
1)
(D)
(n1)X;
~F(1,n
1)
Xi2
i2
三、解答题(此题共9小题,总分值
(15)(此题总分值11分)
94分•解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤
设D{(x,y)
2,x
0,y0},[1x2y2]表示不超过1x2
y2的最
大整数•计算二重积分xy[1
D
12分)
(16)(此题总分值
y2]dxdy.
求幕级数(
n1
1)n1(1
n(2n1)
)x2n的收敛区间与和函数f(x).
(17)(此题总分值
11分)
如图,曲线C的方程为yf(x),点(3,2)是它的一个拐点,
直线11与12分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点
为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分
3(x2
0'
x)f(x)dx.
(18)(此题总分值12分)
函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)0,f
(1)1.证明:
(1)存在(0,1),使得f()1
⑵存在两个不同的点
(0,1),使得f()f()1.
(19)(此题总分值12分)
设函数
(y)具有连续导数
在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线
L上,曲线积分
?
L
忙空的值恒为同一常数
(1)证明:
对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线
C,有?
c(y)dX
2xydy
2x2
0.
(2)求函数(y)的表达式•
(20)(此题总分值9分)
二次型f(xi,X2,X3)(1a)xi2(1a)x!
2x12(1a)xiX2的秩为2.
(1)求a的值;
⑵求正交变换xQy把f(x「X2,X3)化成标准形•
⑶求方程f(x「x2,x3)=0的解•
1
2
3
2
4
6(k为常数),
3
6
k
(21)(此题总分值9分)
3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B且ABO,求线性方程组Ax0的通解.
(22)(此题总分值9分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)
10|x1,0y2x
0其它
求:
(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y).
(2)Z2XY的概率密度fz(z).
(23)(此题总分值9分)
设X1,X2,
Xn(n2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,记
YiXiX,i1,2,,n.
求:
(1)Y的方差DYi,i1,2,,n.
(2)Y1与Yn的协方差Cov(Y,Yn).
2005年考研数学一真题解析
、填空题(此题共6小题,每题4分,总分值24分.把答案填在题中横线上)
(1)曲线
x211
y厂的斜渐近线方程为y2x4
【分析】
此题属基此题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可
【详解】
因为a=lim丄凶
xx
lim
x
x2
2x2
blimf(x)
x
ax
lim
x
2(2x
于是所求斜渐近线方程为
(2)微分方程xy2y
xlnx满足y
(1)
的解为y
1
-xln
3
1-x..
9
【分析】直接套用一阶线性微分方程y
P(x)y
Q(x)的通解公式:
P(x)dxP(x)dx
ye[Q(x)e
dx
C],
再由初始条件确定任意常数即可
【详解】原方程等价为
2
y-y
x
Inx,
于是通解为
?
dxyex[
Inx
?
dx
exdx
C]
2
xlnxdxC]
由y(i)
」xlnx
3
1
得C=0,故所求解为
9
eg,
x
1
x.
9
设函数u(x,y,z)
2
y
12
2z
18
单位向量n士{1,1,1},那么
<3
(1,2,3)3
【分析】函数
u(x,y,z)沿单位向量
{cos
cos
cos}的方向导数为:
u
u
u
u
cos
cos
cos
n
x
y
z
因此,此题直接用上述公式即可
【详解】因为u
x
—,
u
yu
-,于是所求方向导数为
x
3
y
6z
9
u
_11
1
1
11
n
〔心飞靠
3
3V3
(4)设
是由锥面z
Jx
22
y
与半球面
zJR2x2y2围成的空间区域,
是
的整个边界的外侧,那么
23
xdydzydzdxzdxdy2
(1)R.
【分析】此题是封闭曲面且取外侧,自然想到用高斯公式转化为三重积分,再用球面〔或柱面〕坐标进行计算即可•
【详解】
xdydz
ydzdx
zdxdy
3dxdydz
(5)设
=3R2d
0
4sin
0
2(1—)R3.
2
3均为
3维列向量,
记矩阵
如果A1,
那么B_2_
【分析】
可.
【详解】
将B写成用A右乘另一矩阵的形式,
再用方阵相乘的行列式性质进行计算即
于是有
(6)
从数
由题设,有
=(
3)
2.
1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,2,,X
中任取一个数,记为Y那么
P{Y
2}=48
且第一次试验的各种两两互
【分析】此题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式
不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分
【详解】P{Y2}=P{X1}P{Y2X1}+P{X2}P{Y2X2}
+P{X3}P{Y2X3}+P{X4}P{Y2X4}
1“c111、13
=(0).
423448
二、选择题(此题共8小题,每题4分,总分值32分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
13n
(8)
设F(x)是连续函数
f(x)的一个原函数,"M
那么必有
(A)
F(x)是偶函数
f(x)是奇函数•
(B)
F(x)是奇函数
f(x)是偶函数•
(C)
F(x)是周期函数
f(x)是周期函数•
(D)
F(x)是单调函数
f(x)是单调函数•
【分析】此题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案
(7)设函数f(x)limn:
1|x|,那么f(x)在(,)内
【分析】
先求出
f(x)的表达式,
再讨论其可导情形•
【详解】
当|x
1时,
f(x)
limn
n
『1
x3n1;
当|x
1时,
f(x)
limV1
n
11;
当|x
1时,
f(x)
lim;
n
3
x(
1-
3nW;
x
3
x•
3
x,
x
1,
即f(X)
1,
1x
1,
可见f(x)仅在x=1时不
可导,故应选(C)
3
x,
x
1.
(A)处处可导•(B)恰有一个不可导点•
(C)恰有两个不可导点•(D)至少有三个不可导点•[C]
N"表示“M的充分必要条件是N〞,
x
【详解】方法一:
任一原函数可表示为F(x)°f(t)dtC,且F(x)f(x).
当F(x)为偶函数时,有F(x)F(x),于是F(x)
(1)F(x),即f(x)f(x),
x
也即f(x)f(x),可见f(x)为奇函数;反过来,假设f(x)为奇函数,贝y°f(t)dt为偶函数,
x
从而F(x)of(t)dtC为偶函数,可见(A)为正确选项.
12
方法二:
令f(x)=1,那么取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,那么取F(x)=?
X,排除(D);故应选(A).
2
u
2
u
(B)
2
u
2
u
2
2・
2
2
x
y
x
y
2
2
2
2
u
u
(D)
u
u
2・
2
xy
y
xy
x
那么必有
(A)
(C)
2
2
2
个偏导数Fz,Fx,Fy,再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0,那么可确定相应的隐函数
(9)设函数
u(x,y)
(x
y)
(xy)
xy
(t)dt,其中函数具有二阶导数,
xy
具有一阶导数,
【分析】
先分别求出
u
~2
y
,再比较答案即可•
【详解】
因为—
x
(x
y)
(xy)
(xy)
(x
y),
(x
y)
(xy)
(xy)
(x
y),
2
u
~2
x
(x
y)
(x
y)
(x
y)
(x
y),
2u
(x
y)
(x
y)
(x
y)
(x
y),
2
u
~2
y
(x
y)
(x
y)
(x
y)
(x
y),
2
可见有一^
x
2
JU,应选(B).
y
(10)设有三元方程xy
zln
xz
e
根据隐函数存在定理,
存在点
(0,1,1)的一个
邻域,在此邻域内该方程
(A)
(B)
(C)
(D)
只能确定一个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数
z=z(x,y).
x=x(y,z)和z=z(x,y).y=y(x,z)和z=z(x,y).x=x(y,z)和y=y(x,z).
【分析】
此题考查隐函数存在定理,只需令
F(x,y,z)=xyzlny
xz
e
分别求出三
【详解】令F(x,y,z)=xyzlny1,那么
xzzxz
Fxyez,Fyx,FzInyex,
y
且Fx(0,1,1)2,Fy(0,1,1)1,Fz(0,1,1)
0.由此可确定相应的隐函数
x=x(y,z)禾口
y=y(x,z).故应选(D).
(11)设1,2是矩阵A的两个不同的特征值,
对应的特征向量分别为
2,那么
A(12)线性无关的充分必要条件是
由于
(A)
【分析】
【详解】
k1
10.(B)20.(C)
讨论一组抽象向量的线性无关性,
方法一:
令
k11
k?
A(
1k211k222
2线性无关,于是有
&k?
1
k2
0,
20.
0时,显然有k1
0,k2
,A(1
2)线性无关,那么必然有2
0.(D)20.
可用定义或转化为求其秩即可
2)0,
(k1k2
0(,否那么,
1)
1k2
20.
A(1
1与A(
2)线性无关;
反过来,
2)=11线性相关),
故应选(B).
方法二:
由于
[1,A(12)][
2]0:
,
可见1,A(1
2)线性无关的充要条件是
0.故应选(B).
(12)设A为n
(n2)阶可逆矩阵,交换
A的第1行与第2行得矩阵B,A
B分
别为A,B的伴随矩阵,那么
(A)交换A的第1列与第2列得B.
(B)交换A的第1行与第2行得
(C)交换A*的第1列与第2列得B*.
(D)交换A*的第1行与第2行得
[C]
【分析】此题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质,只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.
【详解】由题设,存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得),使
*****1*
得E12AB,于是B(E12A)AE12AE12E12AE12,即
随机事件{X0}与{XY
AE12B,可见应选〔C〕.
X^y
0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
〔13〕设二维随机变量〔X,Y〕的概率分布为
1}相互独立,那么
(A)a=0.2,b=0.3(B)
(C)a=0.3,b=0.2(D)
【分析】首先所有概率求和为
a=0.4,b=0.1
a=0.1,b=0.4[B]
1,可得a+b=0.5,其次,利用事件的独立性又可得一等
式,由此可确定a,b的取值.
【详解】由题设,知a+b=0.5
又事件{X0}与{X
Y1}相互独立,于是有
P{X0,XY1}P{X0}P{XY1},
即a=(0.4a)(ab),由此可解得a=0.4,b=0.1,故应选(B).
(14)设X1,X2,,Xn(n
2〕为来自总体N〔0,1〕的简单随机样本,X为样本均值,S2
为样本方差,那么
(A)nX~N(0,1)
(B)
22
nS~(n).
(C)
%t(n1)
(D)
2
(n1)X1~F(1,n1).
n
Xi2
i2
【分析】
利用正态总体抽样分布的性质和
2分布、
t分布及F分布的定义进行讨论即
【详解】
由正态总体抽样分布的性质知,
.nX~N(0,1),
可排除
(A);
又X0
s-
n
断定〔B〕是正确选项
、nX~t〔n1〕,可排除〔C〕;而
2
(n1)S
12
(n1)S2
2(n
1〕,不能
因为X;
2
(1),
n
Xi2
i2
2
(n1),且
X12
n
22
(1)与Xi~
i2
2(n
1〕相互独
Xi2
(n1)Xi2
F(1,n1).故应选(D).
Xi2
证明过程或演算步骤.)
三、解答题(此题共9小题,总分值94分.解容许写出文字说明、(15)(此题总分值11分)
设D{(x,y)x2y2J2,x0,y0},[1x2y2]表示不超过1x2y2的最大整数.计算二重积分xy[1x2y2]dxdy.
D
【分析】首先应设法去掉取整函数符号,为此将积分区域分为两局部即可
【详解】令D1{(x,y)0x2y21,x0,y0},
D2{(x,y)1x2y22,x0,y0}.
那么xy[1x2
D
2
y]dxdy=xydxdy2xydxdy
D1D2
2
sin
13—
cosdrdr22sincosd
0
00
1
3
=8
4
(16)(此题总分值12分)
「『dr
求幕级数
(1)n1(1——1一)x2n的收敛区间与和函数f(x).
n1n(2n1)
【分析】先求收敛半径,进而可确定收敛区间.而和函数可利用逐项求导得到.
【详解】因为lim91)(2n°1n(2n1)1,所以当x21时,原级数
n(n1)(2n1)n(2n1)1
绝对收敛,当x21时,原级数发散,因此原级数的收敛半径为1,收敛区间为(一1,1)
S(x)
n12n(2n1)
(1,1),
那么S(x)4x2n1,x(1,1),
n12n1
S(x)
(1)n
n1
12n2
x
(1,1).
由于S(0)0,S(0)0,
所以
S(x)
x
0S(t)dt
从而
S(x)
x
0S(t)dt
n12n
1)x
f(x)
2S(x)
x1,
2dtarctanx,
01t2
x
arctantdtxarctanx
0
1,n(1x2).
2
x
2,x
1x
(1,1),
x2
1x2
2
2xarctanxln(1x)
—,xx
(1,1).
(17)(此题总分值11分)
如图,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线h与丨2分别是曲线C在点
(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分0(x2x)f
【分析】
二阶导数值•
(x)dx.
题设图形相当于f(x)在x=0的函数值与导数值,
在x=3处的函数值及一阶、
【详解】
由题设图形知,f(0)=0,f(0)
2;f(3)=2,f(3)
2,f(3)0.
由分部积分,知
3232
0(x2x)f(x)dx0(x2x)df(x)
(x2
x)f(x)
3
f(x)(2x1)dx
3
0(2x1)df(x)
(2x
1)f(x)
3
0f(x)dx
=162[f(3)f(0)]
20.
(18)(此题总分值12分)
函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f(0)=0,f
(1)=1.
证明:
(I)存在(0,1),使得f()1;
(II)存在两个不同的点
(0,1),使得f(
)f()1.
【分析】第一局部显然用闭区间上连续函数的介值定理;第二局部为双介值问题,可考虑用拉格朗日中值定理,但应注意利用第一局部已得结论
【详解】(I)令F(x)f(x)1x,那么F(x)在[0,1]上连续,且F(0)=-1<0,F
(1)=1>0,
于是由介值定理知,存在(0,1),使得F()0,即f()1
(II)在[0,]和[,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理,知存在两个不同的点
(0,),(,1),使得f()f()0⑼,
f()叮
于是f()f()f()1f()1
-1.
11
〔19〕〔此题总分值12分〕
设函数〔y〕具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分
;普严的值恒为同一常数.
⑴证明:
对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C有,〔嘿严y0;
〔II〕求函数〔y〕的表达式.
【分析】证明〔I〕的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线
〔y〕的表达式,显然
应用积分与路径无关即可【详解】〔I〕
如图,将C分解为:
C
11
12,另作一条曲线
:
.(y)dx2xydy
C
2x2y4
(II)设P
(y)Q
24,Q
2xy
(y)dx2xydy
h'32x2y4
0(y)dx2xydy0
240・
i2i32x2y
由〔I〕知,
曲线积分
2xy
2x2
(y)dx
—,P,Q在单连通区域x0内具有一阶连续偏导数,y
22x
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 全国硕士研究生 入学 统一 考试 试题 答案