冀教版七年级代数式全章知识点及小专题归类总结无答案.docx
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冀教版七年级代数式全章知识点及小专题归类总结无答案
冀教版七年级代数式章末总结综合训练
一、代数式定义及书写要求
知识点1:
弄清代数式的含义
用基本的运算符号把数与表示数的字母连接而成的式子就是代数式.如ab,2x+y,
a2等都是代数式.
温馨提示:
(1)单独的一个数或一个字母也是代数式.如-2,x等.
(2)代数式与公式、等式不同,代数式中不含有“=”、“≠”、“<”、“>”等符号
(3)根据问题要求,用具体数值代替代数式中的字母,就可以求出代数式的值.
跟踪练习:
1.下列式子:
①a+b=c;②5;③a>0;④a2n,其中属于代数式的是( )
A.①③B.②④C.①③④D.①②③④
2.在1,a,a+b,
,x2y+xy2,3>2,3+2=5中,代数式有( C)
A.3个B.4个C.5个D.6个
知识点2:
正确书写代数式
书写代数式时要注意如下几点:
(1)字母与字母相乘用“·”或直接省略不写,如a×b应写作a·b或ab;但是两个数字相乘必须写成“×”;
(2)相同字母相乘时,写成幂的形式,如a×a×a应写成a3;
(3)数与字母相乘时,数写在字母前面并省略乘号,若带分数与字母相乘,则要把带分数化成假分数;数与数相乘,仍用“×”不能省略.
(4)代数式中出现除法运算,除号一般改用分数线.如:
m除以n的商应表示为
而不是m÷n.
(5)最后结果为和差形式,并且后面有单位名称时代数式要加括号.如(a+b)米,(10x+5)元等.
跟踪练习:
1.下列各式中表示方法符合代数式书写要求的是( )
A、xy÷3 B、a×15b C、1
×xy2 D、
2.下列各式符合代数式书写规范的是( )
A.
B.a×3C.3x-1个D.2
n
3.下列各式:
①1
x;②2•3;③20%x;④a-b÷c;⑤
;⑥x-5;其中,不符合代数式书写要求的有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
知识点3:
准确叙述代数式的意义
在叙述代数式的意义时,要注意分析代数式中所含的运算和运算符号。
叙述时,可按运算顺序逐步说出,并且要准确地用和、差、积、商等数学用语表示运算结果。
跟踪练习:
1.代数式a+b2读作( )
A.a与b的平方B.a与b的和的平方
C.a的平方与b的平方的和D.a与b的平方的和
2.代数式x2﹣
的正确解释是( )B
A.x与y的倒数的差的平方B.x的平方与y的倒数的差
C.x的平方与y的差的倒数D.x与y的差的平方的倒数
3.体育委员小金带了500元钱去买体育用品,已知一个足球x元,一个篮球y元.则代数式500-3x-2y表示的实际意义是_________.
4.某商店举办促销活动,促销的方法是将原价x元的衣服以
(x﹣10)元出售,则下列说法中,能正确表达该商店促销方法的是( )A
A.原价减去10元后再打6折B.原价打6折后再减去10元
C.原价减去10元后再打4折D.原价打4折后再减去10元
二、列代数式
(一)根据运算关系列代数式
一、根据先读先写原则列代数式
对于“和、差、积、商、大、小、多、少、倍、分”等问题,其代数式的书写顺序与语言叙述顺序是一致的,可按照先读的先写、后读的后写的原则直接列出代数式.
跟踪练习:
1.用代数式表示“
与比
小10的数的积”是( )
A.
;B.
;C.
; D.
。
2.下列说法中错误的是()
A.x与y平方的差是x2-y2B.x加上y除以x的商是x+
C.x减去y的2倍所得的差是x-2yD.x与y的和的平方的2倍是2(x+y)2
二、根据简单应用问题列代数式
1.龙眼的单价为a元/千克,香蕉的单价为b元/千克,买2千克龙眼和3千克香蕉共需
元.
2.由于受H7N9禽流感的影响,我市某城区今年2月份鸡的价格比1月份下降a%,3月份比2月份下降b%,已知1月份鸡的价格为24元/千克.设3月份鸡的价格为m元/千克,则( )
A.m=24(1﹣a%﹣b%)B.m=24(1﹣a%)b%
C.m=24﹣a%﹣b%D.m=24(1﹣a%)(1﹣b%)
4.小颖把积蓄的a元零花钱存入银行,存了3年,年利率是b,到期后小颖可以取出的本息和为( )
A.a+3abB.a(1+b)3C.a+3(1+b)D.3ab
5.某商店举行促销活动,其促销的方式是“消费超过100元时,所购买的商品按原价打8折后,再减少20元”.若某商品的原价为x元(x>100),则购买该商品实际付款的金额(单位:
元)是( )
A.80%x﹣20B.80%(x﹣20)C.20%x﹣20D.20%(x﹣20)
6.某企业去年的年产值为a亿元,今年比去年增长了10%.若明年还能按这个速度增长,则该企业明年的年产值将能达到( )
A.(0.2+a)亿元B.0.2a亿元C.1.1a亿元D.1.21a亿元
7.贤老师为班级里家庭困难的x个孩子(x<10)购买了一批课外书,如果给每个孩子发5本,那么剩下4本;如果给每个孩子发6本,那么最后一个孩子只能得到 本.
8.A种糖果每千克a元,B种糖果每千克b元,若把A种糖果m千克,B种糖果n千克混合,则混合后的糖果每千克的价钱是____元.
9.网购一种图书,每册定价为a元,另加价10%,作为邮费,则购书b册需用 元(用
含a,b的代数表示).
10.某班x名同学参加植树活动,其中男生y名(y<x).若只由男生完成,每人需植树16棵;若只由女生完成,则每人需植树 棵.(列代数式)
11.星期天上午,小明看一本书,他从第a页开始看到b页结束,则他这天上午共看书 页.
(二)根据实际问题列代数式小专题
※※数字类问题
1.一个两位数,十位数字是
,个位数字是
,如果把它们的位置颠倒一下,得到的数是________.
2.一个两位数,若把个位数字与十位数字交换位置,便得到另一个两位数,这个两位数与原来的两位数之差,一定可以被()
A.2整除;B.3整除;C.6整除;D.11整除。
3.已知a是两位数,b是一位数,把a直接写在b的前面,就成为一个三位数.这个三位数可表示成 .
※※分段计算问题
1.某市为了鼓励居民节约用水,对自来水用户按如下标准收费:
若每用户用水不超过12吨,按每吨a元收费;若超过12吨,则超过部分按每吨2a元收费,没超过部分仍按每吨a元收费,如果某用户9月份用水20吨,则应缴纳水费为___________元.
2.某商品销售时,一次购买不超过10件,按每件10元售出,超过10件,超过部分每件打九折销售,现某人购买这种商品x件,则付款的代数式为 .
3.某种品牌的计算计箅机,进价为m,加价n元后作为定价出售,如果“五•一”期间按定价的八折销售,则“五•一”节期间的售价为( )
A.m+0.8nB.0.8nC.m+n+0.8D.0.8(m+n)
4.某学校准备组织部分教师到杭州旅游,现联系了甲、乙两家旅行社,两家旅行社报价均为400元/人,同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措:
甲旅行社对每位游客七五折优惠;而乙旅行社是免去一位带队老师的费用,其余老师八折优惠。
(1)如果设参加旅游的老师共有x(x>10)人,则甲旅行社的费用为元,乙旅行社的费用为元;(用含x的代数式表示,并化简)
(2)假如某校组织17名教师到杭州旅游,该校选择哪一家旅行社比较优惠?
请说明理由。
(3)如果计划在10月份之内外出旅游五天,设最中间一天的日期为a,则这五天的日期之和为。
(用含a的代数式表示,并化简。
)假如这五天的日期之和为30的倍数,则他们可能于10月号出发。
(写出简单的说理过程)
5.某城市自来水收费实行阶梯水价,收费标准如下表所示:
月用水量
不超过12吨的部分
超过12吨的部分且
不超过18吨的部分
超过18吨的部分
收费标准
2元/吨
2.5元/吨
3元/吨
(1)某用户四月份用水量为16吨,需交水费为多少元?
(2)某用户五月份交水费50元,所用水量为多少吨?
(3)某用户六月份用水量为a吨,需要交水费为多少元?
6.某城市自来水收费实行阶梯水价,收费标准如下表所示,则该市居民每月水费y(元)与该月用水量x(吨)之间的函数关系式是 .
月用水量
收费标准(元/吨)
不超过12吨部分
2
超过12吨不超过18吨部分
2.5
超过18吨部分
3
7.延庆区某中学七年级
(1)
(2)两个班共104人,要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动,老师指派小明到网上查阅票价信息,小明查得票价如图:
其中
(1)班不足50人,经估算,如果两个班都以班为单位购票,一共应付1240元.
(1)两个班各有多少学生?
(2)如果两个班联合起来,作为一个团体购票,可以省多少钱?
(3)如果七年级
(1)班单独组织去博物馆参观,你认为如何购票最省钱?
8.某城市自来水收费实行阶梯水价,收费标准如下表所示:
月用水量
不超过12吨的部分
超过12吨的部分且
不超过18吨的部分
超过18吨的部分
收费标准
2元/吨
2.5元/吨
3元/吨
(1)某用户四月份用水量为16吨,需交水费为多少元?
(2)某用户五月份交水费50元,所用水量为多少吨?
(3)某用户六月份用水量为a吨,需要交水费为多少元?
(4若销售单价y元,则该工艺品所获利润为______;
※※营销问题:
1.一种商品进价为每件a元,按进价增加25%出售,后因库存积压降价,按售价的九折出售,每件还盈利()
A.0.125a元B.0.15a元C.0.25a元D.1.25a元
2.某商场一种小型冰箱的进价200元,它标价为300元,商场活动打九折出售,则冰箱售价为 元,获得利润 元,利润率为 .若商场活动以x折出售,则冰箱售价为 元,获利润 元.
3.百利商店进一批电脑,进货价为a元,加上20%的利润后优惠8%出售,则出售价为()
A.(20%+8%)a B.(1+20%)a·8%
C.(1+20%)(1-8%)a D.(1+20%)a-8%
4.红星水果店以每千克a元的价格买进苹果m千克,如果按15%计算损耗,要想盈利1000元,应按每千克____元的单价出售?
5.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
(1)按原销售价销售,该工艺品可获利润______元;
(2)若每件降低10元销售,该工艺品可获利润_______元;
(3)若销售单价降低x元,则该工艺品所获利润为______;
(4)计算x=2和x=3时,该企业所获利润多少元?
※※借助方程列代数式
1.某商品按标价八折出售仍能盈利b元,若此商品的进价为a元,则该商品的标价为______元.(用含a,b的代数式表示).
2.第二十届电视剧飞天奖今年有a部作品参赛,比去年增加了40%还多2部.设去年参赛的作品有b部,则b是:
( )
A、
B、a(1+40%)+2 C、
D、a(1+40%)-2
3.九年级某班同学,每人都会游泳或滑冰,其中会游泳的人数比会滑冰的人数多10人,两种都会的有5人.设会游泳的有a人,则该班同学共有 人(用含a的代数式表示).
4.随着计算机技术的迅猛发展,电脑价格不断降低,某品牌的电脑按原价降低m元后又降20%,现售价为n元,那么该电脑的原售价为( )
A、(
n+m)元 B、(
n+m)元 C、(5m+n)元 D、(5n+m)元
5.某人买了甲、乙两个品牌的衬衣共n件,其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多5件.已知甲品牌衬衣的单价为120元,乙品牌衬衣的单价为90元,则购买这n件衬衣共需付 元.
※※引进参数问题
1.扑克牌游戏:
小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作:
①第一步:
分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于三张,且各堆牌的张数相同;
②第二步:
从左边一堆拿出三张,放入中间一堆;
③第三步:
从右边一堆拿出两张,放入中间一堆;
④第四步:
左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.
这时,小明准确说出了中间一堆牌现有的张数,你认为中间一堆牌有几张?
而且发现无论游戏中第一步三堆牌的张数是几,这个结果是不变的。
你能解释这个现象吗?
2.下图为魔术师在小美面前表演的经过:
根据图中所述,我们无法知道小美所写数字是多少,那么魔术师一定能做到吗?
如果能,请利用所学知识推导出魔术师猜出的结果.如果不能,请说明理由.
3.如图,两个正方形的面积分别为16,9,两阴影部分的面积分别为a,b(a>b),则(a﹣b)等于( )
A.7B.6C.5D.4
※※等积变换问题
1.把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上,底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,若按图1摆放时,阴影部分的面积为S1;若按图2摆放时,阴影部分的面积为S2,则S1与S2的大小关系是( )
A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.无法确定
2.如图,一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水,将瓶盖盖好后倒置,墨水水面高为h厘米,则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的 ____.
3.有一玻璃密封器皿如图①,测得其底面直径为20cm,高20cm,现内装蓝色溶液若干.如图②放置时,测得液面高10cm;如图③放置时,测得液面高16cm;则该玻璃密封器皿总容量为_______cm3.(结果保留π)
4.如图,水平桌面上有个内部装水的长方体箱子,箱内有一个与底面垂直的隔板,且隔板左右两侧的水面高度为别为40公分,50公分,今将隔板抽出,若过程中箱内的水量未改变,且不计箱子及隔板厚度,则根据图中的数据,求隔板抽出后水面静止时,箱内的水面高度为_____公分.
5边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是 .
6.有一内部装有水的直圆柱形水桶,桶高20公分;另有一直圆柱形的实心铁柱,柱高30公分,直立放置于水桶底面上,水桶内的水面高度为12公分,且水桶与铁柱的底面半径比为2:
1.今小贤将铁柱移至水桶外部,过程中水桶内的水量未改变,若不计水桶厚度,则水桶内的水面高度变为公分.
7.如图1,将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形,得到一个“
”的图案,如图2所示,再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形,如图3所示,则新矩形的周长可表示为
8.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为m,宽为n)的盒子底部(如图②),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分的周长和是
9.如图,给正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5.若从某一顶点开始,沿正五边形的边顺时针方向行走,顶点编号的数字是几,就走几个边长,则称这种走法为一次“移位”.如:
小宇在编号为3的顶点上时,那么他应走3个边长,即从3→4→5→1为第一次“移位”,这时他到达编号为1的顶点;然后从1→2为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点开始,第10次“移位”后,则他所处顶点的编号是
三、代数式求值分类汇总
类型一直接代入型.
例1:
当
时,求代数式
的值。
类型二隐含条件型
例2
(1)若
,则
.
(2)若|a|=3,|b|=2,且a>b,则3a﹣2b的值________.
类型三程序运算型
1.刘谦的魔术表演风靡全国,小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中时,会得到一个新的实数:
a2+b-1,例如把(3,-2)放入其中,就会得到32+(-2)-1=6.现将实数对(-1,3)放入其中,得到实数m,再将实数对(m,1)放入其中后,得到实数是_____
2.按照如图所示的操作步骤,若输入的值为3,则输出的值为_____.
3.按如图的运算程序,能使输出结果为3的x,y的值是( )
A.x=5,y=﹣2B.x=3,y=﹣3C.x=﹣4,y=2D.x=﹣3,y=﹣9
4.根据如图的程序,计算当输入值x=﹣2时,输出结果y为( )C
A.1B.5C.7D.以上都有可能
5.某计算程序编辑如图所示,当输入x= 时,输出的y=8.
类型四新规定型
1.用“※”定义新运算:
对于任意实数a,b,都有a※b=b2+1.例如,7※4=42+1=17,那么5※3=_______.
类型五整体代入法
1.已知代数式
,那么代数式
()
A、18B、11C、2D、1
2.若m+n=﹣1,则(m+n)2﹣2m﹣2n的值是( )
A.
3
B.
0
C.
1
D.
2
3.已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的绝对值是2,则
+4m-3cd的值_____.
※※4.已知多项式ax5+bx3+cx+9,当x=-1时,多项式的值为17.则该多项式当x=1时的值是______1
5.Ifa2+a=0,thenresultofa2011+a2010+2010is_____.
6.若m+n-p=0,则m(
的值等于_______.
7.已知a、b、c、d是互不相等的整数,且abcd=9,则a+b+c+d的值等于( )
A、0B、4C、8D、不能求出
四、两个量之间的数量关系分类汇总
类型一利用规律解决问题
(1)按下表已填写的完成表中的空白处代数式的值:
(a﹣b)2
a2﹣2ab+b2
a=4,b=2
4
a=﹣1,b=3
16
a=﹣2,b=﹣5
(2)比较表中两代数式计算结果,请写出你发现(a﹣b)2与a2﹣2ab+b2有什么关系?
(3)利用你发现的结论,求:
20152﹣4030×2013+20132的值.
2.将长为20cm,宽为8cm的长方形白纸,按如图所示的方式粘合起来,粘合部分的宽为3cm.
(1)根据题意,将下面的表格补仓完整.
白纸张数x(张)
1
2
3
4
5
…
纸条长度y(cm)
20
37
54
71
88
…
(2)直接写出用x表示y的关系式:
y=17x+3 .
(3)要使粘合后的总长度为1006cm,需用多少张这样的白纸?
解:
(1)当x=2时,y=20+17=2×17+3=37,
当x=5时,y=5×17+3=88,
故答案为:
37,88;
(2)由表格,得
y=17x+3;
(3)当y=1006时,17x+3=1006,
解得x=59,
要使粘合后的总长度为1006cm,需用59张这样的白纸.
3.如图,水平放置的容器内原有210毫米高的水,将若干个球逐一放入该容器中个,毎放入1个大球水面上升4毫米,每放入一个小球水面就上升若干毫米,假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出.
(1)先放入5个大球,再放入4个小球,这时水面上升到了242毫米,那么放1个小球会使水面上升多少毫米?
(2)仅放入6个大球后,开始放入小球,且小球个数为n.
①若放入了n个小球后,水并没有溢出,那么此时水面的高度是多少毫米?
②限定水面高不超过260毫米,最多能放入几个小球?
4.新学期,两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在讲台上,请根据图中所给出的数据信息,解答下列问题:
(1)每本书的高度为 cm,课桌的高度为 cm;
(2)当课本数为x(本)时,请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离 (用含x的代数式表示);
(3)桌面上有55本与题
(1)中相同的数学课本,整齐叠放成一摞,若有18名同学各从中取走1本,求余下的数学课本高出地面的距离.
类型二销售分类型数量之间的关系
1.某职工购进一批苹果,到集贸市场零售,已知卖出的苹果数量x(千克)与售价y(元)的关系如下表:
数量x千克
1
2
3
4
5
售价y元
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
写出用x表示y的关系式。
2.某种化肥在县城里的甲、乙两个生产资料门市部均有销售,现了解到该种化肥在甲、乙两个门市部的标价均为600元/吨,但都有一定的优惠政策,甲门市部是第一吨按标价收费,超出部分每吨优惠25%;乙门市部每吨优惠20%出售.
(1)写出甲门市部每次交易的销售额
(元)与销量
(吨)之间的关系式及乙门市部每次交易的销售额
(元)与销量
(吨)之间的关系式.
(2)种粮大户张某想一次购买此种化肥4吨,李某想一次购买此种化肥8吨,他们到哪个门市部购买省钱,请给他们分别提出合理建议.
3.甲、乙两个文具店均出售钢笔和笔记本,其中每支钢笔定价10元,每本笔记本定价5元.两个文具店在开展促销活动中,各自提出优惠方案如下:
甲店:
买一支钢笔送一本笔记本;
乙店:
买钢笔或笔记本都按定价的80%付款.
现小明要购买钢笔30支,笔记本x本(x>30).
(1)试用含x的代数式表示:
①小明到甲店购买所付款为 元;
②小明到乙店购买所付款为 元;
(2)当x=40时,你能帮小明设计一种最为省钱的购买方案吗?
试写出你的购买方案,并说明理由.
4.某玩具厂去年生产某种玩具,成本为10元/件,出厂价为12元/件,年销售量为2万件,今年计划通过适当增加成本来提高产品档次,以拓展市场.若今年每件玩具的生产成本比去年增加0.7x倍,每件玩具的出厂价比去年提高0.5x倍,则今年的年销售量将比去年增加x倍(0<x≤1).
(1)用含x的代数式表示:
今年生产这种玩具的成本为 元/件,今年生产这种玩具的出厂价为 元/件,今年生产这种玩具的利润为 元/件;
(2)设今年销售这种玩具的总利润为w万元,请用含x的代数式表示w;并求当x=0.5时的总利润.
注:
每件玩具的利润=每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本.
类型三动点问题数量关系
1.如图,数轴的原点为0,点A、B、C是数轴上的三点,点B对应的数位1,AB=6,BC=2,动点P、Q同时从A、C出发,分别以每秒2个长度单位和每秒1个长度单位的速度沿数轴正方向运动.设运动时间为t秒(t>0)
(1)求点A、C分别对应的数;
(2)求点P、Q分别对应的数(用含t的式子表示)
(3)试问当t为何值时,OP=OQ?
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