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积分基本公式
2.基本积分公式表
(1)∫0dx=C
(2)
=ln|x|+C
(3)
(m≠-1,x>0)
(4)
(a>0,a≠1)
(5)
(6)∫cosxdx=sinx+C
(7)∫sinxdx=-cosx+C
(8)∫sec2xdx=tanx+C
(9)∫csc2xdx=-cotx+C
(10)∫secxtanxdx=secx+C
(11)∫cscxcotxdx=-cscx+C
(12)
=arcsinx+C
(13)
=arctanx+C
注.
(1)
不是
在m=-1的特例.
(2)
=ln|x|+C,ln后面真数x要加绝对值,原因是(ln|x|)'=1/x.
事实上,对x>0,(ln|x|)'=1/x;若x<0,则
(ln|x|)'=(ln(-x))'=
.
(3)要特别注意
与
的区别:
前者是幂函数的积分,后者是指数函数的积分.
下面我们要学习不定积分的计算方法,首先是四则运算.
6.复合函数的导数与微分
大量初等函数含有复合函数的成分,它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义.
定理.(链锁法则)设z=f(y),y=(x)分别在点y0=(x0)与x0可导,则复合函数z=f[(x)]在x0可导,且
或(fo)'(x0)=f'(y0)'(x0).
证.对应于自变量x0处的改变量x,有中间变量y在y0=(x0)处的改变量y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量z,(注意y可能为0).现
z=f(y0)y+v,y=(x0)x+u,
且
令
,则v=y,(注意,当y=0时,v=y仍成立).y在x0可导又蕴含y在x0连续,即
y=0.于是
=f'(y0)'(x0)+0'(x0)=f'(y0)'(x0)
为理解与记忆链锁法则,我们作几点说明:
(1)略去法则中的x=x0与y=y0,法则成为公式
,
其右端似乎约去dy后即得左端,事实上,由前面定理的证明可知,这里并不是一个简单的约分过程.
(2)计算复合函数的过程:
xyz
复合函数求导的过程:
zyx
:
各导数相乘
例2.3.15求y=sin5x的导数.
解.令u=5x,则y=sinu.于是
y'=
=cosu5=5cos5x.
例2.3.16求y=lncosx的导数.
解.令u=cosx,则y=lnu.于是
y'=
.
例2.3.17求幂函数y=xm的导数,m为任意实数.
解.因y=
,令u=mlnx,则y=eu.
y'=
=eum
m是正整数n时,即例2.3.2.
(3)链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数:
复合函数的求值:
xyzu…vw
复合函数的求导:
wv…uzyx
:
各导数相乘
(4)在熟练掌握链锁法则以后,为简便写法,中间变量v,u,z,y等可不必写出,只要做到心中有数.
例2.3.18求
的导数
解.
=
.
(5)链锁法则的微分形式是:
df((x))=f((x))d(x)
例2.3.19求函数y=
的微分
解.dy=
dsin2x=
2sinxdsinx
=
2sinxcosxdx=
sin2xdx.
思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程,函数
的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算,因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则,两个方面必须同时考虑.
5.导数与微分的四则运算
设u=u(x),v=v(x)为可导函数,c是常数,则有
公式
(1)(uv)'=u'v',d(uv)=dudv.
公式
(2)(uv)'=u'v+uv',d(uv)=vdu+udv.
公式(3)(cu)'=cu',d(cu)=cdu.
公式(4)
,
(v0).
点击此处看公式
(1)-(4)的证明.
例2.3.11求y=tanx的导数
解.(tanx)'=
=
=sec2x.
同理可得(cotx)'=csc2x.
例2.3.12求y=secx的导数.
解.(secx)'=
=secxtanx.
同理可得(cscx)'=cscxcotx.
例2.3.13求y=(1+4x)(2x23x3)的导数.
解一.y'=(1+4x)(2x23x3)+(1+4x)(2x23x3)'
=4(2x23x3)+(1+4x)(22x33x2)
=8x212x3+4x9x2+16x236x3=4x+15x248x3
解二.因y=2x2+5x312x4,故
y'=22x+53x2124x3=4x+15x248x3.
例2.3.14求函数y=(x+sinx)lnx的微分.
解.dy=lnxd(x+sinx)+(x+sinx)dlnx
=lnx(dx+dsinx)+(x+sinx)
dx
=lnx(dx+cosxdx)+
dx
=
dx.
2.导数的定义
从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题,我们抽象出函数的导数概念.
定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义,y0=f(x0).如果xXx0,我们称x=xx0
0(读作delta)为自变量的改变量,y=f(x)f(x0)为函数的(对应)改变量,比值
为函数的差商或平均变化率.
如果极限
存在,则称函数y=f(x)在点x0可导(或可微),该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商).记作
.
因x=xx0,x=x0+x,故还有
.
此时,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线方程是
.
注意.x可正可负,依x大于或小于x0而定.
根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是:
(1)计算函数在自变量x0+x处的函数值f(x0+x);
(2)计算函数的改变量y=f(x0+x)f(x0);
(3)写出函数的差商
;
(4)计算极限,即导数值
.
例2.3.1求常数函数y=c的导数.
解.因y=y(x+x)y(x)=cc=0,差商
=0,
故
=0.此处x可为任意实数,即常数函数y=c在任意点x处的导数为0.
例2.3.2设n是正整数,求幂函数y=xn在点x处的导数.
解.因
y(x+x)=(x+x)n=xn+
,
y=y(x+x)y(x)=
,
故
=
.
特别,当n=1时,函数y=x在任意点x处的导数为1.
例2.3.3求曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程.
解.在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2,于是在点(2,8)处的切线斜率是:
y'
(2)=322=12,故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是
y8=12(x2)12xy6=0.
注.
(1)从上述例子我们看到,一般情况下,给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导,这样可求出X内每一点的导数y'(x),xX.于是y'(x)成为X内有定义的一个新函数,我们称它为给定函数y=f(x)的导函数,且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”,甚至简称f(x)的导数.例如我们说常数函数y=c的导数是0,y=x的导数是1,y=xn的导数是
等等,分别记作c'=0,x'=1,(xn)'=
等等.
(2)关于改变量的记号,应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量,就象sinx中的sin一样,绝不能把x看成与x的乘积,特别,为避免误解,我们用(x)2来表示x的平方而不写x2.
从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:
(点击此处看例2.3.4,例2.3.5,例2.3.6证明)
例2.3.4y=sinx的导数是(sinx)'=cosx,
y=cosx的导数是(cosx)'=sinx.
例2.3.5y=logax(0 . 特别,(lnx)'=1/x. 例2.3.6指数函数y=ax(0 特别,(ex)'=ex. 8.导数的导数--二阶导数 一般来说,函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数: y'=f'(x),如果它还可导,我们又可得f'(x)的导数: (y')'=[f'(x)]',称为y=f(x)的二阶导数,记作 y''=f''(x),或 = . 如果它还可导,我们就可继续逐次求三阶,四阶,…的导数,对任意正整数n,n阶导数被定义为 y(n)=(y(n1))',n=2,3,… 统称为函数y的高阶导数. 例2.3.22求y=sinx的n阶导数. 解.y'=cosx=sin ,用归纳法不难求出 y(n)=sin . 例2.3.23若s=s(t)为质点运动的路程函数,则s'(t)=v(t)是运动速度.又,二阶导数s''(t)=v'(t)=a(t)则是运动的加速度. 例2.3.24求y=arctanx的二阶导数y''. 解.y'= ,y''=(1+x2)2(1+x2)'= . 思考题.对于可导函数y=f(x)来说,导数f'(x)表示曲线的切线斜率,请你考虑,如果f'(x)还可导,那么f''(x)的正或负,反映函数y=f(x)的图像的什么性态. 实验题.选择不同的函数,使二阶导数取正或负值,然后作出函数的图像,观察二阶导数对函数图像的影响. 7.基本初等函数的导数与微分公式 求导公式 求微分公式 (1)c'=0 (2)(xm)'=mxm-1 (3)(ax)'=axlna (ex)'=ex (4)(logax)'= (lnx)'= (5)(sinx)'=cosx (6)(cosx)'=sinx (7)(tanx)'=sec2x (8)(cotx)'=csc2x (9)(secx)'=secxtanx (10)(cscx)'=cscxcotx (11)(arcsinx)'= (12)(arccosx)'= (13)(arctanx)'= (14)(arccotx)'= dc=0 dxm=mxm-1dx,mR dax=axlnadx,0 dex=exdx dlogax= ,0 dlnx= dsinx=cosxdx dcosx=sinxdx dtanx=sec2xdx dcotx=csc2xdx dsecx=secxtanxdx dcscx=cscxcotxdx darcsinx= darccosx= darctanx= darccotx= 例2.3.20求y=arcsin 的微分. 解. . 例2.3.21求y= +arctanex的导数. 解. . 12.二元函数的导数与微分(选学) 设z=f(x,y)是两个自变量x与y的函数,x与y的变化都会引起函数z的变化,实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化,即将另一自变量固定不变,看作常数,此时函数就像一元函数了.函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏导数.记作 ,事实上,按导数定义,应该是 = , 同理,z关于变量y的偏导数是 = . 我们也记 . 若z=f(x,y)有连续的偏导数fx(x,y),fy(x,y),则自变量x与y的改变量x与y的线性表达式 fx(x,y)x+fy(x,y)y 称为z=f(x,y)在(x,y)处对应于x,y的全微分,记作 dz=fx(x,y)x+fy(x,y)y. 由于自变量的微分等于自变量的改变量: dx=x,dy=y,于是二元函数的微分公式是 dz= . 例2.3.30设f(x,y)=xy+x22y3,求 . 解. =y+2x(把y看作常数,对x求导数). =x6y2 (把x看作常数,对y求导数). 例2.3.31求z=exsiny的全微分. 解.dz=sinydex+exdsiny =sinyexdx+excosydy =ex(sinydx+cosydy). 例2.3.32设x+2y+2z2 =0确定二元函数z=z(x,y), 求 . 解.对方程x+2y+2z2 =0两边求微分,则左端得 dx+2dy+2dz2d 右端的微分是0,于是解得 dz= , 由此得 , . 13.分段函数的导数(选学) 我们通过分段函数在衔接点处导数的研究,了解函数的可导性与连续性的关系. 函数y=f(x)在点x0的导数被定义为极限 , 这等价于 =0, 记 ,则 =0,由此 f(x0+x)f(x0)=[u(x)+f’(x0)]x, 于是 [f(x0+x)f(x0)]= [u(x)+f’(x0)]x=0, 即 f(x0+x)=f(x0).如果记x=x0+x,则得 f(x)=f(x0). 这表明函数f(x)在x0连续.因此有 定理.若函数y=f(x)在x0可导,则f(x)在x0连续. 因此,连续性是函数可导性的必要条件.但上述命题的逆是不正确的.请看下例. 例2.3.33讨论函数 在点x=0的连续性与可导性. 解.因 故 且f(0)=e0=1.由此可见f(x)在x=0连续. 其次,为讨论f'(0),我们需计算极限 .为方便计,用x代替x,为此我们研究极限 .现在, , . 由此可见,极限 不存在,即f(x)在x=0不可导. 你能看到,在函数y=f(x)的图像上点(1,0)处没有切线,因为在其左边有一条“半切线”,斜率是1,但在其右边有一条“半切线”,斜率是0 定义.设函数y=f(x)定义在区间(a,b)内,x0 (a,b),如果极限 存在,则称此极限为f(x)在点x0处的右导数,记作 f+'(x0)= . 类似地,f(x)在点x0的左导数是 f'(x0)= . 只有f+'(x0)与f'(x0)都存在且相等时,f(x)在点x0才可导,且f'(x0)=f+'(x0)=f'(x0).即有 定理.设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0 (a,b).则 f'(x0)存在 f'(x0)与f+'(x0)都存在且相等. 左导数与右导数统称为单侧导数. 例2.3.34讨论函数 在x=0的可导性. 解.首先讨论f(x)在x=0的连续性.因 , , f(0)=0, 故f(x)在x=0连续. 其次,因 , , 故f(x)在x=0可导,且f'(0)=1. 注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法,必须首先研究函数在该点的连续性,在连续的前提下才可使用此方法,否则会出现错误.例如考虑函数 此时g(x)在x=0不连续,更不可导.如果你用上例方法求左右导数: g'+(0)=1,g'(0)=1,得出g'(0)=1,那就大错特错了.事实上,上图中的原点并不属于函数g(x)的图像,因此,原点右侧的“半切线”是不存在的,也就是说,原点处的右导数是不存在的. 1.曲线的切线斜率 我们知道,圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线.但对于一般曲线,切线是不能这样定义的.例如右下图中曲线在P点处的切线,除P点外还交曲线于Q点. 为确切表达切线的含义,需应用极限的思想.请看下面的动画. 说明: 点P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点. 点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点,可在P的两侧: 在右侧时x>x0;在左侧时x 如果动点Q无限地逼近定点P时,动直线PQ有一个极限位置T,即极限 则称PT为曲线在P点的切线. 为确定切线PT的位置,或建立PT的方程,只需确定其斜率.由于PT是PQ的极限,从而PT的斜率是PQ斜率的极限,极限过程是由Q→P产生的.而 Q→P即x→x0. 设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为,PT的斜率为k=tan. 现在割线PQ的斜率为: . 而切线PT的斜率为: (PQ的斜率) = 由此得切线PT的方程是: yf(x0)=k(xx0).
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