6阶群的分类要点.docx

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6阶群的分类要点

$北氏滋乂孝

毕业论文（设计）

题目：

6阶群的分类

姓

名：

张正中

学

号：

P1*******7

学

院：

数学与计算机科学学院

专

业：

数学与应用数学

班

级：

2012数学与应用数学

指导老师：

苏金林

6阶群的分类

专业：

数学与应用数学姓名：

张正中指导教师：

苏金林

摘要有限群论是群论的基础分支，也是群论中应用最为普及的一个分支。

许多年来，随着人们对有限群的认识越来越深，使得有限群论的应用范围也

越来越广，故而有限群论已经是数学应用中的基础之一了，也是很多科技工作者有必要学习的一个数学分支。

本文讨论有限群论中的6阶群在同构意义

下的分类问题。

本文通过文献研究法，在查找了相关的书籍以及论文之后，做出自己的

结论。

本文首先对群论的基础知识进行介绍，进而引出在同构意义下对6阶

群分类的研究，通过定理论证6阶循环群的存在及具体刻画，即

M=a=e,a,a2,a3,a4,a5'；再者，讨论到6阶群G不是循环群时，通过Lagrange定理可以求得G」e,a,b,b2,ab,ab2』，同时我们注意到对称群

S3—1,12,123,132,23,13?

可能与G=£,a,b,b2,ab,ab2同构,便加以证明。

本文通过计算出群G与S3的乘法表证明了GmS3，从而得出6阶群的分类只有两种的结论，即6阶循环群GJa；「e,a,a2,a3,a4,a51与对称群

S3一1,12,123,132,23,13匚

关键词6阶群，同构，循环群，对称群S3

ABSTRACT

Finitegrouptheoryisafundamentalpartofgrouptheory,grouptheoryis

oneofthemostwidelyusedbranch.Inrecentyears,withtherapiddevelopmentofthetheoryoffinitegroups,theincreasingoftheapplication,theoryoffinitegroupshasbecomeoneofthemathematicalbasisofmodernscieneeandtechnology,generalscieneeandtechnologyworkersarewillingtomasteramathematicaltool.Infinitegrouptheory,Nordergroup（forrelativelysmallpositiveintegern）classificationproblemisveryimportant.

Inthispaper,throughtheliteratureresearchmethod,afterlookinguptherelatedbooksandpapers,maketheirownconclusions.Firstlythebasicknowledgeofgrouptheoryareintroduced,andthenleadstothestudyof6groupsoforderclassification,bytheoremtodemonstratetheexistenceofcyclicgroupsoforder6andspecificcharacterization.Thatisa=：

；a?

=：

e,a,a2,a3,a4,a5二Then,whenthe6ordergroupGdoesnotbelongtothecyclicgroup,theLagrangetheoremisknown,andtheGmusthave2orderand3orderelements.ThusobtainedG」e,a,b,b2,ab,ab2?

.Atthesametimewenotice,symmetricgroup

S3J【1,12,123,132,23,131maybeisomorphicwithG」ea,b,b2,ab,ab2•:

Thenproveit.Inthispaper,themultiplicationtableofgroupGandS3iscalculated.AndthenweproveG三S3.Itisconcludedthattheclassificationofthe6ordergroupisonlytwo.ThatisG=a：

=；e,a,a2,a3,a4,a%and

S3一1,12,123,132,23,13'

KeyWords：

Thegroupsoforder6,lsomorphism,Cyclicgroup,SymmetricgroupSs

摘要2

ABSTRACT2

KeyWords3

1.绪论1

1.1群论的发展状况及存在的问题1

1.2研究意义及目的1

1.3需解决问题2

2.提出问题3

3.预备知识3

4.群的乘法表8

5.分类证明10

6.结论12

参考文献13

答谢12

1.绪论

1.1群论的发展状况及存在的问题

群论是近世代数和整个数学中占有十分重要的地位的数学分支，其发展历史十分悠久，故而已经拥有了广泛的领域和丰富的内容。

在19世纪初，Abel和Galois这两个青年数学家解决了五次和五次以上代数方程的根式解问题，这是一个数学界三个世纪都没解决的世界难题。

这个问题的解决为后世的数学发展引入了一种新的思想，那就是本文用到的置换群理论，置换群对数学的发展起到了关键性的作用。

可以说Abel和Galois两个人开启了群论和近世代数的研究之门5。

而自Abel和Galois之后，人们逐渐发现，置换在置换群理论中的大多数本质问题中，显得不是那么重要，而逐渐吸引数学家们眼球的是对代数系统的研究。

这个发现看似平凡，其实其意义是很重要的，其将研究的深度从特殊的置换群推广到了普通的抽象群中。

从此对抽象群的研究就有了公理化的基础，为群论的蓬勃发展创造了良好的开局。

对于群的抽象化理论有杰出贡献的数学家，主要有Cayley、Frobenius、Cauchy、Jordan和Sylow等人。

1.2研究意义及目的

有限群论是群论的基础分支，同时有限群论还是群论中应用最普遍的一个分支。

这些年来，在有限群理论的飞速发展过程中，有限群论的应用也在与日俱增，有限群论已经成为现代科技的数学基础之一。

有限群论中的一个最基本问题是研究在阶数已知的情况下，群的所有互不同构的类型，也就是进行群完全分类的工作[1]。

这个问题已有很长远的历史，从1878年Cayley提出完全分类问题算起，到现在也有一百多年的历史了。

这一百多年来，大量的数学家们将自己的一生花在了研究完全分类问题上，经过不懈的努力，一部分群的完全分类也取得了突破，其中值得一提的有限单群的分类问题，这一问题在1982年就被解决，而有限单群的分类问题从提出到解决，仅仅用了二十多年的时间，但这二十多年里也少不了无数数学家的专注与汗水1，同时也是因为他们的付出，给后人提供了一个全新的数学工具。

一个问题的解决也就意味着另一个问题的开始，有限单群的分类问题刚刚结束，数学家们就把目光投向了群元素的阶，试图证明元素的阶跟有限群的结构是不是存在某种联系1；有这种想法是因为数学家们发现了元素的阶是一个重要且自然的算数量，故而其与群结构的关联有很大的研究价值1。

而今在科学技术的各个领域中，都应用上了群论的理论，群论的概念也已成为了应用数学中最基础的概念之一1。

如函数论、泛函分析、几何学、代数拓扑学等数学分支中都已被群论渗透，还有算术群、代数群、李群、拓扑群等一类的新学科逐步形成[2]，还有拓扑、解析流形、代数簇等与群结构相联系的其他结构，还有在结晶学、代数编码学以及自动机理论等举不胜举的方面，都有重要的应用[3]。

作为推广“群”的概念的产物，在迅速发展的还有半群和么半群理论、群在计算机科学中的应用和群论的程序软件的研究3；在物理领域中，也时常用群论来研究对称性3，因为它能反应出变化中变化量的性质，故而群论与物理方程也紧紧联系在了一起，就像物理中的李群，跟用伽罗瓦群解代数方程是相似的，解微分方程也需要用到相关理论1。

置

换群甚至在物理学中二十世纪的结构主义哲学产生时也起到了极大的作用，并拥有不可替代的影响力。

1.3需解决问题

分类群的主要困难是解决同构问题，这是因为其计算过程相当复杂⑷

可以通过文献查找，寻找简化计算的方法。

解决群论的一个重要方法是通过一些特殊的子群的结构来解决有限群的结构，我们经常会考虑极大子群、极小子群等。

有限群的结构与最小子群的性质有着密切的关系，并且存在许多问题，只能通过对相关最小子群的详细检验来解决。

从以往的经验来看，研究最小子群是其中最有力的解法之一。

同时，用群的乘法表来表示群可以用来验证两个群是否为同构映射，故而群的乘法表的计算也是需要解决的问题之一。

2.提出问题

在大学《近世代数》的课堂中我们学习了群的基本理论和一些特殊的群类，如循环群、变换群和置换群。

是否可以运用已学的群论基础知识完成在同构意义下6阶群的分类呢？

3.预备知识

定义1⑸如果非空集合G有代数运算•满足以下条件：

I.结合律：

对G中任意元素a,b,c都有

abc二abc;

II.G中有元素e,叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有

ea=a；

皿.对G中每个元素a，在G中都有元素a，，叫做a的左逆元，使

a'a=e,

则称G对这个代数运算作成一个群；

如果对群G中任二元素a,b均有

即G的代数运算满足交换律，则称G为交换群或Abel群；否则称G为非交换群或非Abel群；

定义25如果群G可以由一个元素a生成，即G=a，则称G为由a生成的一个循环群，并称a为G的一个生成元；

定义35设a为群G的一个元素，使a^e的最小正整数n,叫做元素a的阶；

定义45设G是一个群，H是G的一个非空子集。

如果H本身对G的乘法也作成一个群，则称H为群G的一个子群；

如果G>1，则群G至少有两个子群，一个是只由单位元e作成的子群◎，另一个是G本身，这两个子群称为群G的平凡子群，别的子群，如果存在的话，叫做群G的非平凡子群或真子群；

当H是群G的子群是，简记为HZG;若H是G的真子群，则简记为

H:

G；

定义55设a为群G的一个元素，使an=e的最小正整数n,叫做元素a的阶，如果这样的n不存在，则称a的阶为无限；

定义65设M是一个非空集合。

则由M的一些变换关于变换的乘法所作的群，称为M的一个变换群；由M的若干个双射变换关于变换的乘法作成的群，称为M的一个双射变换群；由M的若干个非双射交换关于交换的乘法作成的群，称为M的一个非双射变换群。

定义75称集合M的双射变换群SM）为M上的对称群。

当M|=n时，其上的对称群用Sn表示，并称为n元对