高中数学解三角形解答题专项练习(含答案).doc
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高中数学解三角形解答题专项练习
1.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若a=,b+c=4,求△ABC的面积.
2.在中,角所对的边分别为,且
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若为锐角三角形,且,且,求的面积.
3.在中,角所对的边分别为,已知向量,且。
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
4.在中,角所对的边分别为.
(Ⅰ)若,求角的大小;
(Ⅱ)若,试判断的形状.
5.已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调减区间;
(2)已知的三个内角,,的对边分别为,,,其中,若锐角满足,且,求的面积.
6.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=4,b+c=8,求△ABC的面积.
7.已知向量,,函数.
(1)若,求的值;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是,且满足,求的取值范围.
8.设的内角的对边分别为,
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求C.
9.已知向量,,函数.
(1)若,求的值;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是,且满足,求的取值范围.
10.已知函数,.
(1)求的单调增区间;
(2)已知△内角、、的对边分别为、、,且,,若向量与共线,求、的值.
11.已知向量,,向量.
(1)若,求的值;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
12.△中,角的对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求△的面积.
13.在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知函数满足:
对于任意恒成立.
(1)求角A的大小;
(2)若,求BC边上的中线AM长的取值范围
14.在△ABC中,角A,B,C的所对的边分别为,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的最大值.
15.已知向量与共线,设函数.
(1)求函数的周期及最大值;
(2)已知△ABC中的三个内角A、B、C所对的边分别为,若锐角满足,且,,求△ABC的面积.
16.在中,角的对边分别为,已知.
(1)求的值;
(2)若,的面积为,求边长.
17.在中,内角、、所对的边分别为,其外接圆半径为6,,
(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面积的最大值.
18.已知是函数图象的一条对称轴.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)化简的解析式,并作出函数在上的图象简图(不要求写作图过程).
19.已知函数.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)当时,求函数f(x)的最小值,并求出使y=f(x)取得最小值时相应的x值.
20.已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx),x∈R.
(1)求的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
21.中,角,,的对边分别为,,,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求的值.
22.中,角,,的对边分别为,,,且.
(1)求角的大小;
(2)若为边上的中线,,,求的面积.
23.如图,平面四边形中,,,,,,求
(Ⅰ);
(Ⅱ).
24.如图,平面四边形中,,,,,,求
(Ⅰ);
(Ⅱ)的面积.
25.在△中,已知a、b、c分别是三内角、、所对应的边长,且
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,试判断△ABC的形状并求角的大小.
26.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.
(1)求角B的大小;
(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c
27.已知角的终边与单位圆交于点.
(1)写出、、值;
(2)求的值.
28.设函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)若,且,求的值.
29.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,b=2,求△ABC的面积S.
30.在中,分别是角A、B、C的对边,且
(1)求角B的大小;
(2)若,求的面积.
31.如图,在塔底B测得山顶C的仰角为600,在山顶C测得塔顶A的俯角为450,已知塔高为AB=20m,求山高CD.
32.已知DABC的周长为,且sinA+sinB=sinC,
(1)求边AB的长;
(2)若DABC的面积为,求角C的度数.
33.在DABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.
(1)求证:
a,b,c成等差数列;
(2)若,求的值.
34.在中,,,分别是角,,的对边,且.
(1)求的面积;
(2)若,求角.
35.已知函数f(x)=2sinxcosx-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.
36.在中,角所对的边分别为,已知,且.
(1)求的值;
(2)若的面积,求的值.
37.在锐角中,三内角,,的对边分别为,若.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
38.已知函数.
(Ⅰ)求函数的最大值,并写出取得最大值时相应的的取值集合;
(Ⅱ)若,求的值.
39.在中,角、、对应的边分别是、、,,且.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)若的面积是1,求边.
40.已知,,函数.
(1)求函数的值域;
(2)在△中,角和边满足,求边.[来
41.已知在中,角的对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求的面积.
42.已知,,且函数
(1)求方程在内有两个零点,并求的值;
(2)若把函数的图像向左平移个单位,再向上平移2个单位,得函数图像,求函数的单调增区间.
43.已知函数.
(Ⅰ)求函数的最大值及取得最大值时的值;
(Ⅱ)在中,角的对边分别为,若,,,求的面积.
44.已知函数.
(Ⅰ)若x是某三角形的一个内角,且的值,并,求角x的大小;
(Ⅱ)当时,求的最小值及取得最小值时x的集合.
45.在中,的对边分别是.
(1)若的面积为,求的值;
(2)求的值.
46.,记.且的最小正周期为.
(1)求的最大值及取得最大值时的集合;
(2)求在区间上的取值范围.
47.已知.
(1)当时,求;
(2)若,求当为何值时,的最小值为.
48.已知点、、的坐标分别为、.
(1)若,求角的值;
(2)若,求的值.
49.在中,角对应的边分别是,已知.
(1)求角的大小;
(2)若的面积,求的值.
50.已知、、分别是的三个内角、、所对的边
(1)若面积求、的值;
(2)若,且,试判断的形状.
51.在△ABC中,内角A、B、C对边长分别是a,b,c,已知c=2,C=
(Ⅰ)若△ABC的面积等于;
(Ⅱ)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ABC的面积.
52.已知向量,,,设.
(Ⅰ)求函数的解析式及单调增区间;
(Ⅱ)在中,,,分别为内角,,的对边,且,,,求的面积.
53.△中,角的对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求△的面积.
54.在中,角所对的边分别为,且满足.
(1)求角;
(2)若,且,求边的值.
55.已知中,角所对的边分别,且.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求面积的最大值.
56.已知在中:
(1)若三边,,依次成等差数列,,求三个内角中最大角的度数;
(2)若,求.
57.已知函数.
(1)求的定义域及最小正周期;
(2)求的单调递减区间.
58.在中,内角A,B,C的对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求的值.
59.在中,角所对的边分别为,且满足.
(1)求角;
(2)若,且,求边.
60.已知函数,.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)若,求函数的单调增区间.
参考答案
1.
(1)
(2)
【解析】
试题分析:
(1)将已知条件变形,借助于余弦定理可求得A的大小;
(2)由与解方程组可求得的值,进而利用三角形面积公式求解
试题解析:
(1)依题意:
(2)由余弦定理得:
即:
(另解:
算出,或,,没有分情况说明扣1分。
)
考点:
余弦定理解三角形
2.(Ⅰ)或(Ⅱ)
【解析】
试题分析:
(1)由正弦定理化简已知等式可得2sinCsinA=sinA,又sinA≠0,解得,结合范围C∈(0,π),即可求C的值;
(2)由余弦定理可得:
,解得,根据三角形面积公式即可得解
试题解析:
(Ⅰ)∵,由正弦定理得
,
∵,
∴.
∵,
∴或.
(Ⅱ)∵为锐角三角形,
∴.
由,
即
,
∴.
∴.
考点:
正余弦定理解三角形
3.(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由,得,化简可得,结合范围0<C<π,即可求C的值;(Ⅱ)由正弦定理可得a=2sinA,b=2sinB.从而可得,由,可得,利用余弦函数的图象和性质即可解得b-a的范围
试题解析:
(Ⅰ)由,得
,
,
∴,即,
∵,∴.
(Ⅱ)∵,且,
∴,
∴.
∴
,
∵,
∴,
∴,
∴.
考点:
1.余弦定理,正弦定理;2.平面向量共线(平行)的坐标表示
4.(Ⅰ)(Ⅱ)等腰三角形或直角三角形
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)将变形为,进而借助于余弦定理可求得,得到角A的大小;(Ⅱ)利用正弦定理将其变形为,进而利用三角函数公式可得到或,得到三角形形状
试题解析:
(Ⅰ)由已知得,
又∠A是△ABC的内角,∴A=.
(Ⅱ)在△ABC中,由,得,
∴.
∴或.
∴或
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
考点:
正余弦定理解三角形
5.
(1)最小正周期:
,单调递减区间:
;
(2).
【解析】
试题分析:
(1)对的表达式进行三角恒等变形,再利用三角函数的性质即可求解;
(2)首先求得的值,再结合正余弦定理列出相应的式子,即可求解.
试题解析:
(1),
因此的最小正周期为,的单调递减区间为,
即;
(2)由,
又∵为锐角,∴,由正弦定理可得,,
则,由余弦定理可知,,
可求得.
考点:
1.三角恒等变形;2.正余弦定理解三角形.
6.
(1);
(2)
【解析】
试题分析:
(1)将已知条件利用正弦定理转化为三内角表示,从而求得A角的大小;
(2)由A角a边利用余弦定理可得到关于b,c的关系式,与b+c=8解方程组可得到b,c值,进而求得三角形面积
试题解析:
(1)∵△ABC中,,
∴根据正弦定理,得,
∵锐角△ABC中,sinB>0,
∴等式两边约去sinB,得sinA=
∵A是锐角△ABC的内角,∴A=;
(2)∵a=4,A=,
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,得16=b2+c2﹣2bccos,
化简得b2+c2﹣bc=16,
∵b+c=8,平方得b2+c2+2bc=64,
∴两式相减,得3bc=48,可得bc=16.
因此,△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4.
考点:
正余弦定理解三角形
7.
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
根据数量积公式可得的解析式,再用二倍角公式,化一公式将其化简可得.
(1)根据可得,将用二倍角公式和诱导公式将其变形用表示,即可求得的值.
(2)根据由余弦定理可得,再由余弦定理可得,即可得角.根据均为锐角可得的范围,从而可得的范围.
试题解析:
解:
若,可得.
则.
由可得,即,
,得,.
又均为锐角
的取值范围是:
.
考点:
1三角函数的化简,求值;2余弦定理.
8.(Ⅰ)(Ⅱ)或.
【解析】
试题分析:
(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利用余弦定理表示出cosB,将关系式代入求出cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;(II)由(I)得到A+C的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A-C),变形后将cos(A+C)及2sinAsinC的值代入求出cos(A-C)的值,利用特殊角的三角函数值求出A-C的值,与A+C的值联立即可求出C的度数
试题解析:
(1)因为,所以,由余弦定理得
,因此.
(2)由
(1)知,所以
.
故或,因此或.
考点:
1.余弦定理;2.两角和与差的正弦函数
9.
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
根据数量积公式可得的解析式,再用二倍角公式,化一公式将其化简可得.
(1)根据可得,将用二倍角公式和诱导公式将其变形用表示,即可求得的值.
(2)根据由余弦定理可得,再由余弦定理可得,即可得角.根据均为锐角可得的范围,从而可得的范围.
试题解析:
解:
若,可得.
则.
由可得,即,
,得,.
又均为锐角
的取值范围是:
.
考点:
1三角函数的化简,求值;2余弦定理.
10.
(1)的递增区间为,;
(2),或,.
【解析】
试题分析:
(1)化简三角函数关系式,由正弦曲线的单调递增区间,,解出的取值范围,从而求得单调递增区间;
(2)由求得或,借助与共线的等价条件,结合正弦定理,解得,最后利用余弦定理解出、的值.
试题解析:
(1)
,
令,,此时函数单调递增,解得,即函数的递增区间为,.
(2)由
(1),
∴或,解得或.
∵与共线,
∴,
∴由正弦定理可得,即,①
当时,
∵,∴由余弦定理可得,②
联立①②解方程组可得
当时,
∵,∴由勾股定理可得,③
联立①③可得,,
综上,,或,.
考点:
1、三角函数恒等变换(化简函数关系式);2、共线向量的等价条件;3、正弦定理、余弦定理.
11.
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
(1)由,可得,据解得;
(2),则,又,所以的最大值为,要使恒成立,则当大于即可,由此.
试题解析:
(1)∵,∴,得,又,∴;
(2)∵,
∴,
又∵,∴,∴,
∴的最大值为16,∴的最大值为4,又恒成立,∴.
考点:
1、平面向量坐标运算;2、三角函数求最值.
12.
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
(1)求角,根据已知条件,利用余弦定理太复杂,所以选择使用正弦定理最好,再利用两角和正弦公式化简得到的值,再由角的取值范围确定其值;
(2)在
(1)中,利用余弦定理和已知条件可以求出的值,进而再根据三角形的面积公式.
试题解析:
(1)
,
,所以,
∵,
;
(2)
即,,
所以
考点:
1、正弦定理和余弦定理;2、三角形的面积公式;3、两角和的正弦公式.
【方法点晴】本题是典型的三角函数和解三角形综合试题,对于这类型的试题请记住四字原则:
边角互换.三角形的边化成角就要用正弦定理或余弦定理,本题显然使用正弦定理比较简单;但是在求取角的大小的过程中还要用到三角函数部分的两角和(差)公式以及特殊角的三角函数值,这些都要熟练掌握.第二问中余弦定理和三角形的面积公式的搭配使用时最常用的方法.
13.
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
(1)因为对于任意恒成立,所以的最大值为,求得的最大值点即得角的值;
(2)在和中分别利用余弦定理表示出,结合得到,所以求中线长的取值范围就是求的取值范围,再利用余弦定理和重要不等式即可得解.
试题解析:
(1)由题意,∵对于任意恒成立,∴的最大值为,
当取得最大值时,,即,
∴,又∵A是三角形的内角,即,∴.
(2)∵AM是BC边上的中线,
∴在△ABM中,,①
在△ACM中,,②
又∵,∴,
①+②得.由余弦定理,
∵,∴,
∴,即
考点:
正弦型函数的图象与性质及利用余弦定理解三角形.
14.(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)利用余弦定理表示出,将已知等式变形后代入求出的值,确定处的度数,代入计算即可求出值;(Ⅱ)把的值代入已知等式变形,利用基本不等式求出的最大值,再由的值,即可求出三角形的最大值.
试题解析:
(Ⅰ)∵,,
∴,∵C为△ABC内角,∴,
则;
(Ⅱ)由,得,
∵,
∴,当且仅当时“”成立,则S△ABC的最大值是.
考点:
正弦定理与余弦定理的应用.
15.
(1),;
(2).
【解析】
试题分析:
(1)由与共线得:
,所以,周期,当时,.
(2)由,故,因为锐角三角形,所以,由正弦定理得,所以,再由余弦定理得求得,从而.
试题解析:
(1)∵与共线,
∴
则,
∴的周期,
当时,
(2)∵,∴,
∴
∵,∴.
由正弦定理,得得,
,即,
∴由余弦定理
得,
即,∴
考点:
1、正弦定理;2、余弦定理;3、三角函数的性质;4、三角形面积公式.
16.
(1)的值为;
(2)边长的值为或.
【解析】
试题分析:
(1)由两角差的余弦公式可得,
即,所以;
(2)由同角三角函数的基本关系得,
结合三角形面积公式,得;由余弦定理,得,联立即可求出边长.
试题解析:
(1)由,
得,
即,
.
(2)∵,,∴,
由,得,即.
由余弦定理,得,
∴,
∴.
由,得或.
考点:
1、三角恒等变换;2余弦定理、;3、正弦定理的应用.
17.(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)利用正弦定理及条件,可得,再利用平方关系,从而可求得;(Ⅱ)利用正弦定理及条件,可得,利用面积公式表示面积,借助于基本不等式可求的面积的最大值.
试题解析:
(Ⅰ)解:
,
,
(Ⅱ),即.
又.
.
而时,.
考点:
1.正弦定理;2.基本不等式.
18.(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由题意可得,即由此求得a的值.(Ⅱ)由可得,由五点作图法即可做出图像.
试题解析:
解:
(Ⅰ)方法1:
,
∵是函数图象一条对称轴,∴,
即,∴;
方法2:
∵,∴最值是,
∵是函数图象的一条对称轴,∴,
∴,
整理得,∴;
(Ⅱ)
在上的图象简图如下图所示.
考点:
1.三角恒等变换;2.五点法作图.
19.(Ⅰ).(Ⅱ)函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(Ⅲ)函数f(x)的最小值是,.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由条件利用正弦函数的周期性求得函数f(x)的最小正周期.
(Ⅱ)由条件利用正弦函数的单调性求得函数f(x)的单调递增区间.
(Ⅲ)由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f(x)的最小值,以及此时相应的x值.
解:
(Ⅰ)对于函数,它的最小正周期为.
(Ⅱ)令,
求得,即.
所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(Ⅲ)∵,∴,即.
所以函数f(x)的最小值是,此时,.
考点:
正弦函数的图象.
20.
(1)2.
(2)函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(3)时,函数f(x)取得最大值,时,函数f(x)取得最小值0.
【解析】
试题分析:
(1)由函数f(x)=2cosx(sinx+cosx),x∈R,=﹣=﹣,=﹣=﹣.代入计算即可得出.
(2)利用倍角公式、和差公式即可化为:
f(x)=.
(3)当时,可得,利用正弦函数的单调性最值即可得出.
解:
(1)∵函数f(x)=2cosx(sinx+cosx),x∈R,=﹣=﹣,=﹣=﹣.
∴===2.
(2)f(x)=2cosx(sinx+cosx)=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=,
由≤≤2kπ+,(k∈Z),解得≤x≤kπ+,
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(3)当时,,∴当,即时,函数f(x)取得最大值,
当,即时,函数f(x)取得最小值0.
考点:
三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象;三角函数的最值.
21.
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
(1)将已知条件中的式子边角统一,再利用三角恒等变形可求得的一个三角函数值,从而求解;
(2)利用已知条件分别求得与的值即可求解.
试题解析:
(1),由正弦定理,得,
∵,∴,
,,
∵,∴,∴,∵,∴;
(2)在中,,,∴,,
.
考点:
1.正弦定理解三角形;2.三角恒等变形.
22.
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
(1)将已知条件中的式子边角统一,再利用三角恒等变形可求得的一个三角函数值,从而求解;
(2)利用已知条件结合正余弦定理建立关于三角形边长的方程组,求出边长后即可求解.
试题解析:
(1),由正弦定理,得,
∵,∴,
∴
∵,∴以,∴,又∵,∴;
(2)在中,由余弦定理得,∴……①,
在中,由正弦定理得,由已知得
∴,∴……②,由①,②解得,
∴.
考点:
1.正余弦定理解三角形;2.三角恒等变形.
23.
(1)3;
(2).
【解析】
试题分析:
(1)在中,由正弦定理求得的值;
(2)在中,由余弦定理求得.
试题解析:
(Ⅰ)在中,由正弦定理得:
故,
(Ⅱ)在中,由余弦定理得:
所以
考点:
1.正弦定理;2.余弦定理.
24.
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
(1)在中,由正弦定理求得的值,再在中,由余弦定理求得;
(2)因为,,所以,则由三角形面积公式求得.
试题解析:
(Ⅰ)在中,由正弦定理得:
,
在中,由余弦定理得:
所以
(Ⅱ)因为,,所以
因为
所以
考点:
1.正弦定理;2.余弦定理;3.面积公式.
25.(Ⅰ);(Ⅱ)直角三角形,
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)在三角形ABC中,利用余弦定理列出关系式,表示出cosA,将已知等式代入计算求出cosA的值,即可确定出角A的大小;(Ⅱ)已知等式利用正弦定理化简,再利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形,由A的度数即可求出B的度数
试题解析:
(Ⅰ)在△ABC中,由余弦定理得:
,
又∵
∵∴
(Ⅱ)∵,由正弦定理得即:
故△ABC是以角C为直角的直角三角形
又
考点:
余弦定理;正弦定理
26.
(1);
(2)
【解析】
试题分析:
(1)由正弦定理可将bsinA=acosB转化为用A,B角表示,从而求得B角大小;
(2)由角B及a=2利用余弦定理可得到关于b,c的方程,由三角形面积可得到关于b,c的另一方程,解方程组可求b,c的值
试题解析:
(1)bsinA=acosB,由正弦定理可得,即得,.
(2)的面积,所以
而
解得
考点:
正余弦定理解三角形
27.
(1);
(2)
【解析】
试题分析:
(1)根据已知角α的终边与单位圆交与点.结合三角函数的定义即可得到、、的值;
(2)依据三角函数的诱导公式化简即可:
,最后利用第
(1)小问的结论得出答案
试题解析:
(1),,;
(2)
.
考点:
三角函数定义及化简求
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