高一数学有答案解释难度略大.docx
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高一数学有答案解释难度略大
高一年级数学(试题卷)
注意事项:
1.本卷共22题,满分150分,考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后,应检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,如有请立即向监考老师通报。
一.选择题(每题5分,共60分。
在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的)
1.已知函数f(x)=sin2x+2cos2x﹣1,将f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来,纵坐标不变,再将所得图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的解析式为
A. B.
C. D.
2.已知点在圆上,则函数的最小正周期和最小值分别为
A. B. C. D.
3.在△ABC中,a,b,c分别为∠A、∠B、∠C、的对边,若向量和平行,且,当△ABC的面积为时,则b=
A. B.2 C.4 D.2+
4.C为线段AB上一点,P为直线AB外一点,满足||=||=4,|﹣|=2,=,=λ,=+m(+),m>0,则λ=
A.1B. C.4D.2
5.已知tan2α=﹣2,且满足<α<,则的值为
A. B.﹣ C.﹣3+2 D. 3﹣2
6.已知函数f(x)=2sin(x+),若对任意的实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1﹣x2|的最小值是
A.2 B.4 C.π D.2π
7.在△ABC中内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,sinC=2sinB,则tanA=
A. B.1 C. D.—
8.已知O为△ABC的外心,||=16,||=10,若=x+y,且32x+25y=25,则||=
A.8 B.10 C.12 D.14
9.已知三角形的三点顶点的及平面内一点满足
则与的面积比为A. B. C. D.
10.设f(x)=ax2+bx+c(a>0)满足f(1+x)=f(1﹣x),则f(2x)与f(3x)的大小关系为
A.f(3x)≥f(2x) B.f(3x)≤f(2x)
C.f(3x)<f(2x) D.不确定
11.已知函数在区间上均有意义,且是其图象上横坐标分别为的两点.对应于区间内的实数,取函数的图象上横坐标为的点,和坐标平面上满足的点,得.对于实数,如果不等式对恒成立,那么就称函数在上“k阶线性近似”.若函数在上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为
A. B. C. D.
12.已知tan(π﹣α)=﹣2,则=
A.﹣3 B. C.3 D.
二.填空题(每题5分,共20分)
13.已知偶函数f(x),当时,f(x)=2sinx,当时,,则
14.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E、F分别为AB、BC的中点.点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧上变动(如图所示),若,其中λ,μ∈R.则2λ﹣μ的取值范围是__________.
15.已知点G是斜△ABC的重心,且AG⊥BG, +=,则实数λ的值为 .
16.函数f(θ)=12cosθ+5sinθ(θ∈[0,2π))在θ=θ0处取得最小值,则点M(cosθ0,sinθ0)关于坐标原点对称的点坐标是 .
三.解答题(共6题,共70分)
17.(本题满分10分)已知,.
(1)求tanα的值;
(2)求的值.
18.(本题满分12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足
(Ⅰ)求证:
A、B、C三点共线;
(Ⅱ)求的值;
(Ⅲ)已知A(1,cosx)、B(1+cosx,cosx),的最小值为,求实数m的值.
19.(本题满分12分)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣(ω>0)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[0,b)(b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.
20.(本题满分12分)已知向量,,实数为大于零的常数,函数,,且函数的最大值为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)在中,分别为内角所对的边,若,,且,求的最小值.
21.(本题满分12分)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).
(1)设n≥2,b=1,c=﹣1,证明:
y=fn(x)在区间(,1)内单调递增;
(2)在
(1)的条件下,证明:
fn(x)=0在区间(,1)内存在唯一实根;
(3)设n=2,若对任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求b的取值范围.
22.(本题满分12分)为丰富市民的文化生活,市政府计划在一块半径为200m,圆心角为120°的扇形地上建造市民广场.规划设计如图:
内接梯形ABCD区域为运动休闲区,其中A,B分别在半径OP,OQ上,C,D在圆弧上,CD∥AB;△OAB区域为文化展示区,AB长为m;其余空地为绿化区域,且CD长不得超过200m.
(1)试确定A,B的位置,使△OAB的周长最大?
(2)当△OAB的周长最大时,设∠DOC=2θ,试将运动休闲
区ABCD的面积S表示为θ的函数,并求出S的最大值.
衡阳八中2016年上期高一年级第二次月考数学参考答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
B
C
C
A
C
B
D
A
C
D
非选择题
13.14.[-1,1]15.16.(,)
解答:
15.如图,连接CG,延长交AB于D,
由于G为重心,故D为中点,
∵AG⊥BG,∴DG=AB,
由重心的性质得,CD=3DG,即CD=AB,
由余弦定理得,AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC,
BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠BDC,
∵∠ADC+∠BDC=π,AD=BD,
∴AC2+BC2=2AD2+2CD2,
∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2,
又∵+=,
∴+=,
则λ=======.
故答案为:
17.
(1)∵,
∴,
∴;
(2)原式==,
=
18.(Ⅰ)由已知,即,
∴∥.又∵、有公共点A,∴A,B,C三点共线.
(Ⅱ)∵,∴ =∴,∴.
(Ⅲ)∵C为的定比分点,λ=2,∴,
∴
∵,∴cosx∈[0,1]
当m<0时,当cosx=0时,f(x)取最小值1与已知相矛盾;
当0≤m≤1时,当cosx=m时,f(x)取最小值1﹣m2,得(舍)
当m>1时,当cosx=1时,f(x)取得最小值2﹣2m,得
综上所述,为所求.
19.(Ⅰ)由题意,可得
f(x)==.
∵函数的最小正周期为π,∴ =π,解之得ω=1.
由此可得函数的解析式为.
令,解之得
∴函数f(x)的单调增区间是.
(Ⅱ)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,可得函数y=f(x+)+1的图象,
∵
∴g(x)=+1=2sin2x+1,可得y=g(x)的解析式为g(x)=2sin2x+1.
令g(x)=0,得sin2x=﹣,可得2x=或2x=
解之得或.
∴函数g(x)在每个周期上恰有两个零点,
若y=g(x)在[0,b]上至少含有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可,
即b的最小值为.
20.(Ⅰ)由已知
因为,所以的最大值为,则
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以
化简得
因为,所以
,解得
因为,所以
则,
所以
则
所以的最小值为
21.
(1)
设,
f(x2)﹣f(x1)=x2n+x2﹣1﹣(x1n+x1﹣1)=(x2n﹣x1n)+(x2﹣x1)
∵,且∴x2n﹣x1n>0,x2﹣x1>0,
∴f(x2)﹣f(x1)>0,
∴y=fn(x)在区间(,1)内单调递增
(2)fn(x)=0在区间内存在唯一实根等价于fn(x)=0在区间内存在唯一零点
∵,
∴fn(x)在区间内有零点.
由
(1)知n≥2时,在区间为增函数.
所以fn(x)在区间内存在唯一的零点;
(3)
所以对任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,
等价于f2(x)在区间[﹣1,1]上的最大值与最小值的差M≤4,
∵f2(x)的对称轴为.
①当,M=|f2
(1)﹣f2(﹣1)|=2|b|>4,不合题意
②当,
恒成立
③当,
恒成立
综上所得,b的取值范围为[﹣2,2]
22.
(1)设OA=m,OB=n,m,n∈(0,200],
在△OAB中,,
即,
所以,,
所以m+n≤100,当且仅当m=n=50时,m+n取得最大值,此时△OAB周长取得最大值.
答:
当OA、OB都为50m时,△OAB的周长最大.
(2)当△AOB的周长最大时,梯形ACBD为等腰梯形.
过O作OF⊥CD交CD于F,交AB于E,则E、F分别为AB,CD的中点,
所以∠DOE=θ,由CD≤200,得.
在△ODF中,DF=200sinθ,OF=200cosθ.
又在△AOE中,,故EF=200cosθ﹣25.
所以,
==,
令,,,,
又y=及y=cos2θ在上均为单调递减函数,
故f'(θ)在上为单调递减函数.
因>0,故f'(θ)>0在上恒成立,
于是,f(θ)在上为单调递增函数.
所以当时,f(θ)有最大值,此时S有最大值为.
答:
当时,梯形ABCD面积有最大值,且最大值为m2.
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